Определение базисных решений

Задача линейного программирования, записанная в стандартной форме, содержит т линейных равенств с п неизвестными переменными (т < п). Разделим п переменных на два множества: (1) п - т переменные, которые положим равными нулю, и (2) оставшиеся т переменные, значения которых определяются как решение системы из т линейных уравнений. Если это решение единственное, тогда соответствующие т переменные называются базисными, а остальные п – т нулевые переменные – небазисными. В этом случае результирующие значения переменных составляют базисное решение.

В русской математической литературе также применяются термины:

• "план", соответствующий термину "базисное решение";

• "опорный план", соответствующий термину "допустимое базисное решение";

• "оптимальный опорный план", соответствующий термину "оптимальное базисное решение".

Если все переменные принимают неотрицательные значения, то такое базисное решение явля­ется допустимым. В противном случае – базисное решение явля­ется не допустимым.

Основываясь на этих определениях, нетрудно подсчитать, что количество всех поло­жительных базисных решений для т уравнений с п неизвестными не превосходит

Пример: Рассмотрим следующую систему двух уравнений с пятью неизвестными (т =2, п =5)

 ₁+ ₂ + 4 ₃ +2 ₄ + 3 ₅ = 8,

4 ₁+2 ₂ + 2 ₃ + ₄ + 6 ₅ = 4.

Определим различные решения этой системы. Количество положительных базисных решений равно . Ниже мы покажем, что некоторые из этих реше­ний на самом деле не будут базисными.

По определению базисное решение включает только две (= т) переменные, предполагая, что небазисных нулевых переменных три (= п – т).

Случай 1. Допустимое базисное решение.

Пусть нулевыми (небазисными) переменными будут:  ₂,  ₄ и  ₅.

Тогда уравнения становятся:

 ₁ + 4 ₃ = 8,

4 ₁+ 2 ₃ = 4.

Решение: единственное решение  ₁ = 0,  ₃ = 2.

Заключение: базисное решение допустимо, так как  ₁,  ₃  0.

Случай 2. Недопустимое базисное решение.

Пусть нулевыми (небазисными) переменными будут:  ₃,  ₄ и  ₅.

Тогда уравнения становятся:

 ₁ +  ₂ = 8,

4 ₁+ 2 ₂ = 4.

Решение: единственное решение  ₁ = – 6,  ₂ = 14.

Заключение: базисное решение не допустимо, так как  ₁ < 0.

Случай 3. Решение не единственное.

Пусть нулевыми (небазисными) переменными будут:  ₁,  ₂ и  ₅.

Тогда уравнения становятся:

4 ₃ + 2 ₄ = 8,

2 ₃+  ₄ = 4.

Решение: единственного решения не существует, т. к. уравнения зависимы (если первое уравнение разделить на 2, то получим второе уравнение).

Заключение: бесконечное количество решений.

Случай 4. Решения не существует.

Пусть нулевыми (небазисными) переменными будут:  ₁,  ₃ и  ₄.

Тогда уравнения становятся:

 ₂ + 3 ₅ = 8,

2 ₂+ 6 ₅ = 4;  ( ₂ + 3 ₅ =2).

Решение: решения не существует, т. к. уравнения несовместимы (8  2).

Заключение: решения не существует.