Метод чисел Фибоначчи

В основу метода чисел Фибоначчи положены два соотношения:

L_q-2 = L_q-1+ L_q , q=;

L_N = (L_N-1 + )/2.

Первое из этих двух соотношений определяет связь трех соседних интервалов неопределенности. Второе соотношение требует, чтобы в завершении эксперимента две последние точки находились симметрично на интервале неопределенности L_N-1. Здесь  - минимальный размер интервала неопределенности L_N, вычисляемый перед N–м шагом.

Расчеты показывают, что в диапазоне реальных значений N (от 4-5 до 25-30) метод чисел Фибоначчи эффективнее метода дихотомии на 20-30%. Это объясняется тем, что сокращение длины очередного интервала L_q требует здесь проведения одно­го нового эксперимента, тогда как в схеме дихотомии их тре­бовалось два.

Так как второе граничное условие связывает L_N и L_N-1, то схему поиска следует строить от конца к началу. В итоге обнаруживается зависимость длин интервалов неопределенности, вычисляемых на каждом шаге и координат точек, в которых следует вычислять значения целевой функции, от значений N и , заданных при планировании поиска. Необходимо помнить, значение  не должно быть больше, чем L_N.

Для разрешения этой проблемы заранее рассчитаны коэффи­циенты при L_N и  c целью определения различных значений L_q, названные числами Фибоначчи F_N в честь итальянского ма­тематика XIII века Леонарда Пизанского (Фибоначчи):

L_q= F_N-q+1 L_N – F_N-q-1.

Если же в результате вычисления по приведенной выше формуле значение L_N окажется меньше, чем значение , то следует уменьшать либо минимальный размер интервала неопределенности , либо количество шагов N. Иначе при вычислении L_N-1 будет получаться не логичное неравенство: L_N-1 < L_N.

В табл. 2 приведены значения F_N для малых значений N.

Нетрудно видеть, что эти числа определяются соотношениями

F₀ = F₁ =1; F_k = F_k-1 + F_k-2; k=2, 3, ….

Таблица 2. Числа Фибоначчи

N	FN	N	FN	N	FN
0	1	6	13	12	233
1	1	7	21	13	377
2	2	8	34	14	610
3	3	9	55	15	987
4	5	10	89	16	1597
5	8	11	144	17	2584

На рис. 3.5.4. приведена геометрическая иллюстрация схемы поиска экстремума методом чисел Фибоначчи. Из нее видно, что L_N-3 = L_N-1+ L_N-2. Если считать, что исходный интервал L₁=1, то L₂ + L₃ =1, а также ¹=1– L₂, ²= L₂. При этом точки ¹ и ² расположены симметрично относительно центра единичного интервала L₁=1.

Рис. 3.5.4. Геометрическая иллюстрация задачи поиска экстремума методом чисел Фибоначчи

Решим предыдущую задачу поиска экстремума методом чисел Фибоначчи.

Как было указано ранее N = 6 ,  = 0,05. Тогда, приняв q=1 и L₁=1, воспользуемся формулой

L_q= F_N-q+1 L_N – F_N-q-1.

Получим L₁=F_6-1+1L₆–F_6-1-1=F₆L₆ – F₄=13L₆–50,05=13L₆ – 0,25=1;  L₆=. Остальные длины интервалов неопределенности определим, воспользовавшись формулойL_N-3 = L_N-1+ L_N-2.

Тогда L₄ = L₆ + L₅  L₅ + 0,1;

L₃ = L₅ + L₄  L₅ + L₅ + 0,1 2L₅ + 0,1;

L₂ = L₄ + L₃  L₅ + 0,1+ 2L₅ + 0,1 3L₅ + 0,2;

L₁ = L₃ + L₂  2L₅ + 0,1+ 3L₅ + 0,2 5L₅ + 0,3 = 1.

Следовательно, L₅=;L₄ =L₅ + 0,1=0,24; L₃ =2L₅ + 0,1=0,38;

L₂ =3L₅ + 0,2=0,62;  ¹ = 1 – 0,62 =0,38; ² = 0,62; L₁ = 5L₅ + 0,3 = 1, что и было предположено.

До начала решения задачи исходный интервал неопределенности [0; 1] длины L₁ = 1. После измерений значений целевой функции в точках ¹, ² и сравнения их выявляем, что большее значение целевая функция принимает в точке ² =0,62, поэтому новый интервал неопределенности [0,38; 1] длины L₂ = 0,62.

Нам уже известно, что длина третьего интервала неопределенности L₃ = 0,38. Заметим, что расстояние от 1 до 0,62 как раз и составляет 0,38, поэтому первая точка нового второго шага нам уже известна. Это точка ³=²=0,62. Осталось найти вторую точку второго шага такую, которая отстояла бы вправо по шкале на 0,38 от левой границы интервала неопределенности L₂ – от точки ¹=0,38. Тогда ⁴=0,38+0,38=0,76. Процесс решения этой задачи приведен на рис.3.5.5 и в таблице 3.

0L1 = 1

1

0,62

2

1

L2 = 0,62

0,38

3

4

L3 = 0,38

5

6

0,76

L4 = 0,24

0,48

7

8

L5 = 0,14

9

10

0,52

L6 = 0,10

0,42

11

12

L7=0, 067

0,46

L7 = 0, 067

Рис. 3.5.5. Шаги поиска экстремума при стратегии чисел Фибоначчи

Таблица 3. Шаги поиска экстремума W() при стратегии чисел Фибоначчи

i	2i-1	2i	Li	W(2i-1)	W(2i)
1	0,38	0,62	1	3,14	3,24
2	0,62	0,76	0,62	3,24	2,96
3	0,52	0,62	0,38	3,44	3,24
4	0,48	0,52	0,24	4,22	3,44
5	0,42	0,48	0,14	3,53	4,22
6	0,46	0,48	0,10	3,97	4,22

Таким образом, *[0,46; 0,52]. Это с допустимой точ­ностью совпадает с результатами, полученными методом дихото­мии. Однако потребовалось меньшее число экспериментов, так как (это видно из таблицы и рисунка) на каждом шаге поиска требуется только одно новое измерение целевой функции, т. к. одна из точек предыдущего интервала неопределенности L_i переходит на очередной интервал L_i+1.

В качестве недостатка метода чисел Фибоначчи следует отметить то, что для того, чтобы найти первое число ¹ = f(N, ) нужно знать значения аргументов функции f, что не всегда возможно. Изменение N в ходе экспериментов в метод чисел Фибоначчи невозможно. Т. е. метод чисел Фибоначчи является итеративным методом поиска экстремума целевой функции, использующим пассивную стратегию. Лишен данного недостатка рассматриваемый далее метод золо­того сечения, хотя его эффективность несколько меньше (при­мерно в 1,17 раза при N > 4), чем эффективность метода чи­сел Фибоначчи.

Как мы видим, для определения L₆=0,1 методом чисел Фибоначчи нам потребовалось измерить значения целевой функции всего в шести точках. При решении данной задачи методом дихотомии после шести измерений интервал неопределенности был равен L₄=0,17, после восьми измерений – L₅=0,11, после десяти – L₆=0,08, а после двенадцати – L₇=0,065. Для сравнения, методом чисел Фибоначчи после одиннадцати измерений интервал неопределенности (при N = 10) будет равен

L₁=F_10-1+1L₁₀–F_10-1-1= F₁₀L₁₀–F₈=89L₁₀–1,7=1;  L₁₀=.

Аналогично находим интервал неопределенности после 12 (при =0,01) L₁₁=и после 13 (при=0,006) измерений L₁₂=.