Метод построения субъективного распределения вероятностей

В том случае, если функция распределения вероятностей состояний природы неизвестна, лицом, принимающим решение, строитсясубъективное расп­ределение вероятностей.

Для определения субъективной вероятности ис­пользуется понятие простой лотереи L(x₁,р,х₂), приведенное первой главе. Пусть имеются лотереяL₁, которая дает играющему выигрышx₁с вероятностьюри выигрышх₂с вероятностью (1 –р).

Пусть также имеется и другая лотерея L₂, с теми же призами, но с другой процедурой их розыгрыша: играющий получает выиг­рышx₁, если происходит событиеЕ, и выигрышх₂, если оно не происходит. Если для играющего лотереиL₁иL₂окажутся эк­вивалентными, то субъективная вероятность того, что наступит событиеЕ, равнар.

Рассмотрим алгоритм построения субъективного распределения вероятностей. Пусть каждой реализации случайного событияЕсоответствует некоторое число на абсолютной шкале в диапазоне [Е_а,Е_b]. Тогда функцию(Ее), по которой для каждого значенияеможно определить вероятность того, что значениеЕбудет принадлежать диапазону [Е_а,е], будем называтьфункцией субъективного определения вероятностей случайной величины Е.

На интервале [Е_а,Е_b] последовательным изменением значенийенайдем такое значениее_0,5, что вероятность попадания случайной величиныЕв интервал [Е_а,е_0,5] равна вероятности ее попадания в интервал [е_0,5,Е_b]. Это означает, что(Ее)=0,5.

Аналогично находим значения е_0,25,е_0,75 е_0,625,е_0,875и др., которые определяют субъективные вероятности(Ее) равные 0,25; 0,75; 0,625; 0,875. В дальнейшем по точкам строится график функции распределения субъективной вероятности. Полученное распределение может быть использовано для принятия решения в условиях неопределенности.

Например, длительность боевой службы, в течение которой БИУС НК работает непрерывно, – 8 месяцев. Опытный инженер по эксплуатации БИУС НК знает, что за период боевой службы происходит около 20 отказов логических блоков приборов БИУС. Причем более половины отказов происходит в течение первого месяца боевой службы. ТогдаЕ_а=0 месяцев - соответствует началу боевой службы,Е_b=8 месяцев - соответствует окончанию боевой службы, а субъективное распределение вероятностей возникновения отказов в логических блоках приборов БИУС НК может быть следующим:е_0,5=1 месяц,е_0,25=0,5 месяцев,е_0,75=4,5 месяца,е_0,625=2,75 месяца,е_0,875=6,25 месяца.

Упражнения:

1. Определить оптимальные ходы для первого и второго игрока по критериям выбора: максимин (минимакс), минимаксного сожаления Сэвиджа, пессимизма-оптимизма Гурвица, Лапласа, если игра задана матрицей:

.

2. Выбрать оптимальную стратегию для первого и второго игрока в игре, заданной матрицей задания 1.

3. Определить оптимальный ход для первого игрока по критерию Байеса в игре задания 1, если известно распределение вероятностей ходов второго игрока: = 0,5;= 0,3,= 0,2.

4. Из множества {d₁₁₂₃,d₁₃₃₄,d₁₁₁₄,d₁₂₃₄} выбрать решающую функцию, минимизирующую средний риск при выборе варианта решения. Условия задачи приведены в примере 6, но матрица потерь выглядит следующим образом:

,

а полученное в результате эксперимента распределение вероятностей :

	z1	z1	z1	z1
1	0,3	0,3	0,2	0,2
2	0,1	0,2	0,3	0,4

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются задачи принятия решений в условиях риска и при наличии неопределенности?

2. Дайте определение понятию стратегия принятия решений в условиях неопределенности.

3. Дайте определение понятию цена игры.

4. Охарактеризуйте минимаксный (максиминный) критерий выбора хода в условиях неопределенности.

5. Охарактеризуйте критерий минимаксного сожаления Сэвиджа для выбора хода в условиях неопределенности.

6. Охарактеризуйте критерий пессимизма-оптимизма Гурвица для выбора хода в условиях неопределенности.

7. Охарактеризуйте критерий Лапласа для выбора хода в условиях неопределенности.

8. Охарактеризуйте Байесовский подход при определении лучшей альтернативы в условиях риска.

9. В чем заключается суть статистических игр без экспериментов?

10. В чем заключается суть статистических игр с экспериментами?

11. Как проверять гипотезы при помощи эксперимента?

12. Дайте характеристику статистических игр с единичным экспериментом.

13. Дайте характеристику статистических игр с последовательными выборками.

14. Охарактеризуйте метод построения субъективного распределения вероятностей.