Методика определения описания функции выбора по ее логической форме

1. Привести СДНФ булевых функций f_i(₁, …, _N-1) к СДНФ булевых функций вида f_i((X)) = f _i(₁(X), …, _i-1(X), _i+1(X), …, _N(X)).

2. По СДНФ построить таблицы истинности для каждой булевой функции f_i((X)).

3. Построить обобщенную таблицу функции выбора, состоящую из 2N+2 столбцов:

первый столбец – перечень элементов множества X, предлагаемого для выбора;

второй – N+1-й столбец – значения булевых переменных ₁(X), …, _N(X);

N+2-й – 2N+1-й столбец – значения произведений булевых переменных ₁(X), …, _N(X) на значения соответствующих булевых функций f_i((X));

2N+2-й столбец – перечень элементов множества C(X), полученного в результате выбора.

Каждая строка обобщенной таблицы функции выбора соответствует одному из возможных множеств X, предлагаемых для выбора. Количество строк соответствует возможному количеству комбинаций альтернатив множества : 2^N. Так, для двух альтернатив таких строк четыре, для трех альтернатив – 8, для четырех – 16, для пяти – 32, и т. д.

Первый столбец заполняется возможными комбинациями альтернатив в X.

Столбцы со второго по N+1-й заполняются значениями булевых переменных _i(X): «1», если x_i  X, «0», если x_i  X.

Столбцы с N+2-го по 2N+1-й заполняются значениями произведений булевых переменных ₁(X), …, _N(X) на значения соответствующих булевых функций f_i((X)). Произведение булевой переменной _i(X) на булеву функцию f_i((X)) принимает значение «1», если:

• в таблице истинности f_i((X)) в столбце значений функции стоит «1» в строке с теми же значениями остальных булевых переменных ₁(X), …, _N(X) в столбцах аргументов, что и в той строке обобщенной таблицы функции выбора, в которой _i(X)=1.

2N+2-й столбец заполняется перечнем элементов множества C(X), полученного в результате выбора из предложенного множества X по следующему правилу:

• альтернатива x_i записывается в перечень элементов множества C(X) строки X только в том случае, если в этой строке произведение булевой переменной _i(X) на булеву функцию f_i((X)) принимает значение «1».

4. По составу элементов множеств C(X), полученных в результате выбора из предложенных множеств X описывается функция выбора C: какие альтернативы из предложенного множества X следует выбрать в состав множества C(X).

Пример 2. Определить описание функции выбора по ее логической форме:

ЛФВ(C) = {f₁, f₂, f₃}, где f₁(₁, ₂) = ₁₂; f₂(₁, ₂) =1; f₃(₁, ₂)= ₁₂.

Решение:

1. Заменим в СДНФ каждой булевой функции все _j на соответствующие _i(X): f₁(₂, ₃) = ₂₃; f₂(₁, ₃) =1; f₃(₁, ₂)= ₁₂.

2. Для f₁((X)), f₂((X)), f₃((X)) по их СДНФ построим таблицы истинности:

2	3	f1		1	3	f2		1	2	f3
0	0	0		0	0	1		0	0	0
0	1	1		0	1	1		0	1	0
1	0	1		1	0	1		1	0	0
1	1	1		1	1	1		1	1	1

3. Заполним обобщенную таблицу функции выбора, находя произведения булевой переменной _i(X) на булеву функцию f_i((X)).

X	1	2	3	1 · f1	2 · f2	3 · f3	C(X)
	0	0	0	0	0	0	
{x1}	1	0	0	0	0	0	
{x2}	0	1	0	0	1	0	{x2}
{x3}	0	0	1	0	0	0	
{x1, x2}	0	1	1	1	1	0	{x1, x2}
{x1, x3}	1	0	1	1	0	0	{x1}
{x2, x3}	0	1	1	0	1	0	{x2}
{x1, x2, x3}	1	1	1	1	1	1	{x1, x2, x3}

Ответ: Функция выбора описывается следующим образом:

={x₁, x₂, x₃};

C(x_i)= x_i, только если imin{i, j, k} и i max {i, j, k} и C(x_i)= , в противном случае;

C(x_i, x_j)= x_k, где k=min{i, j}, если il, jl, где l= max {i, j, k} и C(x_i, x_j)= {x_i, x_j}, в противном случае; C(x_i, x_j, x_k)= { x_i, x_j, x_k }.

Пример 3. Определить, является ли нормальной функция выбора, заданная ее логической формой: f₁(₁) = ₁; f₂(₁) =1;

Решение:

1. Заменим в СДНФ каждой булевой функции все _j на соответствующие _i(X):

f₁(₂) = ₂; f₂(₁) =1.

2. Для f₁((X)), f₂((X)) по их СДНФ построим таблицы истинности:

2	f1		1	f2
0	0		0	1
1	1		1	1

3. Заполним обобщенную таблицу функции выбора, находя произведения _i(X)·f_i((X)).

X	1	2	1 · f1	2 · f2	C(X)
	0	0	0	0	
{x1}	1	0	0	0	
{x2}	0	1	0	1	{x2}
{x1, x2}	1	1	1	1	{x1, x2}

Ответ: Функция выбора, заданная ее логической формой: f₁(₁) = ₁; f₂(₁) =1 не является нормальной, поскольку не существует бинарного отношения R, порождающего эту функцию выбора. Т. к. альтернатива x₁ не может являться мажорантой по  отношению R, поскольку она не выбирается, когда на выбор предлагается только одна альтернатива x₁, но выбирается, когда на выбор предлагаются обе альтернативы x₁ и x₂. Данная функция выбора C не является нормальной, т. к. (x₁C(x₁))(x₁C(x₁, x₂)).

