
- •Классификация случайных процессов
- •Понятие о дискретных цепях Маркова
- •Постановка задачи
- •Матрицы вероятностей переходов системы за один шаг и несколько шагов
- •Определение вероятностей переходов для дискретных цепей Маркова с невосстанавливаемым ущербом
- •Определение предельных вероятностей переходов
- •Использование дискретных цепей Маркова для вычисления показателей эффективности систем по известным матрицам переходов
Определение вероятностей переходов для дискретных цепей Маркова с невосстанавливаемым ущербом
Для некоторых частных видов матриц перехода можно разработать более простые способы определения вероятностей перехода рij(п) и тем сократить время моделирования. Рассмотрим однородную цепь Маркова, обладающую следующими свойствами: система за очередной шаг может из состояния Ai перейти в какие-либо другие состояния, но обратный переход системы из этих состояний в состояние Ai невозможен.
Пронумеруем состояния подобной системы таким образом, чтобы переход системы из состояния с меньшим номером в состояние с большим номером был возможен, а обратный переход невозможен. При этом будем иметь: рij > 0, если i j; рij = 0, если i > j. Матрица переходов для такой цепи называется верхней треугольной: все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Так, для примера 1 при нанесении каждого удара одним и тем же оружием матрица переходов будет иметь следующий вид:
Состояние А4 называется поглощающим, так как, оказавшись в этом состоянии, система уже не может из него перейти ни в какие другие состояния ни за какое число шагов.
Обратим внимание на следующие обстоятельства, с которыми придется встретиться в дальнейшем.
Во-первых, дискретная цепь может иметь несколько поглощающих состояний. Так, в условиях примера 4 имеются два поглощающих состояния: А2 (сообщение на КП получено) и А3 (подводная лодка поражена противником до получения на КП сообщения). Перейдя в одно из этих состояний, система более из них уже не выйдет. Матрица перехода при этом имеет вид
Во-вторых, в качестве поглощающего состояния может выступать группа состояний. Так, если в рамках примера 2 нас будет интересовать вероятность поражения корабля ядра, то группа состояний А4 – А6 может быть объединена в одно состояние «корабль ядра поражен», являющееся поглощающим.
Возвратимся к вопросу определения вероятностей рij(п) перехода системы за п шагов для верхней треугольной матрицы. Непосредственно из свойств верхней треугольной матрицы следует, что
(7)
так как, выйдя из состояния Ai, система в него уже никогда не вернется.
Для случая i < j на основании выражений (3), (4) можем записать
(8)
(9)
Заметим, что суммирование в обоих этих выражениях ведется только от s = i до s = j, так как система не способна переходить в состояния с меньшим номером, поэтому и рis=0, рis(п) =0, если s < i; рsj = 0, рsj(п) = 0, если s > j.
Приравняем правые части выражений (8) и (9), определим из полученного равенства
(10)
С помощью выражения (10) можно найти зависимости для определения вероятностей переходов из состояния Ai в состояния Ai+1, Ai+2 и т.д.:
(11)(11)
(12)(12)
и т. д.
В выражении (12) вероятности pi+1,i+2(n) и pi, i+1(n) определяются с помощью (11). Подобным образом можно определить все вероятности pi,j(n) при j > i, если pi,i(n)= pi,j(n).
Пример 7. Определение вероятностей pi,j(n) переходов для систем с невосстанавливаемым ущербом.
а) Планируется поражение объекта противника залповым огнем корабля. Вероятность поражения объекта за один залп равняется р. Залпы осуществляются в независимых условиях.
Математическая модель должна позволить обосновать число залпов (n), необходимых для поражения объекта. Показателем эффективности является вероятность поражения объекта.
Описанный процесс поражения объекта может быть интерпретирован как дискретная цепь с невосстанавливаемым ущербом. Системой является поражаемый объект, способный находиться в двух состояниях: А1 – не поражен, А2 – поражен. Шаги процесса – залпы корабля; моментами шагов являются моменты падения снарядов залпа. Система способна переходить из состояния А1 в состояние А2, обратный переход невозможен. Матрица перехода имеет вид
где р11= 1 – р; р12= р.
Используя (7) и свойства матрицы переходов (сумма элементов строки равна 1), будем иметь
р11(n) = р11n; р12(n) = 1 – р11(n) = 1 – р11n (13)
Вероятность поражения объекта в условиях примера составит
W = р12(n) = 1 – (1 – р) n.
б) В условиях примера «а» следует учесть, что обстреливаемый объект может не только поражаться, но и повреждаться очередными залпами. Вероятность поражения одним залпом неповрежденного корабля равняется р', поврежденного – р''', вероятность повреждения корабля равна р".
