1. Все ограничения (включая ограничения не отрицательности переменных) преобра­зуются в равенства с не отрицательной правой частью.

2. Все переменные являются неотрицательными.

3. Целевую функцию следует или максимизировать, или минимизировать.

1. Преобразование неравенств в равенства. Неравенства любого типа (со зна­ками неравенств  или ) можно преобразовать в равенства путем добавления в левую часть неравенств дополнительных переменных – остаточных или избыточных. Отметим, что в русской математической литературе для этих типов переменных не используются какие-либо специальные названия – они известны просто как дополнительные переменные (хотя иногда их также называют балансными). В неравенствах эти переменные различаются тем, что перед остаточной переменной всегда стоит знак "плюс", а перед избыточной – "минус".

Остаточная переменная. Неравенства типа "" обычно можно интерпретировать как ограничения на использование некоторых ресурсов (представленных в левой части неравенств переменными модели). В такой интерпретации остаточная переменная по­казывает количество неиспользованных ресурсов. В предыдущем примере неравенство 6 ₁ + 4 ₂  24 связано с использованием первого ресурса. Это неравенство эквива­лентно равенству 6 ₁ + 4 ₂ + s₁ = 24, где s₁  0. Здесь остаточная переменная s₁ (=24 – 6 ₁ – 4 ₂) равна неиспользуемому количеству первого ресурса.

Избыточная переменная. Неравенство типа "" показывает, что "что-то" должно быть не меньше определенной величины. Избыточная переменная определяет превыше­ние значения левой части неравенства над этой величиной. Например, в задаче "о пищевом рационе" неравенство показывает, что количество белков в суточном пищевом рационе не должно быть меньше b₁ единиц.

Математически это неравенство эквивалентно равен­ству , где S₁  0. Положительное значение избыточной переменной S₁ показывает превышение количество белков в суточном пищевом рационе над минимальным значением в b₁ единиц.

Введем также понятие свободной переменной, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения (и, конечно, значение 0). В приведенных выше примерах условие не отрицательности переменных является естественным. Но, конечно, возможны ситуации, когда перемен­ные могут принимать любые действительные значения.

Такая ситуация показана в сле­дующем примере.

Ресторан быстрого обслуживания Макдоналдс торгует порционными мясными пи­рогами и гамбургерами. На порцию мясного пирога идет четверть фунта мяса, а на гамбургер – только 0,2 фунта. В начале рабочего дня в ресторане имеется 200 фун­тов мяса, можно еще прикупить мясо в течение дня, но уже с наценкой в 25 центов. Мясо, оставшееся в конце рабочего дня, жертвуется благотворительной организации "Горячий суп". Ресторан имеет доход 20 центов от одной порции мясного пирога и 15 центов – от одного гамбургера. Как и многие другие, этот ресторан не может продать в день более 900 бутербродов. Какова должна быть доля каждого из бутер­бродов (т.е. сколько порций мясного пирога и сколько гамбургеров) в ежедневном производстве ресторана, чтобы максимизировать его доход?

Сначала рассмотрим ограничения. Обозначим через  ₁ и  ₂, соответственно ко­личество порций мясного пирога и гамбургеров, производимых рестораном. Для их производства ресторан может ограничиться 200 фунтами мяса или может при­купить еще. В первом случае получаем ограничение в виде неравенства 0,25 ₁ + 0,2 ₂  200, а во втором: 0,25 ₁ + 0,2 ₂  200. Естественно, выбор одно­го из этих неравенств будет существенно влиять на возможное оптимальное реше­ние. Так как мы не знаем, какое из них необходимо, логично заменить их одним равенством 0,25 ₁ + 0,2 ₂ +  ₃ = 200, где  ₃ – свободная переменная. Фактически свободная переменная  ₃ в данной ситуации одновременно играет роли как оста­точной, так и избыточной переменных.

Далее построим целевую функцию. Ресторан хочет максимизировать свой до­ход. Очевидно, что для максимизации дохода желательно как можно больше про­давать своей продукции, но для этого необходимы дополнительные закупки мяса. В этом случае переменная  ₃ должна быть отрицательной, т.е. должна играть роль избыточной переменной.

Для того чтобы раскрыть "двойственную" природу переменной  ₃, используем стандартный математический прием, а именно представим ее в следующем виде:

 ₃ =  ⁺₃ – ^–₃, где  ⁺₃ ,  ^–₃  0.

