ТерВер практика

Перечень задач к экзамену по дисциплине

≪Теория вероятностей и математическая статистика≫

1. Среднее значение случайной величины х, имеющей показательное

распределение, равно 10. Найти вероятность того, что значение х не превысит 20.

2. Для случайной величины х, заданной рядом распределения

х -1 0 1

р 0,2 0,6 0,2

Найти функцию распределения, построить ее график. Найти математическое

ожидание и дисперсию.

3. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [-3; 2]. Найти

плотность и функцию распределения этой случайной величины.

4. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально

распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти

вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в

интервале (15, 25).

5. Дан ряд распределения случайной величины х:

х 1 3 х3

р 0,25 0,25 р3

Найти х3 и р3 среднее квадратическое отклонение, если известно, что

математическое ожидание х равно 3.

6. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, если ее

плотность в интервале (0,1) равна f(х)=2х, вне интервала (0,1) f(х)=0. Построить

их графики. Найти М(х), (x).

7. Производится испытание двух работающих независимо друг от друга

приборов. Время Т безотказной работы каждого из приборов имеем показательное

распределение, причём среднее время безотказной работы одного из приборов

составляет 600 часов, другого – 700 часов. Найти вероятность того, что в течении

времени t=500 часов хотя бы один из приборов откажет.

8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,8. Чему равна

вероятность попадания в мишень 2 раза из 3 выстрелов. Какое распределение

имеет случайная величина х- число попаданий из 3 выстрелов? Чему равно М(х).

9. Дан ряд распределения дискретной случайной величины

х x1 1 4

р 0,3 0,4 р3

Найти x1, Р3 , если известно, что математическое ожидание равно 1.

10. Дана функция распределения непрерывной случайной величины

F( x )={ 0 x≤2

x2−4 x+4, 2≤x≤3

1, x>3

Найти плотность распределения f(х), М(x), (x).

11. Чему равна вероятность попадания показательно распределенной

случайной величины с параметром =0,4 в интервал (1,3)?

12. Вероятность появления бракованного изделия 0,02. Купили 4 изделия.

Какова вероятность, что среди них 1 бракованное?

13. Цена деления шкалы измерительного прибора ровняется 0,2. Показания

прибора округляются до ближайшего деления. Определить закон распределения

ошибки распределения, построить функцию распределения и найти вероятность

того, что в результате округления будет сделана ошибка, более 0,04.

14.Ряд распределения случайной величины х

x -2 Х2 2

р 0,1 Р2 0,3

Найти х2 и р2, если известно, что математическое ожидание x равно 1. Найти

дисперсию.

15. Среднее время безотказной работы элемента равно 20 часов. Найти

вероятность того, что элемент откажет за время 75 ч.

16. Дана плотность распределения

f (x )={ 0 , при x<0

2cos 2x при 0≤x≤π /4

0, при x>π /4

Найти F(x). Найти математическое ожидание.

17. Вероятность появления бракованного изделия 0,02. Какова

вероятность что среди 100 изделий будет не более 2-х бракованных.

18. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со

среднеквадратическим отклонением

σ=20

мм и математическим ожиданием

а=0. Найти вероятность того, что из трёх независимых измерений ошибка хотя бы

одного не превзойдёт по абсолютной величине

4 мм.

19. Случайная величина х распределена равномерно на отрезке (2,4).

Найти ее математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

Построить функцию распределения и плотность распределения х, их графики.

20.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного

закона, заданного функцией распределения

F( х)=1−е−0.4 х( х≥0 )

.

21. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины

х, имеющей ряд распределения

х -1 0 1

р 0,3 0,4 03

22.Стрельба по подвижной цели ведётся до первого попадания. Вероятность

попадания от выстрела к выстрелу не изменяется и равна 0,63. На стрельбу

отпущено 3 снарядов. Найти функцию распределения случайной величины

х – расхода снарядов и вероятность того, что она заключена в пределах от

двух до трех.

23. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Пусть сделано

4 выстрела. Какое распределение имеет случайная величина x-число попаданий в

цель из 4-х выстрелов. Какова вероятность того, что будет ровно 2 попадания.

Найти М(x)?

23.Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое

отклонение равномерно распределенной на отрезке (2,6) случайной

величины. Постройте графики ее плотности и функции распределения.

25. Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения

х 2 4 7

р 0,3 0,2 0,5

Построить функцию распределения. Найти М(x),Д(x ).

26. Чему равна вероятность попадания показательно распределенной

случайной величины с параметром =0,4 в интервал (1,3)?

27. Время t обнаружения цели радиолокатором распределено по

показательному закону. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за

время от 5 до 15 с после начала поиска, если среднее время обнаружения цели

равно 10 с.

28. Среднее значение случайной величины х, имеющей показательное

распределение, равно 10. Найти вероятность того, что значение х не превысит 20.

29. Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения

х 1 3 Х3

р Р1

,25

0,5

Найти р1 и х3, среднее квадратическое отклонение, если известно, что

математическое ожидание х равно 3.