В этом примере система – объект противника – может находиться в одном из трех состояний: А1 – не поврежден, А2 – поврежден, А3 – поражен.
Система способна переходить из состояния с меньшим номером в состояние с большим номером. Обратные переходы невозможны. Матрица перехода имеет вид
,
где р11 = 1 – р' – р"; р12 = р"; р13 = р'; р22 = 1 – р"'; р23 = р"'.
Используя (7), получим
р11(n) = р11n; р22(n) = р22n (14)
На основании (11) можем записать
(15)
Для определения р13(n), р23(n) используем свойства матрицы переходов (сумма элементов строки равна 1):
р13(n) = 1– р11(n) – р12(n); р23(n) = 1– р22(n). (16)
Показатель эффективности в рассматриваемом примере W = р13(n), если процесс начинается из состояния А1. Методы определения показателей эффективности на основании матриц переходов будут рассмотрены позже.
в) Планируется разведка соединения кораблей противника подводной лодкой, осуществляемая в следующих условиях. Разведка ведется циклично. Установив контакт с целью, подводная лодка определяет элементы ее движения, после чего всплывает для передачи донесения на КП. Всплытие на связь может привести к потере контакта и вызвать необходимость его восстановления. Затем цикл повторяется. Если противник обнаружит радиопередачу подводной лодки, он примет меры, которые затруднят подводной лодке в последующие циклы поддержание контакта с целью. Если же подводная лодка будет обнаружена противолодочными силами, она подвергнется атаке и сможет продолжить разведку только после уклонения. В последующие циклы подводная лодка будет действовать в условиях усиленного состава сил противолодочной обороны противника и проведения им мероприятий по отрыву от преследования.
Цель действий подводной лодки – передача контакта ударным силам на заданном рубеже (после n циклов) при установленной продолжительности цикла.
Математическая модель должна позволить оценить влияние скрытности подводной лодки на эффективность выполнения поставленной задачи.
Показателем эффективности в данном случае является вероятность того, что на п-м цикле разведки подводная лодка будет иметь контакт с целью. Для определения этого показателя необходимо рассмотреть однородную цепь Маркова, в которой систему составляют соединение противника с силами и средствами ПЛО и подводная лодка-разведчик.
Состояниями системы являются: А1 – контакт с целью имеется, подводная лодка и ее радиопередачи противником ранее не обнаруживались; А2 – контакт с целью имеется, противник ранее обнаруживал радиопередачу подводной лодки; А3 – контакт с целью имеется, противник ранее обнаруживал саму подводную лодку; А4 – потерян контакт или поражена подводная лодка.
Шаг системы – очередной цикл ведения разведки. Система за один шаг может переходить из состояния с меньшим номером в одно из состояний, имеющих больший номер, либо же оставаться в прежнем состоянии.
Параметры, характеризующие процесс разведки, приведены в таблице 1.
Вероятности Рij перехода за один шаг равны:
р11 = g1(1 – роб1)(1 – s1); р12 = g1(1 – роб1)s1; р13 = g1роб1(1 – 1);
р14 = роб11 + (1 – роб11)( 1 – g1);
р22 = g2(1 – роб1); р23 = g2 роб1(1 – 1); р24 = роб11(1 – 1) + (1 – роб11)(1 – g2);
р33 = g2(1 – роб22); р34 = роб22 + (1 – роб22)( 1 – g2);
Таблица 1
Наименование параметра |
Условия разведки | ||
пл противником не обнаружена |
Противник обнаружил радиопередачу пл |
Противник обнаружил пл | |
Вероятность установления подводной лодкой контакта с целью после очередного всплытия на связь |
g1 |
g2 |
g3 |
Вероятность обнаружения противником радиопередач подводной лодки |
s1 |
s2 |
s2 |
Вероятность обнаружения подводной лодки противолодочными силами противника |
Pоб1 |
Pоб1 |
Pоб2 |
Вероятность поражения противником обнаруженной подводной лодки |
1 |
2 |
2 |
Для нахождения распределения состояний системы используем формулы (7), (11), (12). Будем иметь
(17)(17)
(18)
(19)(18)
(19)
(20)(20)
где р12(n) и р23(n) определяются по формулам (18), (19);
(21)(21)
Показателем эффективности в данном случае является величина W = 1 – р14(n), если процесс начинается из состояния А1.
Заканчивая на этом рассмотрение примеров цепей с невосстанавливаемым ущербом, заметим, что с помощью формул (7), (10) можно находить вероятности рi,i+l(п) при различных значениях l.
Для вычислений по этим формулам разрабатываются стандартные процедуры. Разумеется, что и для систем с невосстанавливаемым ущербом вероятности переходов рi,j(п) могут быть получены путем перемножения матриц.