105

4.5. Методы решения задач целочисленного программирования

____________________________________________________________________________________________________________

4.5. Методы решения задач целочисленного программирования

Понятие целочисленного программирования

Если в задаче линейного программирования в качестве дополнительного ограничения указывается, что значения переменных должны быть целыми, то такая задача линейного программирования называется задачей целочисленного программирования [19].

Если целевая функция зависит всего от двух переменных, понятие целочисленного программирования можно проиллюстрировать геометрически (рис. 4.5.1). Допустимыми решениями задачи является не вся область возможных значений этих переменных, а лишь отдельные точки плоскости ( ₁,  ₂), имеющие целые значения координат  ₁ и  ₂.

Рис. 4.5.1. Область допустимых решений для задачи ЦП

Точками на рисунке 4.5.1 отмечены целочисленные координаты области значений переменных  ₁ и  ₂, которые по существу являются целыми значениями оценок альтернатив по критериям  ₁ и  ₂.

При решении задач целочисленного программирования, казалось бы, можно использовать симплекс – метод решения задач ЛП, не считаясь с тем, что введено дополнительное ограничение на целочисленные значения переменных, а затем округлить полученное решение до ближайшей точки с целыми координатами. Однако полученное при этом решение может быть не оптимальным, т. к., даже в случае с двумя переменными, не ясно до какой ближайшей точки с целыми координатами следует округлять решение. На рис. 4.5.1 таких точек две: (4, 2) и (4, 3). Две прямые линии, показанные на рис. 4.5.1, соответствуют проекциям двух множеств точек плоскости целевой функции W(), равноудаленных по вертикали от плоскости ( ₁,  ₂) на эту плоскость. Прямая линия, проходящая через точку (4, 2), соответствует большему значению W(), чем параллельная ей прямая, проходящая через точку (4, 3).

Существует несколько методов непосредственного решения задач целочисленного программирования. Наиболее распространенным из таких методов является метод Гомори (метод отсекающих плоскостей).

Метод Гомори для решения задач

целочисленного программирования [19]

Данный метод основан на применении симплекс – метода, с помощью которого первоначально находится оптимальное решение задачи ЛП без учета ограничений на целочисленность переменных.

Если значения переменных, дающие оптимальное значение целевой функции, целые, то задача решена, и применение метода заканчивается.

В противном случае, т. е. когда значение хотя бы одной переменной получилось не целым, следует ввести дополнительное линейное ограничение, которое отсекает нецелочисленную точку ( _1опт,  _2опт) решения задачи ЛП вместе с целой областью допустимых решений задачи ЛП, не содержащей целочисленные решения. Прибавленное отсечение (дополнительное линейное ограничение) не отбрасывает ни одной исходной допустимой целочисленной точки. Но каждое отсечение должно проходить, по меньшей мере, через одну допустимую точку (допустимую или не допустимую). Искомое отсечение (дополнительное линейное ограничение) строится на основании дробных составляющих коэффициентов производящей строки симплекс – таблицы, в столбце «Решение» которой находится не целое число. Такой производящей строкой также может быть и W()-строка, если в исходной целевой функции все коэффициенты перед переменными являются целыми числами (из этого следует, что при целых значениях аргументов значение целевой функции также является целым).

Затем задача ЛП с полученной целевой функцией и новыми ограничениями (старыми и одним дополнительным) снова решается симплекс – методом.

Если новое решение оказалось еще не целочисленным, то итерация повторяется, т. е. вводится еще одно дополнительное ограничение и снова задача решается симплекс – методом. И так до тех пор, пока не будет получено решение, при котором значения всех переменных целые.