Примером такой игры может быть задача о планировании проведения ремонта корабельной асу.

Пример 4.

Пусть установлено, что автоматизированная система управления находится в одном из двух возможных состояний:

₁ - система выработала свой технический ресурс до ремонта;

₂ - система не выработала свой ресурс.

Пусть также известно распределение вероятностей состояния системы:

= 0,6; = 0,4.

Для планирования ремонта возможны четыре различных способа действий:

x₁- не проводить плановый ремонт;

x₂- провести межпоходовый ремонт;

x₃- провести текущий ремонт;

x₄- провести средний ремонт.

Потери (в условных единицах), которые возникают при этом, сведены в матрицу потерь вида

В эти потери включается стоимость ремонта, а также убытки, связанные с происходящими отказами в АСУ.

При выборе принципа минимаксанаходимс ценой игрыg₃₁= 7.

При выборе принципа Байеса

= 0,610 + 0,44 = 7,6;=0,68 + 0,45 = 6,8;

= 0,67 + 0,46 = 6,6;= 0,67 + 0,48 = 7,4.

Таким образом, действием, обеспечивающим минимальные потери, будет действие х₃.

Статистические игры с экспериментами

Чтобы уменьшить неопределенность относительно состояния природы, проводится эксперимент, в ходе которого наблюдается некоторая случайная величина z, характеризующая состояние природы . Возможные значения этой случайной величиныz_k  Z образуют выборочное пространство :

 = <Z,,f>,

где f(z_k /_j),– плотность распределения вероятности исхода экспериментаz_kпри данном состоянии природы_j.

Зная значения z_kи знаяf(z_k /_j), можно получить информацию относи­тельно состояния природы , которая в свою очередь поможет создать общую стратегию игры, определяющую выбор действия (хода)x_i для каж­догоz_k. Выбор такой стратегии эквивалентен выбору решающей функцииd, определяющей альтернативуx_i, которую нужно выбрать при всех возможных значенияхz_k:d(z_k) =x_i.

Предположим, например, что множество возможных вариантов действий (ходов) Х = <x₁,x₂, x₃>, а пространс­тво исходов экспериментаZ= {z₁,z₂,z₃,z₄}. Решающая функция задана перечислением для каждогоx_iподмножеств из пространс­тва (множества) возможных исходов экспериментаZ_l. Такой функцией может быть семейство:

Z₁= {z₁,z₂} для выбораx₁;

Z₂= {z₃} для выбораx₂;

Z₃= {z₄} для выбораx₃.

Эта решающая функция, вместе с другими возможными решающими функциями, задает пространство (множество) решающих функций D. Для задания таких решающих функций будем использовать индексы приd, которые указывают на индексiдействия (хода)х_iв случае исходаz_k. Мощность множестваZопределяет количество индексов (позиций). Так, для задачи, приведенной в примере 4,d₁₁₂₃означает, что при исходах экспериментаz₁,z₂,z₃,z₄ выбираются соответственноx₁,x₁,x₂, x₃.

Теорию принятия решений в условиях статистической неопределенности можно считать наукой о том, как выбрать решающую функцию из пространства (множества) решающих функций D.

Два основных раздела математической статистики:оцениваниеипроверка гипотез– являютсячастными случаями сформулированной общей задачи принятия решений в условиях неопределённости.

При оценивании считают, что множество возможных действий Х равно множеству возможных состояний природы (обычно это числовая ось или ее подмножество). Т. к. в данном случае принятие решения состоит в выборе наилучшего варианта действий с точки зрения потерь, т.е. в оценке потерь при каждом возможном варианте и выборе такого варианта, при котором потери минимальны.

Вид функции потерьLзависит отособенностей моделируе­мой задачи, но наиболеетипичными являются:

L(, z) = |–d(z)| илиL(, z) = (–d(z))².

Решающая функция, называемаяпроцедурой оцениваниявидаd: Z R₁, оценивает параметр «состояние природы» – значения случайной величины– по данным исхода эксперимента z, т. е. отображает множество Z возможных исходов эксперимента, характеризующих состояния природы, на числовую ось R₁.

Так, например,

d₁(z) = 1/n(z₁+...+z_n) = оценивает ма­тематическое ожидание случайной величины;

d₂(z) =оценивает дисперсию этой величины.

Проверка гипотез при помощи эксперимента

При проверке гипотезпространство параметровпредс­тавляется в виде объединения двух непересекающихся подмно­жеств:₀(подмно­жество благоприятных состояний природы) и₁(подмно­жество не благоприятных состояний природы):₀₁ = и₀₁=.

