Методика определения логической формы функции выбора по ее описанию
По описанию функции выбора заполнить обобщенную таблицу функции выбора, в которой имеются 4 столбца:
первый столбец – перечень элементов множества X, предлагаемого для выбора;
второй столбец – перечень элементов множества C(X), полученного в результате выбора;
третий столбец – бинарные вектора (X), состоящие из булевых переменных i(X);
четвертый столбец – бинарные вектора (C(X)), состоящие из булевых переменных i(C(X)).
Каждая строка таблицы соответствует одному из возможных множеств X, предлагаемых для выбора. Количество строк соответствует возможному количеству комбинаций альтернатив множества : 2N. Так, для двух альтернатив таких строк четыре, для трех альтернатив – 8, для четырех – 16, для пяти – 32, и т. д.
Первый столбец заполняется возможными комбинациями альтернатив в X.
Второй столбец заполняется в соответствии с описанием функции выбора. В нем указывается, какие альтернативы из предложенного множества X следует выбрать в состав множества C(X).
Бинарные вектора (X) третьего столбца заполняются «1» на i–й позиции, если xi X, а «0» если xi X.
Бинарные вектора (C(X)) четвертого столбца, аналогично бинарным векторам (X) третьего столбца, заполняются «1» на i–й позиции, если xi C(X), а «0» если xi C(X).
2. Для определения таблицы истинности первой булевой функции f1((X)) = f1(2(X), …, N(X)) из семейства булевых функций ЛФВ необходимо отыскивать строки третьего столбца, в которых в бинарных векторах (X) на первой позиции стоит «1». Это означает, что 1(X)=1. Количество таких строк будет равно количеству строк в таблице истинности булевой функции f1((X)).
Затем выписывать в таблицу истинности значения бинарных векторов третьего столбца (X) и четвертого столбца (C(X)) в этих строках. Причем значение первой позиции бинарного вектора (C(X)) записывается в качестве значения булевой функции f1((X)), а значения остальных N–1 позиций бинарного вектора (X) записывается в качестве N–1 аргумента булевой функции f 1(2(X), …, N(X)).
После построения таблицы истинности булевой функции f1 ((X)) следует найти ее сокращенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ). Затем в СДНФ заменить 2(X), …, N(X) соответственно на 1, …, N-1 и получить f1(1, …, N-1).
3. Аналогичным образом определить таблицы истинности остальных булевых функций fi((X)) = f i(1(X), …, i-1(X), i+1(X), …, N(X)) из семейства булевых функций ЛФВ, найти СДНФ этих булевых функций и получить fi(1, …, N-1).
4. Записать логическую форму функции выбора C: ЛФВ(C)=(f1, f2, …, fN).
Пример 1. Определить логическую форму функции выбора по ее описанию:
={x1, x2, x3}; C(xi)= xi; C(xi, xj)= xk, где k=max{i, j}; C(xi, xj, xk)= {xj, xk}, где i=min{i, j, k}.
Решение:
1. Заполним обобщенную таблицу функции выбора по ее описанию. Всего строк в таблице будет восемь, т. к. альтернатив в исходном множестве – три.
|
X |
C(X) |
(X) |
(C(X)) |
|
|
|
0, 0, 0 |
0, 0, 0 |
|
{x1} |
{ |
|
1, 0, 0 |
|
{x2} |
{x2} |
0, 1, 0 |
0, 1, 0 |
|
{x3} |
{x3} |
0, 0, 1 |
0, 0, 1 |
|
{x1, x2} |
{ |
|
0, 1, 0 |
|
{x1, x3} |
{ |
|
0, 0, 1 |
|
{x2, x3} |
{x3} |
0, 1, 1 |
0, 0, 1 |
|
{x1, x2, x3} |
{ |
|
0, 1, 1 |
x1}
1,
0, 0
x2}
1,
1, 0
x3}
1,
0, 1
x2,
x3}
1,
1, 12. Построим таблицы истинности для f1((X)), f2((X)), f3((X)):
|
2 |
3 |
f1 |
|
1 |
3 |
f2 |
|
1 |
2 |
f3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 | ||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 | ||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 | ||
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3.
По таблицам истинности определим СДНФ
для каждой булевой функции: f1(2,
3)=
;f2(1,
3)=
1·3;
f3(1,
2)=
1;
4.
Заменим в СДНФ каждой булевой функции
все i(X)
на соответствующие j:
f1(1,
2)=
;f2(1,
2)=
1·2;
f3(1,
2)=
1.
Ответ:
ЛФВ(C)={f1,
f2,
f3},
где f1(1,
2)=
;f2(1,
2)=
1·2;
f3(1,
2)=
1;