Правила, задаваемые функциями выбора

Если на функции выбора накладывать ограничения, то можно получать различные классы функций выбора и различные, более ограниченные по сравнению с языком функций выбора, языки выбора.

 Функции выбора, которые порождаются бинарным отношением R, задают:

правило выбора мажорант (альтернатив, которые не хуже ни одной из всех других альтернатив) на подмножестве X_i множества :

C^R(X_i) = {x X_i |  y  X_i yx} (функции блокировки)

и правило выбора максимумов (альтернатив, которые лучше всех других альтернатив) на подмножестве X_i множества :

C_R(X_i) = {x X_i |  yX_i x R y} (функции предпочтения).

 Функции выбора, которые порождаются отношением Парето P, задают правило выбора из любого X_i  множества недоминируемых альтернатив, оценки каждого свойства которых не хуже, чем у всех остальных альтернатив:

C ^P(X_i) = {xX_i|  yX_iyx} или

C^P(X_i) = {xX_i|  yX_i, yx [j=| y_j  x_j и  j₀{1, …, m}| y_j₀> x_j₀]},

где x_j, y_j – оценки j-го свойства альтернатив x и y.

 Функции выбора, которые порождаются Лексикографическим отношением L, задают правило выбора из любого X_i  альтернатив в соответствии с оценками их упорядоченных по важности свойств. В множество выбранных альтернатив войдут такие альтернативы, у которых оценка одного из свойств лучше, чем у всех остальных альтернатив, а оценки свойств, более важных, чем это свойство, не хуже чем у других:

C_L(X_i) = {xX_i|  yX_ix L y} или

C_L(X_i)={xX_i|yX_i, yC_L(X_i)[ j₀{1, …, m}| x_j₀> y_j₀, аj=| x_j  y_j]},

где x_j, y_j – оценки j-го свойства альтернатив x и y.

Такие ограничения можно задавать путем задания отдельных свойств (аксиом), которым должны удовлетворять функции выбора.

Некоторые важные аксиомы

 Аксиома наследования: выбор на подмножестве X_i содержит все те (может быть и другие) альтернативы, которые входят в выбор на множестве X, если X_i X:

если X_i  X, то C(X)  X_i  C(X_i)

 Аксиома согласия: в выбор из объединения подмножеств X_i должны входить все те альтернативы (возможно и другие), которые являются общими для выборов из подмножеств X_i.

C(X_i)  C(X_i)

Совместное использование этих двух аксиом приводит к переходу от выбора на «языке функций выбора» к выбору на «языке бинарных отношений».

Следовательно, язык функций выбора является более общим языком по сравнению с языком бинарных отношений.

Упражнения

Определить логическую форму функции выбора по ее описанию:

={x₁, x₂, x₃};

C(x_i)= x_i; C(x_i, x_j)= x_k, где k=min{i, j};

C(x_i, x_j, x_k)= {x_j, x_k}, где i=max{i, j, k}.

Определить описание функции выбора по ее логической форме:

ЛФВ(C) = {f₁, f₂, f₃}, где f₁(₁, ₂) = ₁; f₂(₁, ₂) =₁; f₃(₁, ₂)= ₂.

Определить по описанию функций выбора, являются ли нормальными функции выбора, заданные их логическими формами:
1. f₁(₁) = ; f₂(₁) =;
2. f₁(₁) = ₁; f₂(₁) =;
3. f₁(₁) = ; f₂(₁) =1.
Задать граф и таблицу переходов конечного автомата, порожденного динамической функцией выбора, описанной следующим образом:

если предъявляется x₁, а предыдущий выбор не содержал x₁, то выбор пуст, в противном случае выбирается x₁;
если предъявляется x₂, а предыдущий выбор не содержал x₂, то выбирается x₂, в противном случае – выбор пуст;
если предъявляется {x₁, x₂}, а предыдущий выбор не был пуст, то выбирается x₂, в противном случае выбирается x₁.