Метод золотого сечения

В методе золотого сечения в основу положены два соотно­шения, первое из которых совпадает с соотношением предыдуще­го метода:

L_q-2 = L_q-1+ L_q , q=;

L_q-1/ L_q = const =  1,618.

Константа 1,618 является корнем квадратного уравнения ²=1+, которое получено из соотношения =1+1/.

==1,618.

Если предположить, что длина какого-то N-го интервала неопределенности L_N=1, то данное соотношение связывает три интервала неопределенности: L_N-1=; L_N=1; L_N+1=1/.

Зная , нетрудно определить все значения ⁱ.

¹ =1 – 1/ = 0,382;

² = 1/ = 0,618.

L₁=1; L₂=1/=0,618; L₃=L₁–L₂=1–0,618=0,382; L₄=L₂–L₃=0,618–0,382= 0,236;

L₅= L₃ – L₄=0,146; L₆=0,090; L₇= L₅ – L₆=0,056; L₈ = 0,034;

¹=1– L₂= 1– L₂/L₁=1– 1/=0,382; ²=L₂=0,618;

⁴=¹+L₃=0,382+0,382=0,764, т.к. W(²)>W(¹); ³=²;

⁵=⁴–L₄=0,764–0,236=0,528, т. к. W(³)>W(⁴); ⁶=³=²;

⁷=⁶–L₅=³–L₅=²–L₅=0,618–0,146=0,472, т. к. W(⁵)>W(⁶); ⁸=⁵;

⁹ = ⁸–L₆=⁵–L₆=0,528–0,090=0,438, т. к. W(⁷)>W(⁸); ¹⁰=⁷;

¹²=⁹+L₇=⁹+(L₅–L₆)=0,438+0,056=0,494, т. к. W(¹⁰)>W(⁹), а ¹¹=¹⁰=⁷;

¹⁴= ¹¹ +L₈=¹¹ +(L₆–L₇)=0,472+0,034=0,506, т. к.W(¹²)>W(¹¹), а ¹³=¹¹;

Одна из точек очередного интервала неопределенности L_i переходит на следующий за ним интервал L_i+1. Так как на каждом шаге значение L уменьшается в  раз, то L_N = 1/^N-1.

Решение задачи этим методом приведено на рисунке 3.5.6 и в таблице 4.

0L1 = 1

1

2

1

L2 = 0,618

0,382

3

4

L3 = 0,382

5

6

0,764

L4 = 0,236

7

8

0,618

L5 = 0,146

9

10

0,528

L6 = 0, 090

0,438

11

12

L7 = 0, 056

0,472

L7 =

0, 056

Рис. 3.5.6. Шаги поиска экстремума при стратегии золотого сечения

Таблица 4. Шаги поиска экстремума W() при стратегии золотого сечения

i	2i-1	2i	Li	W(2i-1)	W(2i)
1	0,382	0,618	1	3,161	3,244
2	0,618	0,764	0,618	3,244	2,952
3	0,528	0,618	0,382	3,424	3,244
4	0,472	0,528	0,236	4,146	3,424
5	0,438	0,472	0,146	3,841	4,146
6	0,472	0,494	0,090	4,146	4,430
7	0,472	0,506	0,056	4,146	3,468

Таким образом, после шести шагов, на которых целевая функция была измерена всего в семи точках, имеем: *  [0,472; 0,528].

Проведем сравнительный анализ итеративных методов поиска оптимума, результаты которого сведены в таблицу 5.

Таблица. 5. Результаты сравнительного анализа итеративных методов поиска оптимума

Количество точек (i), в которых производится замер W( i)	Длина интервала неопределенности перед замером W( i) в i–й точке
	Метод дихотомии	Метод чисел Фибоначчи	Метод золотого сечения
	Активная стратегия (N=6, =0,05)	Пассивная стратегия (N=11, =0,01)	Активная Стратегия (N=11)
1	1	1	1
2	1	1	1
3	0,53	0,61764	0,618034
4	0,53	0,38180	0,381966
5	0,29	0,23584	0,236073
6	0,29	0,14596	0,145904
7	0.17	0,08988	0,090176
8	0.17	0,05608	0,055733
9	0,11	0,03380	0,034445
10	0,11	0,02228	0,021289
11	0,08	0,01152	0,013157
12	0,08	0,01076	0,007831

Как видно из таблицы наиболее эффективным является метод золотого сечения, т. к. этим методом при одних и тех же количествах измерений значений целевой функции (i) длина интервала неопределенности меньше, чем при использовании метода дихотомии и практически такая же, как при использовании метода чисел Фибоначчи. Однако эта длина в методе Золотого сечения не зависит от , и нет необходимости вычислять ее заранее. Можно заметить, что интервалы неопределенности, вычисляемые методом чисел Фибоначчи, с увеличением N (и соответственно с уменьшением ) все больше становятся похожими на интервалы неопределенности, вычисляемые методом Золотого сечения.