 Функция выбора является нормальной, если в ее логической форме СДНФ ни одной булевой функции не содержит ни одной переменной _i, а содержит только либо 1, либо , либо комбинации из .

Действительно, если для того чтобы можно было выбрать альтернативу x_i, ее необходимо предъявлять совместно с какой-нибудь другой альтернативой x_j, то это означает, что альтернатива x_i не будет выбрана, если предъявляется только она одна. Следовательно, в этом случае альтернатива x_i не является мажорантой, а, значит, не существует бинарных отношений, способных породить такую функцию выбора, в логической форме которой присутствует СДНФ хотя бы одной булевой функции с хотя бы одной переменной _i.

Динамические функции выбора.

В предыдущих вопросах лекции рассматривались такие функции выбора, в которых выбор из предъявляемого множества X определялся только им самим и свойствами функции выбора.

Однако, возможны ситуации, когда на выбор C(X) также оказывает влияние ранее сделанный выбор. Такие ситуации описываются динамическими функциями выбора.

Предположим, что старший инженер БЧ-7 получает на складе радиотехническое имущество. Буквой  обозначим множество всех элементов радиотехнического имущества, которое может находиться на складе. А X_i обозначим множество элементов радиотехнического имущества, которое находится на складе во время i–го приезда старшего инженера БЧ-7 на склад. Y_i-1 – множество элементов радиотехнического имущества, которое старший инженер БЧ-7 получил на складе в предыдущий приезд. Очевидно, что выбор элементов радиотехнического имущества Y_i, сделанный старшим инженером БЧ-7 во время i–го приезда на склад будет зависеть:

• от потребностей БЧ-7 C, от множества элементов радиотехнического имущества, которое находится на складе X_i и

• от того множества элементов радиотехнического имущества Y_i-1, которое старший инженер БЧ-7 получил на складе в прошлый раз.

Пусть для выбора последовательно предъявляются подмножества X_i множества : X₁, X₂, X₃, …, X_N, …. Иными словами, если i < j, то множество X_i было предъявлено на выбор раньше, чем множество X_j.

Состав множества выбранных альтернатив Y_i из очередного предъявленного на выбор множества X_i зависит от множества X_i и от ранее сделанного выбора Y_i-1.

Y_i= C(X_i, Y_i-1)

Результатами последовательных выборов является вся последовательность множеств Y_i с заданным начальным состоянием Y₀ (т. е. начальным выбором). Процесс последовательных выборов задается совокупностью всех последовательных предъявлений множеств X_i.

Для описания динамических функций выбора может быть использована теория конечных автоматов.

Известно, что конечный автомат задается:

• множеством входов X_а;

• множеством выходов Y_а;

• множеством состояний S_а;

• функцией переходов F_а: S_аi = F_а (X_аi, S_аi-1);

• функцией выходов Ф_а: Y_аi = Ф_а (X_аi, S_аi) для автомата Мили и Y_аi = Ф_а (X_аi-1, S_аi) для автомата Мура.

Для описания динамических функций выбора удобнее использовать автомат Мили.

Заметим, что формулы функции переходов конечного автомата F_а и динамической функции выбора C аналогичны S_аi = F_а(X_аi, S_аi-1) и Y_i= C(X_i, Y_i-1) при условии, что множество состояний конечного автомата S_а соответствует множеству возможных выборов динамической функции выбора Y.

 Конечным автоматом, порожденным динамической функцией выбора, называется автомат у которого:

• множество состояний конечного автомата S_а есть множество возможных выборов динамической функции выбора Y_i из всех возможных выборов альтернатив ;

• множество входов X_а есть множество всех, предъявляемых для выбора подмножеств X_i, множества альтернатив ;

• множество выходов Y_а есть (также как и множество состояний) множество возможных выборов динамической функции выбора Y_i из всех возможных выборов альтернатив ;

• функция переходов F_а есть функция выбора C, которая определяет: каким должен быть выбор Y_i при условии, что для выбора предъявлено множество X_i, а предыдущим выбором было множество Y_i-1;

• функция выходов Ф_а есть (также как и функция переходов F_а) функция выбора C, которая определяет: каким должен быть выбор Y_i при условии, что для выбора предъявлено множество X_i, а предыдущим выбором было множество Y_i-1.

Т. е. в конечном автомате, порожденном динамической функцией выбора, множества состояний и выходов, а также функции переходов и выходов соответственно одинаковы.

Пример 4. Задать граф и таблицу переходов конечного автомата, порожденного динамической функцией выбора, описанной следующим образом:

• если предъявляется x₁, а предыдущий выбор не содержал x₁, то выбирается x₁, в противном случае – выбор пуст;

• если предъявляется x₂, а предыдущий выбор содержал x₂, то выбирается x₂, в противном случае – выбор пуст;

• если предъявляется {x₁, x₂}, а предыдущий выбор не был пуст, то выбирается x₁, в противном случае выбирается x₂.

Решение:

1. Определим множество возможных выборов, как множество состояний (выходов) автомата S={, {x₁}, {x₂}} и обозначим каждое состояние автомата: S₁=; S₂={x₁}; S₃={x₂}.

2. Определим предлагаемые на выбор подмножества альтернатив, как множества входных воздействий на автомат X и обозначим каждое входное воздействие X₁=; X₂={x₁}; X₃={x₂}; X₄={x₁, x₂}.

3. Построим граф конечного автомата по описанию динамической функции выбора.

Рис. 2.2.1. Граф конечного автомата, порожденного динамической функцией выбора

4. По графу конечного автомата заполним таблицу переходов (выходов).

X S	X1=	X2={x1}	X3={x2}	X4={x1, x2}
S1=	S1=	S2={x1}	S1=	S3={x2}
S2={x1}	S1=	S1=	S1=	S2={x1}
S3={x2}	S1=	S2={x1}	S3={x2}	S2={x1}