Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Учебники ТПР / Учебник ТПР_3.5.doc
Скачиваний:
138
Добавлен:
17.06.2016
Размер:
436.74 Кб
Скачать

Метод золотого сечения

В методе золотого сечения в основу положены два соотно­шения, первое из которых совпадает с соотношением предыдуще­го метода:

Lq-2 = Lq-1+ Lq , q=;

Lq-1/ Lq = const =  1,618.

Константа 1,618 является корнем квадратного уравнения 2=1+, которое получено из соотношения =1+1/.

==1,618.

Если предположить, что длина какого-то N-го интервала неопределенности LN=1, то данное соотношение связывает три интервала неопределенности: LN-1=; LN=1; LN+1=1/.

Зная , нетрудно определить все значения i.

1 =1 – 1/ = 0,382;

2 = 1/ = 0,618.

L1=1; L2=1/=0,618; L3=L1–L2=1–0,618=0,382; L4=L2–L3=0,618–0,382= 0,236;

L5= L3 – L4=0,146; L6=0,090; L7= L5 – L6=0,056; L8 = 0,034;

1=1– L2= 1– L2/L1=1– 1/=0,382; 2=L2=0,618;

4=1+L3=0,382+0,382=0,764, т.к. W(2)>W(1); 3=2;

5=4–L4=0,764–0,236=0,528, т. к. W(3)>W(4); 6=3=2;

7=6–L5=3–L5=2–L5=0,618–0,146=0,472, т. к. W(5)>W(6); 8=5;

9 = 8–L6=5–L6=0,528–0,090=0,438, т. к. W(7)>W(8); 10=7;

12=9+L7=9+(L5–L6)=0,438+0,056=0,494, т. к. W(10)>W(9), а 11=10=7;

14= 11 +L8=11 +(L6–L7)=0,472+0,034=0,506, т. к.W(12)>W(11), а 13=11;

Одна из точек очередного интервала неопределенности Li переходит на следующий за ним интервал Li+1. Так как на каждом шаге значение L уменьшается в  раз, то LN = 1/N-1.

Решение задачи этим методом приведено на рисунке 3.5.6 и в таблице 4.

0L1 = 1

1

2

1

L2 = 0,618

0,382

3

4

L3 = 0,382

5

6

0,764

L4 = 0,236

7

8

0,618

L5 = 0,146

9

10

0,528

L6 = 0, 090

0,438

11

12

L7 = 0, 056

0,472

L7 =

0, 056

Рис. 3.5.6. Шаги поиска экстремума при стратегии золотого сечения

Таблица 4. Шаги поиска экстремума W() при стратегии золотого сечения

i

2i-1

2i

Li

W(2i-1)

W(2i)

1

0,382

0,618

1

3,161

3,244

2

0,618

0,764

0,618

3,244

2,952

3

0,528

0,618

0,382

3,424

3,244

4

0,472

0,528

0,236

4,146

3,424

5

0,438

0,472

0,146

3,841

4,146

6

0,472

0,494

0,090

4,146

4,430

7

0,472

0,506

0,056

4,146

3,468

Таким образом, после шести шагов, на которых целевая функция была измерена всего в семи точках, имеем: *  [0,472; 0,528].

Проведем сравнительный анализ итеративных методов поиска оптимума, результаты которого сведены в таблицу 5.

Таблица. 5. Результаты сравнительного анализа итеративных методов поиска оптимума

Количество точек (i), в которых производится замер W( i)

Длина интервала неопределенности

перед замером W( i) в i–й точке

Метод

дихотомии

Метод

чисел Фибоначчи

Метод золотого сечения

Активная

стратегия

(N=6, =0,05)

Пассивная

стратегия

(N=11, =0,01)

Активная

Стратегия

(N=11)

1

1

1

1

2

1

1

1

3

0,53

0,61764

0,618034

4

0,53

0,38180

0,381966

5

0,29

0,23584

0,236073

6

0,29

0,14596

0,145904

7

0.17

0,08988

0,090176

8

0.17

0,05608

0,055733

9

0,11

0,03380

0,034445

10

0,11

0,02228

0,021289

11

0,08

0,01152

0,013157

12

0,08

0,01076

0,007831

Как видно из таблицы наиболее эффективным является метод золотого сечения, т. к. этим методом при одних и тех же количествах измерений значений целевой функции (i) длина интервала неопределенности меньше, чем при использовании метода дихотомии и практически такая же, как при использовании метода чисел Фибоначчи. Однако эта длина в методе Золотого сечения не зависит от , и нет необходимости вычислять ее заранее. Можно заметить, что интервалы неопределенности, вычисляемые методом чисел Фибоначчи, с увеличением N (и соответственно с уменьшением ) все больше становятся похожими на интервалы неопределенности, вычисляемые методом Золотого сечения.

Соседние файлы в папке Учебники ТПР