Изменение значений констант в правой части неравенств ограничений

Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. В этом разделе мы изучим чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса. Про­иллюстрируем этот вид анализа задачи ЛП на предыдущем примере.

Начнем с первого ограничения. Напомним, что в данной задаче опти­мальное решение достигается в угловой точке C, являющейся точкой пересечения прямых линий, соответствующих первому и второму ограничениям (рис. 4.1.4). При изме­нении правой части первого ограничения (увеличение или уменьшение значения, ранее равного 24) точка C оптимального решения "плывет" вдоль отрезка DG. Любое изменение правой части первого ограничения, приводящее к выходу точки пересечения C из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке C. Поэтому можно сказать, что концевые точки D = (2, 2) и G = (6, 0) от­резка DG определяют интервал осуществимости для ограничения первого ресурса. Количество первого ресурса, соответствующего точке D = (2,2), равно 6 ₁ + 4 ₂ = 62+ 42 = 20. Аналогично количество сырья, соответствующего точке G = (6, 0), равно 66+40 = 36. Таким образом, интервал осуществимости для первого ресурса со­ставляет 20  М₁  36 (здесь через М₁ обозначено количество первого ресурса). Если мы определим М₁ как М₁ = 24 + D₁, где D₁ – отклонение количества первого ресурса от текущего уровня в 24, тогда последние неравенства можно переписать как 20  24 + D₁  36 или –4  D₁  12. Это означает, что текущий уровень первого ресурса может быть уменьшен не более чем на 4 и увеличен не более чем на 12. В этом случае гарантируется, что оптимальное решение будет достигаться в точке C – точке пересечения прямых линий, соответствующих ограничениям на первый и второй ресурсы.

Рис. 4.1.4. Иллюстрация определения стоимости единицы первого ресурса и интервала осуществимо­сти первого ресурса

Теперь вычислим стоимость единицы первого ресурса. При изменении правой части первого ограничения с 20 до 36, значения целевой функции W() будут соответствовать положению точки C на отрезке DG. Обозначив через у₁ стоимость единицы первого ресурса, получим следующую формулу:

и

у₁=

зменение значенияW() при перемещении т. C от D до G

изменение количества М₁ при перемещении т. C от D до G .

Если точка C совпадает с точкой D = (2, 2), то W() = 52 + 42 = 18 (тысяч дол­ларов), если же точка C совпадает с точкой G = (6, 0), тогда W() = 56 + 40 = 30 (тысяч долларов). Отсюда следует, что

(тысяч долларов на единицу первого ресурса).

Этот результат показывает, что изменение количества первого ресурса на одну единицу (если общее количество этого ресурса не меньше 20 и не больше 36) при­водит к изменению в оптимальном решении значения целевой функции на $750.

Теперь рассмотрим второй ресурс. На рис. 4.1.5 видно, что интервал осуществимо­сти для второго ресурса определяется концевыми точками B и Н отрезка ВН, где B=(4, 0) и Н=(8/3, 2). Точка Н находится на пересечении прямых линий ED и ВС. Находим, что количество второго ресурса, соответствующего точке B, равно  ₁ + 2 ₂ = 4 + 20= 4, а точке Н – 8/3 + 22= 20/3. Значение целевой функции в точке B равно W() = 5 ₁ + 4 ₂ = 54 + 40 = 20 (тысяч долларов), а в точке Н – W() = 58/3 + 42= 64/3 (тысяч долларов). Отсюда следует, что количество второго ресурса может изменяться от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы второго ресурса, обозначенная как у₂, равна

(тысяч долларов на единицу второго ресурса).

Рис. 4.1.5. Иллюстрация определения стоимости единицы второго ресурса и интервала осуществимо­сти второго ресурса

Стандартная форма задачи ЛП и ее базисные решения

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что оптимальное ре­шение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в ма­тематике она также называется крайней точкой множества). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой за­дачи линейного программирования.

Переход от геометрического способа решения задачи ЛП к симплекс-методу лежит через алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу ЛП к стандартной форме, преобразовав неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных [19].

Стандартная форма задачи ЛП необходима, потому что она позволяет получить ба­зисное решение (используя систему уравнений, порожденную ограничениями). Это (алгебраическое) базисное решение полностью определяет все (геометрические) край­ние точки пространства решений. Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение среди всех базисных. В этом вопросе лекции мы сначала рассмотрим стандартную форму записи задачи линейного программирования, а затем покажем, как определить базисное решение.

Стандартная форма задачи ЛП

Стандартная форма записи задачи ЛП предполагает выполнение следующих требований: