Возможные применения итеративных методов поиска оптимума

В лекции было рассмотрено применение метода для случая, когда известна целевая функция. В книге Дегтярева Ю. И. «Исследование операций» (М.: Высшая школа, 1986) приведен пример для случая неизвестной целевой функции. Суть данного примера состоит в определении оптимальной последовательности проме­ров глубин для нахождения фарватера в акватории бухты. При этом предполагается, что рельеф дна не имеет пологих высту­пов и является унимодальным.

Также можно, например, исполь­зовать метод одномерной оптимизации при проведении имитаци­онного эксперимента с целью определения в БИУС надводного кораб­ля оптимальной длитель­ности Т_ц цикла управления контура ПВО. Известно, что чем меньше длитель­ность Т_ц цикла управления контура ПВО, тем большее число воздушных целей можно обстрелять, хотя этого времени может быть недостаточно для обоснования решения. С увеличением длитель­ности Т_ц цикла управления контура ПВО обоснованность решения повышается. Однако после достижения определенного значения Т_{критическое} эффективность управления снижается, так как не все цели уда­ется обстрелять. Следовательно, в этом случае, имеют дело с унимодальной функцией W = W(Т_ц), характер зависимости кото­рой неизвестен. Одним из ранее рассмотренных методов поиска экстремума последовательными шагами поиска (с учетом заданной точности ) можно выбрать диапазон значений, в котором лежит Т_ц*.

Наряду с рассмотренными методами поиска экстремума су­ществуют и другие методы, в частности методы многомерной оп­тимизации, методы случайного поиска, эвристические, нефор­мальные методы поиска. Для самостоятельного, изучения данных методов могут быть рекомендованы, например, книги Дегтярева Ю. И. «Исследование операций» (М.: Высшая школа, 1986) и «Методы оптимизации» (М.: Советское радио, 1980).

Упражнения:

1. Методами Дихотомии, Чисел Фибоначчи и Золотого сечения найти интервал неопределенности, содержащий точку максимума для унимодальной функции:

при количестве шагов N = 8, расстоянии между точками в методе дихотомии и минимальном размере интервала неопределенности в методе чисел Фибоначчи  = 0,04.

2.Методами Дихотомии, Чисел Фибоначчи и Золотого сечения найти интервал неопределенности, содержащий точку максимума для унимодальной функции, приведенной на рисунке 3.5.7, при количестве шагов N=5, расстоянии между точками в методе дихотомии и минимальном размере интервала неопределенности в методе чисел Фибоначчи =0,1.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 5.3.7. График функции к упражнению 2

Контрольные вопросы:

1. В каких случаях для поиска оптимума целевой функции следует использовать итеративные методы?

2. Какие ограничения накладываются на функцию одного аргумента для того, чтобы ее экстремум можно было найти итеративными методами?

3. Что является интервалом неопределенности при поиске оптимума целевой функции итеративными методами?

4. Что следует понимать под стратегией поиска оптимального значения целевой функции?

5. Чем в итеративных методах поиска оптимума активные стратегии отличаются от пассивных стратегий?

6. Охарактеризуйте двухточечную, пассивную стратегию поиска оптимума целевой функции.

7. Каким образом следует выбирать новый интервал неопределенности в зависимости от результата сравнения значений целевой функции в двух точках одного шага?

8. Какое соотношение положено в основу метода дихотомии?

9. Что определяет  при поиске оптимального значения целевой функции методом дихотомии?

10. Как вычисляется длина интервала неопределенности перед N-м шагом при поиске оптимального значения целевой функции методом дихотомии?

11. Какие два соотношения положены в основу метода чисел Фибоначчи?

12. Дайте характеристику чисел Фибоначчи.

13. Каким образом в методе чисел Фибоначчи длина q-го интервала неопределенности (q=) зависит отN и ?

14. Что определяет  при поиске оптимального значения целевой функции методом чисел Фибоначчи?

15. Как вычисляется длина интервала неопределенности перед N-м шагом при поиске оптимального значения целевой функции методом чисел Фибоначчи?

16. Какие два соотношения положены в основу метода чисел Фибоначчи?

17. Как вычисляется длина интервала неопределенности перед N-м шагом при поиске оптимального значения целевой функции методом Золотого сечения?

18. Как вычисляется константа Золотого сечения?

19. В каком методе поиска оптимального значения целевой функции, длины интервалов на каждом шаге неопределенности не зависят от величины ?