67

2.2. Выбор альтернатив с использованием

языка функций выбора

________________________________________________________________________________________________________

2. Выбор альтернатив с использованием

языка функций выбора.

Изучая язык бинарных отношений, мы говорили о выборе альтернатив из множества предлагаемых для выбора альтернатив  вне зависимости от того, какие альтернативы это множество включает.

Если же для выбора предлагаются разные множества X_i  , то выбранные множества лучших альтернатив C(X_i) в общем случае различны между собой, так как они зависят от множества предлагаемых для выбора альтернатив.

Так, например, пусть по итогам зимней сессии лучшим классом 3-го факультета признан 333 класс, лучшим классом 2-го факультета признан 241 класс, а лучшим классом ВМИРЭ признан 551 класс. Эти выбранные альтернативы различны, поскольку различны исходные множества предъявляемых для выбора альтернатив: множество классов 3-го факультета, множество классов 2-го факультета, множество классов ВМИРЭ.

Однако, из того, что лучшим классом ВМИРЭ признан 551 класс, следует, лучшим классом 5-го факультета также признан 551 класс, поскольку множество классов 5-го факультета является подмножеством множества классов ВМИРЭ. Следовательно, отношение «быть лучшим классом 5-го факультета» является сужением отношения «быть лучшим классом ВМИРЭ» на множество классов 5-го факультета.

Для формализации зависимости выборов от множества предъявляемых для выбора альтернатив пользуются понятием функции выбора [15].

Понятие функции выбора. Функции выбора, порожденные бинарными отношениями.

 Функцией выбора C называется отображение, сопоставляющее каждому X_i   его подмножество C(X_i)  X_i.

Выбранное подмножество может быть либо пустым C(X_i)=, либо полным C(X_i)= X_i, либо может включать в себя некоторое количество альтернатив множества X_i, выбранных в состав множества C(X_i) в соответствии с правилом выбора C. Таким образом, для того чтобы задать функцию выбора нужно перечислить все возможные подмножества предъявляемых для выбора альтернатив X_i  , поставив каждому подмножеству X_i в соответствие множество выбранных альтернатив C(X_i).

 Каждому бинарному отношению R соответствует некоторая порожденная им функция выбора C^R или C_R.

Пусть на  задано бинарное отношение R и для x,y выполнено x R y. Если для выбора предъявлено подмножество X_i  , то бинарное отношение R может породить две функции выбора:

1) функцию блокировки C^R (X_i), в которую войдут все мажоранты отношения R на подмножестве X_i:

C^R (X_i) = {x X_i |  y  X_i yx}

(все x, с которыми ни один y не находится в отношении R);

2) функцию предпочтения C_R (X_i), в которую войдут все максимумы отношения R на подмножестве X_i:

C_R (X_i) = {x X_i |  y  X_i x R y}

(все x, с которые находятся в отношении R с каждым y).

Причем C^R (X_i) = (X_i) и C_R (X_i) =(X_i)

Функция блокировки C^R (X_i) по отношению R совпадает с функцией предпочтения (X_i) по отношению R^d, двойственному к отношению R, и наоборот, функция предпочтения C_R(X_i) по отношению R совпадает с функцией блокировки (X_i) по отношению R^d, двойственному к отношению R.

Поэтому достаточно рассматривать только одну из двух функций выбора: либо функцию блокировки C^R(X_i), либо функцию предпочтения C_R(X_i).

 Функцию блокировки C^R(X_i) по отношению R называют функцией выбора, порожденной бинарным отношением R. Такие функции выбора называются нормальными.

 Разным бинарным отношениям R могут соответствовать одинаковые функции выбора (блокировки) C^R.

Функции выбора и бинарные отношения

на множествах {x},{y},{x, y}

№ п/п	CR(x)	CR(y)	CR(x, y)	R	Rd
1	x	y	{ x, y}
2	x	y	x
3	x	y	y
4	x	y	
5	x		{x, y}	не существует	не существует
6	x		x
7	x		y	не существует	не существует
8	x		
9		y	{x, y}	не существует	не существует
10		y	x	не существует	не существует
11		y	y
12		y	
13			{x, y}	не существует	не существует
14			x	не существует	не существует
15			y	не существует	не существует
16			

Так, в строках 6, 8, 11, 12, 16 одной и той же функции выбора соответствуют различные бинарные отношения, породившие эту функцию выбора.

