113 3.1. Задачи математической оптимизации ________________________________________________________________________________________________________

Глава 3. Общая характеристика методов оптимизации

Использование критериального языка выбора позволяет выбирать наилучшие (оптимальные) решения путем выделения основного критерия или построения интегрального критерия, оценки альтернативных решений по частным критериям и вычисления значений оценки каждого альтернативного решения по основному или интегральному критерию. Оценки альтернативных решений по частным критериям обычно называются факторами или аргументами целевой функции. Оценки же альтернативных решений по основному или интегральному критерию являются значениями целевой функции. Одним из способов разрешения проблемы многокритериальности является перевод не основных критериев в разряд ограничений. Поэтому оптимальные значения целевой функции в методах оптимизации вычисляются с учетом ограничений.

Лучшими считаются такие решения, оценки которых по основному или интегральному критерию с учетом принимают максимальные или минимальные значения, а их оценки по не основным частным критериям удовлетворяют ограничениям.

3.1. Задачи математической оптимизации

Постановка задачи математической оптимизации.

Задача оптимизации, как было определено ранее, является частным случаем задачи принятия решений, в которой определены множество альтернатив и принцип оптимально­сти (ПО).

Будем считать принцип оптимальности определенным, если задана математическая форма критерия эффективности W при наличии некоторых ограничений [12].

Приведем общую формулировку задачи математической оптимизации. Пусть определен интегральный критерий эффективности W()=W(₁,..., _n), который необходимо максимизировать (минимизировать).

Будем называть функцию W() целевой функцией, а отношения g_j() – балансо­выми уравнениями (равенствами или неравенствами), характеризующими ограничения, налагаемые на оценки альтернатив x^k по критериям _i.

Задача математической оптимизации решена, если найден такой удовлетворяющий ограничениям n – мерный вектор оценки оптимальной альтернативы x по всем n крите­риям * = (₁*,... , _n*), что целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение:

* =(min) W(^k),

где ^k=(₁^k, …, _i^k, …, _n^k) – n – мерный вектор частных оценок альтернативы x^k по каждому из n критериев, характеризующий качество альтернативы x^k  в пространстве R_n, k=;

_i^k – оценка альтернативы x^k по i-му критерию.

Ограничения на вектора ^k определяют область , в которой задана целевая функция W().  – множество векторов ^k.

Ограничения на вектора ^k устанавливаются:

 по ресурсам: g_j() { , = , } b_j, j=.

Будем называть отношения g_j() – балансовыми уравнениями (равенствами или неравенствами).

Пример 1: При решении задач выработки оптимального плана распределения ЗОС на опасные воздушные цели, в роли ограничения на ресурс «количество ЗОС, назна­чаемых на воздушную цель» выступает заданное константой b_j количество ЗОС, имею­щихся на корабле.

Кроме того, в роли ограничения на ресурс «количество ЗОС, назначаемых на воз­душную цель» может выступать количество ЗОС корабля, достаточное для поражения i-й воздушной цели с заданной (требуемой) вероятностью p_j. Данное количество ЗОС зада­ется функцией b_ij= b_нi +_ij(b_с, p_i(b_нi), p_j), аргументами которой являются количество свободных ЗОС (на момент решения задачи распределения ЗОС на данную цель), достигнутая вероят­ность поражения воздушной цели p_i(b_нi), уже назначенными на нее средствами b_нi, и тре­буемая вероятность поражения воздушной цели p_j, заданная оператором БИУС. До тех пор, пока достигнутая комбинированная вероятность поражения i-й воздушной цели p_i(b_нi) не станет больше или равна заданной вероятности p_j, воздушная цель будет находиться в оптимизируемой матрице возможностей обстрела, и свободные ЗОС будут назначаться на эту цель. Достигнутая комбинированная вероятность поражения цели p_i(b_нi) определяется исходя из количества ЗОС b_нi, уже назначенных на данную цель, и вероятностей p_ki по­ражения i-й цели каждым из них.

 по области допустимых значений: _iQ_i, где Q_i – область допустимых значений критерия _i.

Пример 2: Q_i может быть: множеством действительных чисел в интервале от 0 до 1; множеством неотрицательных чисел. В предыдущем примере Q_i может быть только мно­жеством натуральных чисел.