Данный метод последовательно улучшает план перевозок и состоит в том, что

• в транспортной таблице отыскиваются циклы с отрицательной ценой;

• по ним перемещаются перевозки с целью улучшения плана;

• план улучшается до тех пор, пока циклов с отрицательной ценой не останется.

Циклом в транспортной задаче называется несколько клеток, соединенных ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90. Цикл начинается и заканчивается в клетке с базисной переменной (в заполненной клетке). Он обязательно содержит одну свободную клетку. Цена цикла определяется как сумма стоимостей каждой клетки со своим знаком «+» или «–». Знаком «+» помечаются те клетки, стоимость которых меньше стоимости предыдущей клетки цикла, а знаком «–», те клетки, стоимость которых больше стоимости предыдущей клетки цикла.

Перенести какое-то количество единиц товара по циклу – значит увеличить перевозки, стоящие в положительных вершинах цикла, на это количество единиц, а перевозки, стоящие в отрицательных вершинах цикла уменьшить на то же количество. Таким образом, при любом циклическом переносе план остается допустимым.

При улучшении плана циклическими переносами, как правило, пользуются приемом, заимствованным из симплекс-метода: при каждом шаге (цикле) заменяют одну свободную переменную на базисную, т. е. заполняют одну свободную клетку и взамен освобождают одну из базисных клеток. При этом общее число базисных клеток остается неизменным и равно m + n – 1.

Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует цикл (и при том единственный), одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла (с плюсом в свободной клетке) отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц, которое можно переместить по циклу, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц, возникнут отрицательные перевозки).

Правило: По циклу следует переносить число, меньшее из чисел в клетках со знаком минус.

Пример 6. Решим транспортную задачу из примера 1 распределительным методом.

Начальная стоимость перевозок С=180+216+15+240+72+72+30+160=985.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	– 10 18	8 27	+ 5 3	6	9	48
A2	+ 6	7	– 8 30	6	5	30
A3	8	7	8 9	6 12	5 6	27
A4	7	5	4	6	8 20	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 18 единиц, улучшая при этом план на 18(10+8–5–6)=126.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	– 8 27	+ 5 21	6	9	48
A2	6 18	+ 7	– 8 12	6	5	30
A3	8	7	8 9	6 12	5 6	27
A4	7	5	4	6	8 20	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 12 единиц, улучшая при этом план на 12(8+8–7–5)=48.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	– 8 15	+ 5 33	6	9	48
A2	6 18	7 12	8	6	5	30
A3	8	+ 7	– 8 9	6 12	5 6	27
A4	7	5	4	6	8 20	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 9 единиц, улучшая при этом план на 9(8+8–7–5)=36.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	8 6	5 42	6	9	48
A2	6 18	7 12	8	6	5	30
A3	8	– 7 9	8	6 12	+ 5 6	27
A4	7	+ 5	4	6	– 8 20	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 9 единиц, улучшая при этом план на 9(8+7–5–5)=45.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	8 6	5 42	6	9	48
A2	6 18	7 12	8	6	5	30
A3	8	7	8	– 6 12	+ 5 15	27
A4	7	5 9	4	+ 6	– 8 11	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 11 единиц, улучшая при этом план на 11(8+6–6–5)=33.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	8 6	5 42	6	9	48
A2	6 18	– 7 12	8	+ 6	5	30
A3	8	7	8	6 1	5 26	27
A4	7	+ 5 9	4	– 6 11	8	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

Переносим по циклу 11 единиц, улучшая при этом план на 11(7+6–6–5)=22.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы ai
A1	10	8 6	5 42	6	9	48
A2	6 18	7 1	8	6 11	5	30
A3	8	7	8	6 1	5 26	27
A4	7	5 20	4	6	8	20
Заявки bj	18	27	42	12	26	125

За шесть итераций план был улучшен на 126 + 48 + 36 + 45 + 33 + 22 = 310.

После решения стоимость перевозок:

С = 108 + 48 + 7 + 100 + 210 + 66 + 6 + 130 = 675.

Пример 7. Решим распределительным методом еще одну задачу.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai
A1	– 10 22	+ 7 9	6	8	31
A2	+ 5	– 6 25	5 23	4	48
A3	8	7	6 18	7 20	38
Заявки bj	22	34	41	20	117

Цена цикла: –10 + 7 – 6 + 5 = – 4. Переместим 22 единицы. Улучшение плана на 88.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai
A1	10	7 31	6	8	31
A2	5 22	6 3	– 5 23	+ 4	48
A3	8	7	+ 6 18	– 7 20	38
Заявки bj	22	34	41	20	117

Цена цикла: –5 + 4 – 7 + 6 = – 2. Переместим 20 единицы. Улучшение плана на 40.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai
A1	10	7 31	6	8	31
A2	5 22	6 3	5 3	4 20	48
A3	8	7	6 38	7	38
Заявки bj	22	34	41	20	117

За две итерации найден оптимальный план, который дает меньшую суммарную стоимость перевозок по сравнению с начальным планом на 128.

Недостатком распределительного метода является необходимость отыскания циклов для всех свободных клеток и определения их цен, что весьма затруднительно даже при таблице размерностью 45.

Метод потенциалов для решения транспортной задачи

линейного программирования

Метод потенциалов лишен этого недостатка. Он позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и находить их цены.

Основная идея метода потенциалов заключается во введении понятии псевдо стоимости.

Псевдо стоимость есть сумма потенциальных платежей i-м пунктом отправки (ПО) и j-м пунктом назначения (ПН) за перевозку единицы товара: .не обязательно положительны.