Множество возможных решений состоит только из двух аль­тернатив х₀иx₁, определяемых таким образом, что действиех₀ состоит в принятии гипотезы Н₀:₀, а действиеx₁– в принятии гипотезы Н₁:₁. Под значениемпонимается фактическое состояние природы.

Функция потерь зависит от подмножеств возможных состояний природы ₀и₁. Например, при проверке простых гипотез можно предположить, чтоG(х₀,₀) =G(х₁,₁) = 0, т.е. гипотеза выбрана без ошибок.G(х₀,₁) иG(х₁,₀) оценивает потери при ошибках первого рода (не правильное отнесение фактического благоприятного состояния природы к подмно­жеству не благоприятных состояний природы) и второго рода (не правильное отнесение фактического не благоприятного состояния природы к подмно­жеству благоприятных состояний природы).

Решающая функция d(z) разбивает множество (пространство) Z возможных исходов эксперимента на пространствоS, называемое областью принятия гипотезы и его дополнение Z\S, называемое критической областью:

Размеры критической области определяются значимостью результатов проверки гипотезы, наличием априорной информации, характером проверяемой гипотезы.

Пусть, например, о случайной величине известно, что она подчиняется нормальному закону распределения с известным среднеквадратическим отклонением. Для дополнения этой априорной информации о природе был проведен эксперимент, в результате которого получена случайная выборкаZобъемаn. Необходимо проверитьгипотезу Н₀о том, что среднее значение выборки равно математическому ожиданию случайной величиныМ(). Случайную величинуZприведем к стандартизированному виду:

.

Если гипотеза Н₀верна, то величинаZ_СТимеет стандар­тизированное нормальное распределение снулевым математичес­ким ожиданиемМ() = 0 (или математичес­ким ожиданием, смещенным от нуля на величинуМ() > 0) иединичной дисперсией ²=1 (или дисперсией, равной единице измерения случайной величины). Альтернативной будет гипотеза Н₁о том, что это неверно.

Для вычисления области принятия гипотезы и критической области задается уровень значимости  – вероятность ошибоч­ного отклонения гипотезы Н₀. Наиболее употребительны значения =0,05; =0,01; =0,001.

Интервал [Z_СТ1;Z_СТ2], в котором Р(Z_СТ1 < Z_СТ < Z_СТ2) = 1–, определяет область принятия гипотезы с соответствующим уров­нем значимости(доверительный интервал). ИнтервалыZ_СТ >Z_СТ2 иZ_СТ < Z_СТ1 опреде­ляют критическую область (ограничивающую область принятия гипотезы Н₀ с обеих сторон), в которойZ_СТможет находиться лишь с вероятностью. Возможно задание односторонних об­ластей, при котором область принятия гипотезы ограничивается только с одной стороны.

Для определения областей принятия и отклонения гипотез используют таблицы нормального распределения для разных значений .

Пример 5.

Пусть, например, на предприятии изготовляются логические блоки, в паспорте которых указано среднее время наработки на отказ 800 часов, со стандартным отклонением 120 часов. Опыт эксплуатации 20 блоков при нормальных условиях эксплуатации обеспечивает=700 ч. Можно ли утверждать, что предприятие правильно определило значение Т₀= 800 часов?

В качестве нулевой гипотезы Н₀примем М()=800 ч. Альтернативная гипотеза Н₁: М() < 800 ч. Выберем уровень значимости= 0,05 и определим стандартизированную форму случайной величины

При 5% уровне значимости и односторонней проверке гипотезы из таблиц нормального распределения следует, что = 1,65. Таким образом, областью принятия гипотезы Н₀является интервал [– 1,65; +].

Поскольку –3,72 [– 1,65; +], то гипотеза Н₀отклоняется. Принимается гипо­теза Н₁, состоящая в том, что данные логические блоки менее надежны, чем указано в паспортных данных. Вероятность того, что эта гипотеза принята ошибочно:=0,05.

Если проводится дополнительный эксперимент, то говорят остатистических играх с проведением единичного экспериментаили остатистических играх с последовательными выборками.Отличие этих двух классов игр состоит в том, что:

• для игр с единичным экспериментом(первого класса) – количество испытаний и порядок (последовательность) их проведения определен заранее.

• В играх с последовательными выборками(второго класса) после каждого последовательного испытания исследователь - статистик принимает решение о про­должении или прекращении эксперимента.