Например, функцию выбора, показанную в строке 6: C^R (x)={x}, C^R (y)=, C^R (x, y)={x}, могут породить два бинарных отношения R₁: R₁⁺(x)= , R₁^–(x)= , R₁⁺(y)= {y}, R₁^–(y)= {y} и R₂: R₂⁺(x)= , R₂^–(x)= {y}, R₂⁺(y)= {x, y}, R₂^–(y)= {y}, графы которых представлены в пятом столбце шестой строки таблицы.

То, что отношения R₁ и R₂ могут являться исходными для данной функции выбора, обусловлено тем, что наличие в графах G(R₁) и G(R₂) петли при вершине y «блокирует» выбор элемента y из  подмножества X независимо от наличия других дуг в графах G(R₁) и G(R₂). Это происходит потому, что множество C^R(X) состоит только из мажорант, а элемент y не может являться мажорантой, так как находится в отношении R сам с собой.

Таким образом, наличие или отсутствие дуг типа (x, y) приводит к разным бинарным отношениям R, но не влияет на порождаемую ими функцию выбора C^R.

 Минимальным отношением называется такое отношение из всех отношений, порождающих одну и ту же функцию выбора C^R, которое не содержит пар x R y или y R x.

 Не все функции выбора являются нормальными, т. е. не все они могут быть порождены бинарными отношениями.

Так, бинарных отношений, породивших функции выбора, приведенные в строках 5, 7, 9, 10, 13, 14, 15, не существует.

Докажем от противного, что не существует ни одного бинарного отношения, порождающего функцию выбора C^R(x)={x}, C^R(y)=, C^R(x, y)={x, y}, приведенную в строке 5. Допустим, что такое бинарное отношение R существует. Тогда, из определения функции блокировки и из того, что C^R (y)=, следует, что y R y. Следовательно, y не может являться мажорантой по отношению R. Но тогда не должно выполняться C^R (x, y)={x, y}, так как y C^R(X), где X – любое сочетание элементов исходного множества альтернатив. Следовательно, C  C^R, т. е. не существует бинарного отношения, порождающего функцию выбора C^R (x)={x}, C^R (y)=, C^R (x, y)={x, y}.

Сколько же возможно задать бинарных отношений и функций выбора на множестве X={x, y}?

Количество бинарных отношений определяется количеством возможных комбинаций дуг в графах G(R_i). Всего в таких графах может быть не более 4 дуг: при вершине x, при вершине y, от вершины x к вершине y, от вершины y к вершине x.

Число сочетаний из n по m .

• Комбинаций, в которых нет ни одной дуги – C₄⁰ = 1;

• комбинаций, в которых присутствует только одна дуга – C₄¹ = 4;

• комбинаций, в которых присутствует две дуги – C₄² = 6;

• комбинаций, в которых присутствует три дуги – C₄³ = 4;

• комбинаций, в которых присутствует четыре дуги – C₄⁴ = 1.

Итого: количество бинарных отношений на множестве X={x, y} равно C₄⁰+ C₄¹+ C₄² + C₄³ + C₄⁴ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16.

Количество функций выбора на множестве X={x, y} определяется количеством комбинаций возможных исходов выбора из трех подмножеств альтернатив {x}, {y}, {x, y}, предъявляемых для выбора. Если для выбора предъявляется подмножество {x, y}, то возможны четыре исхода выбора: , {x}, {y}, {x, y}. Если для выбора предъявляется подмножества {x} или {y}, то возможны только по два исхода выбора: , {x} или , {y}.

Но, поскольку комбинация возможных исходов выбора из трех подмножеств является трехместной, то количество таких комбинаций будет равно произведению возможных значений на каждом из трех мест: C₂¹ · C₂¹· C₄¹ = 2 · 2 · 4 = 16. Таким образом, количество функций выбора на множестве X={x, y} также равно 16.

Правило: Отношений, порождающих функцию выбора, не существует, если множеству C(x, y) принадлежит такая альтернатива x или y, которая не принадлежит множеству C(x) или C(y) соответственно.

Т. е. если [(xC(x))(xC(x, y))][(yC(y))(yC(x, y))], то функция выбора C не является нормальной.

 C^R(X)  для  X (X) тогда и только тогда, когда отношение R ациклично.

Действительно, C^R – множество мажорант по отношению R, а если R не ациклично, то мажорант нет.

Следовательно, при ацикличном R выбор C^R(X) для  X (X) не пуст.

Следует заметить, что ацикличность отношения R по определению предполагает его антирефлексивность.

Логические формы функций выбора