Для каждой базисной клетки псевдо стоимость равна стоимости перевозки единицы товара.

Алгоритм решения транспортной задачи

линейного программирования методом потенциалов [8, 19]

1. Взять любой опорный план, в котором m + n – 1 базисных клеток содержат числа, соответствующие перевозкам. План может быть построен методами северо-западного угла, наименьшей стоимости, Фогеля. Если план вырожденный, то следует привести его к опорному плану с использованием малой фиктивной величины .

2. Определить для этого плана платежи _i и _j исходя из условия, чтобы в любой базисной клетке псевдо стоимости были равны стоимостям _i + _j = c_ij. Один платежей (слагаемое _i или _j) можно произвольно положить равным нулю.

3. Подсчитать псевдо стоимости для всех свободных клеток. Если окажется, что ни одна из них не превышает стоимости, то план оптимален. В этом случае закончить процедуру оптимизации плана.

4. Если хотя бы в одной свободной клетке псевдо стоимость превышает стоимость, то следует приступить к улучшению плана путем переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой (для которой псевдо стоимость больше стоимости). Получить в результате новый план. Перейти к пункту 2 алгоритма.

Пример 8. Решим методом потенциалов задачу из примера 7.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai	Платежи i
A1	10 10 22	7 7 9	6 6	7 8	31	0
A2	9 5	6 6 25	5 5 23	6 4	48	–1
A3	10 8	7 7	6 6 18	7 7 20	38	0
Заявки bj	22	34	41	20	117
Платежи j	10	7	6	7

1. Воспользуемся опорным планом, построенным по методу северо-западного угла в примере 7.

2. В верхнем левом углу каждой базисной клетки проставим ее псевдо стоимость, равную стоимости. Вычислим платежи _i и _j для каждого ПО и ПН. Положим, что платеж первого пункта отправки ₁ = 0. Тогда платеж ₁ = 10, т. к. c₁₁=10= ₁ +₁, а платеж ₂ = 7 по аналогичной причине. Но тогда платеж ₂ = –1, т. к. c₂₂ = 6 = ₂ + ₂. Аналогично вычисляем остальные платежи и записываем их в таблицу.

3. Затем вычисляем псевдо стоимости для свободных клеток и записываем их в левом верхнем углу клетки. Так, например, =₂ + ₁ = –1 + 10 = 9.

4. Просмотрев все свободные клетки таблицы можно увидеть, что псевдо стоимость превышает стоимость в трех клетках (2,1), (3,1), (2,4). Следовательно, следует приступить к улучшению плана путем переброски перевозок по циклу, соответствующему любой свободной клетке с отрицательной ценой. Пусть это будет клетка (2,1). Тогда цикл: (1,1)(1,2)  (2,2)  (2,1). По нему следует перебросить 22 единицы товара, чтобы сделать клетку (2,1) базисной, а клетку (1,1) – свободной. Затем снова перейдем к пункту 2, но уже с новым планом.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai	Платежи i
A1	6 10	7 7 31	6 6	7 8	31	0
A2	5 5 22	6 6 3	5 5 23	6 4	48	–1
A3	6 8	7 7	6 6 18	7 7 20	38	0
Заявки bj	22	34	41	20	117
Платежи j	6	7	6	7

5. Пересчитаем платежи. Оставим в силе предположение, что ₁ = 0. Клетка (1,2) по-прежнему базисная, поэтому ₂ = c₁₂ – 7 = 7 по-прежнему. Но клетка (2,2) тоже базисная. Поэтому по-прежнему ₂ = 6 – 7 = –1 . Теперь клетка (2,1) базисная, поэтому ее псевдо стоимость теперь не 9, а 5, так как ее стоимость равна 5 (=c₂₁ = 5). Но тогда новый платеж ₁ = c₂₁ – ₂ = 5 – (–1) = 6. Остальные платежи не изменятся.

6. Вычислим новые псевдо стоимости для свободных клеток. Теперь =₁ + ₁ = 0 + 6 =6, =₃ + ₁ = 0 + 6 = 6. Остальные псевдо стоимости не изменятся.

7. Просмотрев все свободные клетки таблицы можно увидеть, что псевдо стоимость превышает стоимость в одной клетке (2,4). Следовательно, следует приступить к улучшению плана путем переброски перевозок по циклу, соответствующему этой клетке с отрицательной ценой. Тогда цикл: (3,4)(3,3)  (2,3)  (2,4). По нему следует перебросить 20 единиц товара, чтобы сделать клетку (2,4) базисной, а клетку (3,4) – свободной. Получим новый план.

ПН ПО	B1	B2	B3	B4	Запасы ai	Платежи i
A1	6 10	7 7 31	6 6	5 8	31	0
A2	5 5 22	6 6 3	5 5 3	4 4 20	48	–1
A3	6 8	7 7	6 6 38	5 7	38	0
Заявки bj	22	34	41	20	117
Платежи j	6	7	6	5

8. Пересчитаем платежи. Новый платеж ₄ = c₂₄ – ₂ = 4 – (–1) = 5. Остальные платежи не изменятся.

9. Вычислим новые псевдо стоимости для свободных клеток. Теперь =₁ + ₄ = 0 + 5 =5, =₃ + ₄ = 0 + 5 = 5, =c₂₄ = 4. Остальные псевдо стоимости не изменятся.

10. Поскольку псевдо стоимости всех клеток не превышают их стоимостей, то оптимальный план перевозок найден. Задача решена.