Если  ⁺₃ > 0 и  ^–₃ = 0, тогда переменная  ₃ играет роль остаточной переменной. Если, напро­тив,  ^–₃ > 0 и  ⁺₃ = 0, тогда переменная  ₃ выступает в роли избыточной переменной. Итак, теперь ограничение можно записать в виде равенства 0,25 ₁ + 0,2 ₂ +  ⁺₃ – ^–₃ = 200.

Целевая функция получает следующее выражение:

максимизировать W() = 0,20 ₁ + 0,15 ₂ – 0,25 ^–₃.

Встречаются ситуации, когда оптимальное решение задачи линейного программирования достигается при положительных значениях как  ⁺₃, так и  ^–₃.

Пример неравенства типа "": Неравенство  ₁ + 2 ₂  3 эквивалентно равенству  ₁ + 2 ₂ + s₁ = 3, где s₁ – остаточная переменная и s₁  0.

Пример неравенства типа "": Неравенство 3 ₁ +  ₂  5 эквивалентно равенству 3 ₁ + ₂ – S₁ = 5, где S₁ – избыточная переменная и S₁  0.

Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной путем умножения всего равенства на –1. Кроме того, заметим, что неравенство типа "" также преобразу­ется в неравенство типа "" посредством умножения обеих частей неравенства на –1. Например, неравенство 2 < 4 после умножения на –1 становится неравенством –2 > –4.

2. Преобразование свободных переменных в не отрицательные переменные. Свободную переменную  _j (т.е. переменную, которая может принимать как отрицательные, так и по­ложи­тель­ные значения) можно представить как разность двух неотрицательных пере­менных следующим образом:  _j = ⁺_j –  ^–_j, где  ⁺_j,  ^–_j  0.

Например, для  _j = –5 положим  ⁺_j = 0 и  ^–_j = 5 . Если же  _j = +5, тогда  ⁺_j = 5 и  ^–_j = 0. В обоих случаях переменные  ⁺_j и  ^–_j неотрицательны.

Такое преобразование свободных переменных следует выполнить во всех неравенст­вах и в целевой функции.

После решения задачи с переменными  ⁺_j и  ^–_j значения ис­ходных переменных восстанавливаются с помощью обратной подстановки.

3. Преобразование задачи максимизации в задачу минимизации. Задача максимизации функции W( ₁,  ₂, …,  _n) эквивалентна задаче минимизации функции – W( ₁,  ₂, …,  _n), поскольку при решении обеих задач предоставляется один и тот же набор значений переменных  ₁,  ₂, …,  _n.

Пример: Преобразуем следующую задачу ЛП в стандартную форму.

Максимизировать W() =2 ₁+ З ₂ + 5 ₃ при выполнении условий

 ₁+  ₂ –  ₃  – 5,

– 6 ₁+7 ₂ – 9 ₃  4,

 ₁ +  ₂ + 4 ₃ = 10,

 ₁,  ₂  0,  ₃ – свободная переменная.

Для преобразования задачи в стандартную форму выполним следующие действия:

1. Вычтем из левой части первого неравенства дополнительную (избыточную) переменную S₁ =  ₄ и затем умножим все неравенство на –1, для того чтобы правая часть неравенства стала положительной. (Другой путь преобразова­ния неравенства: сначала умножим его на –1 (неравенство вместо вида "" примет вид ""); далее к левой части неравенства прибавим дополнительную (остаточную) переменную s₁=₄).

2. Добавим дополнительную (остаточную) переменную s₂=₅ к левой части вто­рого неравенства.

3. Так как третье ограничение изначально записано в виде равенства, поэтому оставляем его без изменения.

4. Выполняем замену  ₃ =  ⁺₃ – ^–₃, где  ⁺₃ ,  ^–₃  0, во всех ограничениях и це­левой функции.

Получаем следующую стандартную задачу линейного программирования:

Максимизировать W() =2 ₁+ З ₂ + 5 ⁺₃ –5 ^–₃ при выполнении условий

–  ₁ –  ₂ +  ⁺₃ –  ^–₃ +  ₄ =5,

– 6 ₁+7 ₂ – 9 ⁺₃ – 9 ^–₃ +  ₅ = 4,

 ₁ +  ₂ + 4 ⁺₃ – 4 ^–₃ = 10,

 ₁,  ₂,  ⁺₃,  ^–₃,  ₄,  ₅>0.