
Метод золотого сечения
В методе золотого сечения в основу положены два соотношения, первое из которых совпадает с соотношением предыдущего метода:
Lq-2
= Lq-1+
Lq
, q=
;
Lq-1/ Lq = const = 1,618.
Константа 1,618 является корнем квадратного уравнения 2=1+, которое получено из соотношения =1+1/.
=
=1,618.
Если предположить, что длина какого-то N-го интервала неопределенности LN=1, то данное соотношение связывает три интервала неопределенности: LN-1=; LN=1; LN+1=1/.
Зная , нетрудно определить все значения i.
1
=1
– 1/
= 0,382;
2 = 1/ = 0,618.
L1=1; L2=1/=0,618; L3=L1–L2=1–0,618=0,382; L4=L2–L3=0,618–0,382= 0,236;
L5= L3 – L4=0,146; L6=0,090; L7= L5 – L6=0,056; L8 = 0,034;
1=1– L2= 1– L2/L1=1– 1/=0,382; 2=L2=0,618;
4=1+L3=0,382+0,382=0,764, т.к. W(2)>W(1); 3=2;
5=4–L4=0,764–0,236=0,528, т. к. W(3)>W(4); 6=3=2;
7=6–L5=3–L5=2–L5=0,618–0,146=0,472, т. к. W(5)>W(6); 8=5;
9 = 8–L6=5–L6=0,528–0,090=0,438, т. к. W(7)>W(8); 10=7;
12=9+L7=9+(L5–L6)=0,438+0,056=0,494, т. к. W(10)>W(9), а 11=10=7;
14= 11 +L8=11 +(L6–L7)=0,472+0,034=0,506, т. к.W(12)>W(11), а 13=11;
Одна из точек очередного интервала неопределенности Li переходит на следующий за ним интервал Li+1. Так как на каждом шаге значение L уменьшается в раз, то LN = 1/N-1.
Решение задачи этим методом приведено на рисунке 3.5.6 и в таблице 4.
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 | ||||
L2 = 0,618 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
| |||
L3 = 0,382 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
0,764 |
|
|
| |||
L4 = 0,236 |
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
|
0,618 |
|
|
|
|
|
| |||
L5 = 0,146 |
|
|
|
|
10 |
|
0,528 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
L6 = 0, 090 |
|
|
|
0,438 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
L7 = 0, 056 |
|
|
|
0,472 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5.6. Шаги поиска экстремума при стратегии золотого сечения
Таблица 4. Шаги поиска экстремума W() при стратегии золотого сечения
i |
2i-1 |
2i |
Li |
W(2i-1) |
W(2i) |
1 |
0,382 |
0,618 |
1 |
3,161 |
3,244 |
2 |
0,618 |
0,764 |
0,618 |
3,244 |
2,952 |
3 |
0,528 |
0,618 |
0,382 |
3,424 |
3,244 |
4 |
0,472 |
0,528 |
0,236 |
4,146 |
3,424 |
5 |
0,438 |
0,472 |
0,146 |
3,841 |
4,146 |
6 |
0,472 |
0,494 |
0,090 |
4,146 |
4,430 |
7 |
0,472 |
0,506 |
0,056 |
4,146 |
3,468 |
Таким образом, после шести шагов, на которых целевая функция была измерена всего в семи точках, имеем: * [0,472; 0,528].
Проведем сравнительный анализ итеративных методов поиска оптимума, результаты которого сведены в таблицу 5.
Таблица. 5. Результаты сравнительного анализа итеративных методов поиска оптимума
Количество точек (i), в которых производится замер W( i) |
Длина интервала неопределенности перед замером W( i) в i–й точке | ||
Метод дихотомии |
Метод чисел Фибоначчи |
Метод золотого сечения | |
Активная стратегия (N=6, =0,05) |
Пассивная стратегия (N=11, =0,01) |
Активная Стратегия (N=11) | |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
0,53 |
0,61764 |
0,618034 |
4 |
0,53 |
0,38180 |
0,381966 |
5 |
0,29 |
0,23584 |
0,236073 |
6 |
0,29 |
0,14596 |
0,145904 |
7 |
0.17 |
0,08988 |
0,090176 |
8 |
0.17 |
0,05608 |
0,055733 |
9 |
0,11 |
0,03380 |
0,034445 |
10 |
0,11 |
0,02228 |
0,021289 |
11 |
0,08 |
0,01152 |
0,013157 |
12 |
0,08 |
0,01076 |
0,007831 |
Как видно из таблицы наиболее эффективным является метод золотого сечения, т. к. этим методом при одних и тех же количествах измерений значений целевой функции (i) длина интервала неопределенности меньше, чем при использовании метода дихотомии и практически такая же, как при использовании метода чисел Фибоначчи. Однако эта длина в методе Золотого сечения не зависит от , и нет необходимости вычислять ее заранее. Можно заметить, что интервалы неопределенности, вычисляемые методом чисел Фибоначчи, с увеличением N (и соответственно с уменьшением ) все больше становятся похожими на интервалы неопределенности, вычисляемые методом Золотого сечения.