3

17.

3.11. Производная функции, заданной параметрически.

Пусть x(t), y(t) имеют непрерывные производные в окрестности точки t₀ и при этом x(t₀)  0.  на некотором интервале оси t, содержащем точку t₀, функция x(t) монотонна, имеет обратную функцию  определена дифференцируемая сложная функция y(t(x))(будем обозначать ее просто y(x)). В явном виде эту зависимость найти часто не удается, научимся находить производную функции y(x) через заданные в условии зависимости x(t), y(t).

Используем свойство инвариантности формы дифференциала относительно функциональных подстановок.

Замечание. Формула не дает явной зависимости производной от переменной x, будет известна только зависимость ее от t. Поэтому удобнее применять другие обозначения:,

Пример. Найти производную функции y(x) в точке, соответствующей заданному значению параметра:

Решение. y(t).= (t + t²), x(t) = (t – t³),

Найдем x₀ = x(t₀) = 0, y₀ = y(t₀) = ,

Касательная y = y₀ + y(x₀)(x – x₀):

Обратим внимание на то, что кривая имеет острые изломы в точках, соответствующих значениям t = –1 и t = 0. В этих точках одновременно меняется вид монотонности функций x(t), y(t). Такие точки называют точками возврата кривой, в них одновременно x(t) = 0, y(t) = 0.

Определение гладкой кривой. Кривая называется гладкой, если x(t), y(t) имеют непрерывные производные и (x_t)² + (y_t)² ≠ 0. Изменению параметра t на отрезке [, ] взаимно однозначно соответствует движение точки по кривой от A(x(), y()) к B(x(), y()) и нет точек возврата. В каждой точке такой кривой при t(, ) существует касательная, угловой коэффициент которой (или ) в окрестности этой точки меняется непрерывно. Кривая, являющаяся объединением конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой кривой.

32