30. Чему равна вероятность того, что событие А появится m раз в n

независимых испытаниях, если вероятность не появления события А в одном

испытании равна 0,3?

31. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону: f(x)=0

при x<0; f(x)=2e-2x при x0. Найти вероятность попадания значений

величины Х в интервал (0,1; 0,7).

32. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

х 1 3 Х3

р 0,25 Р2 0,5

Известно, что М(х)=3. Найти х3 и р2 , среднее квадратическое отклонение.

33.Найти функцию распределения и математическое ожидание непрерывной

случайной величины, если ее плотность распределения в интервале (0,1)

равна р(х)=2х, вне интервала р(х)=0.

34. Отвечающий помнит, что плотность показательного распределения имеет

вид f(x)=0 при x<0; f(x)=Сe-x при x0; однако он забыл, чему равна постоянная С.

Требуется найти С.

35.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Какое

распределение имеет случайная величина х-число попаданий в цель из 4

выстрелов? Какова вероятность того, что х=3? Чему равно М(x)?

36. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного

закона, заданного плотностью распределения

f (х )=10 е−10 х( х≥0)

.

37. Для случайной величины х, заданной законом распределения

х 1 2 4

р 0,1 0,3 Р3

Найти р3, М(x) , Д(x) , (х)

38. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, если

ее плотность распределения в интервале (0,2) равна f(х)=

х

2

, вне интервала

f(х)=0. Нарисуйте их графики. Найти М(х), (х).

39. Прибор состоит из двух узлов, которые, безусловно, необходимы для

его работы. Один из узлов дублируется точно таким же узлом. Среднее время

безотказной работы узла – 500 часов. Считая, что время безотказной работы узла

имеет показательное распределение, найти вероятность безотказной работы в

течение не менее 800 часов.

40. Время t обнаружения цели радиолокатором распределено по

показательному закону. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за

время от 5 до 15 с после начала поиска, если среднее время обнаружения цели

равно 10 с.

41. По результатам измерений 73, 74, 73, 73, 74, 75, 73 найти интервальную

оценку дисперсии с надёжностью β=0,9.

42. По результатам измерений 7,6; 7,8; 7,7; 7,6; 7,7; 7,7; 7,8 найти

интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,8.

43. По результатам измерений 8,6; 8,9; 8,7; 8,8; 8,5; 8,6; 8,5; найти

интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9.

44. По результатам измерений 10,8; 10,6; 10,5; 11,0; 10,9; 10,5; 10,7 найти

интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9, если

среднеквадратическое отклонение равняется 0,3.

45. По результатам измерений 28,1; 28,6; 29,1; 28,9; 28,7; 28,6 найти

интервальную оценку математического ожидания с надёжностью β=0,9.

46. По результатам измерений 1,2; 1,3; 1,2; 1,3; 1,2; 1,4 найти интервальную

оценку дисперсии с надёжностью β=0,9.

47. На 2-х автоматах производят одинаковые детали, 1-й автомат производит

80% деталей первого сорта, а 2-ой – 90%. Первый автомат производит . числа

всех деталей, а 2-ой – .. Взятая наудачу деталь оказалась первого сорта. Найти

вероятность того, что эта деталь произведена 1-м автоматом.

48. В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов 2-го курса. Среди

первокурсников-10% юношей, а среди второкурсников-5%. Все юноши по очереди

дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на

кухне дежурит первокурсник.

49.В группе 20 курсантов, среди них 6 отличников. По списку выбраны 7

курсантов. Найти вероятность того, что среди отобранных курсантов 3

отличника.

50.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей

а) 2 мальчика б) не более 2-х мальчиков в) более 2-х мальчиков г) не

менее 2-х и не более 3-х мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять

равной 0,58.

51. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон

распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

52. На фабрике изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая

– 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно

2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался

дефектным.

53. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на

30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек

соответственно равны: q1=0,001, q2=0,005, q3=0,006. Найти вероятность того, что

наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

54. В группе 21 курсантов, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и

6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить

только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной

вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут

получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и

неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один

курсант. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку

(событие А).

55.На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат

дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на

сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго –

2000 и с третьего – 3000 деталей.

56. На распределительной базе находятся электрические лампочки,

изготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и

40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым

заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым

заводом, удовлетворяют стандарту 85. Определить вероятность того, что взятая

наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту.

57. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью:

р1=0,2, р2=0,3, р3=0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное число

часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность

того, что радиолампа проработает заданное число часов.

58. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных

шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8 голубых. Наугад

выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того,

что он окажется красным (событие А)?

59. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник

сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж

содержит ровно 5 бракованных книг.

60. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в

пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий:

а) ровно три; б) менее трех.

62. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243

испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании

равна 0,25.

63. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что

из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

64. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний

постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее

70 и не более 85 раз.

__