Методы построения интегральных критериев
Для построения аддитивного интегрального критерия рассмотрим алгоритм «согласованного шкалирования». В его основе лежит выбор некоторого базового критерия с произвольной единицей измерения предпочтительности. Единица измерения предпочтительности по остальным критериям устанавливается путем сопоставления значений этих критериев со значениями базового критерия.
Опишем данный алгоритм путем описания последовательности шагов его выполнения.
Алгоритм построения аддитивного интегрального критерия
1. Для каждого частного критерия i определить его наименьшее imin и наибольшее imax значения. Область возможных значений оценок альтернатив по i–му критерию находится между ними. Если выполняется условие «чем больше, тем лучше», то примем ai= imin; bi= imax. Для тех критериев, для которых выполняется условие «чем меньше, тем лучше», примем ai= imax; bi= imin.
Определим нулевые точки для каждого частного критерия, считая, что wi(ai)=0 (т. е. значение оценки альтернатив по i–му критерию, которое соответствует нулевому значению i–й координаты n–мерного вектора W() оценки альтернатив по всем n критериям). Тогда для любых альтернативных вариантов wi( i)0. Считая, что вектор W() аддитивный, зафиксируем его нулевое значение W(a1, ..., an)=0. В n–мерном пространстве оно совпадает с концом вектора, каждая координата которого равна 0.
2. Один (любой) критерий из множества критериев { i} зафиксировать в качестве базового частного критерия. И определить единицу измерения предпочтительности альтернатив по интегральному критерию через единицу измерения предпочтительности альтернатив по этому критерию.
Пример 6: Пусть в качестве базового критерия выбран критерий 1. В качестве единицы измерения определим значение | 11– a1|, где 11 a1 и эта разность заметно меньше, чем |b1–a1|.
Положим, что w( 11)=1 – единица измерения предпочтительности альтернатив по первому критерию. Тогда в силу аддитивности критерия W получим:
W(
11,
a(
))=w(
11)+
=1,
где
a(
)
– вектор размерности n–1,
у которого отсутствует координата 1.
3.
Для
каждого i-го
критерия (
)
установить единицы измерения
предпочтительности альтернатив,
т.е. определить такие значения
i1,
что:
W(
i1,
a(
))=W
(
11,
a(
)),
где
a(
)
– вектор размерности n–1,
у которого отсутствует координата
i.
4. Для базового частного критерия 1 определить такое его значение 12, чтобы оценка альтернативы по 1-му критерию была равна w( 12) = 2 – двум единицам измерения предпочтительности альтернатив по первому критерию. С этой целью уравнять вектора:
вектор
(
12,
a(
))
с вектором (
11,
21,
a(
)).
5.
Для
каждого i-го
критерия
определить
такие значения
i2,
чтобы
оценка альтернативы по i
-му критерию была равна
w(
i
2)
=
w(
12)
= 2 – двум
единицам измерения предпочтительности
альтернатив по первому критерию.
С этой целью уравнять вектора:
вектор
(
i2,
a(
))
с вектором (
12,
a(
)).
6. Остальные точки i 3, i 4, i 5 и т.д. определить аналогично. При этом выполнить шаги, подобные шагам 2, 3 или 4, 5. По полученным значениям ai, i 1, i 2 и т.д. построить графики зависимости w i ( i). В случае необходимости от графической формы задания функциональной зависимости можно перейти к аналитической форме.
Тогда можно получить аналитическое задание аддитивного критерия.
В силу того, что эквивалентности векторов устанавливались экспертным путем, необходимо проверять достоверность полученного критерия. Такая проверка выполняется определением с помощью полученной аналитической зависимости нескольких альтернатив x, имеющих одинаковые значения интегрального критерия W. В дальнейшем экспертам предъявляются данные вектора для проверки их эквивалентности. Если эксперты считают, что данные альтернативы эквивалентны, то аддитивный критерий определен правильно.
Рассмотрим пример построения такого интегрального критерия.
Пример 7: Пусть необходимо определить критерий, оценивающий качество ЭВМ. К частным критериям, по которым оценивают ЭВМ, отнесем: 1 – частота ЭВМ (МГц); 2 – емкость оперативной памяти (Мб); 3 – емкость памяти на жестких дисках (Гб). Чтобы построить интегральный критерий W( 1, 2, 3), следует проверить независимость по предпочтению отдельных частных критериев.
Для фиксированного значения 1=2400, по мнению экспертов, варианты (векторы) '=(2400, 512, 60); ''=(2400, 256, 80); '''=(2400, 1024, 40) эквивалентны.
Аналогично, для 1=1700 варианты (векторы) '=(1700, 512, 60); ''=(1700, 256, 80); '''=(1700, 1024, 40) также эквивалентны. Это позволяет заключить, что частные критерии 2, 3 не зависимы по приращению от 1.
Также можно проверить независимость по приращению 1, 2 от критерия 3 и независимость 1, 3 от критерия 2. Следовательно, интегральный критерий принимает вид:
W() = w1( 1)+ w2( 2)+ w3( 3).
Выполним последовательные шаги построения аддитивного критерия.
1. Определим области возможных значений частных критериев 1, 2 , 3:
1[1700 МГц, 3200 МГц], 2 [256 Мб, 4096 Мб], 3[40 Гб, 120 Гб]. Т.к. все критерии соответствуют условию «чем больше, тем лучше», примем w1(1700)=0; w2(256)=0; w3(40)=0.
2. Выберем в качестве базового критерия критерий 1 и установим w1( 11)=1 для 11= 2400 МГц.
3. Установим эквивалентность векторов:
(2400, 256, 40) ~ (1700, 512, 40) ~ (1700, 256, 60), тогда 21= 512 Мб; 31= 60 Гб.
4. Для базового критерия 1 выберем 12= 2800 МГц. Для этого установим эквивалентность векторов (2800, 256, 40) ~ (2400, 512, 40).
5. Определим 22= 1024 Мб; 32= 80 Гб, так как (2800, 256, 40) ~ (1700, 1024, 40) ~ (1700, 256, 80).
6.
Для вектора (2400, 512, 60) определим
эквивалентный вектор (
13,
a(
)).
Тогда
13=3200
МГц;
w1(3200)=3.
Установим эквивалентность векторов:
(3200, 256, 40) ~ (1700, 2048, 40) ~ (1700, 256, 120). Следовательно,
w2(2048)=3;
w3(120)=3.
Т.к. 13 и 33 принимают максимальное значение 13= b1=3200, 33= b3=120, то функции w1( 1), w3( 3) уже полностью определены. Доопределим функцию w2( 2).
Для этого определим эквивалентность векторов ( 13, 21, a3) и ( a1, 24, a3).
Т. к. ( 13, 21, a3) ~ (3200, 512, 40) ~ (1700, 4096, 40) ~ ( a1, 24, a3), то w2(4096)=4.
Теперь функция w2( 2) также определена полностью, т. к. 24 принимает максимальное значение 24= b4=4096.
На рис. 2.3.8 приведены полученные графики зависимости wi( i) для трех частных критериев 1, 2, 3.
В тех случаях, когда не удается установить справедливость условия независимости частных критериев по приращению от значений других критериев, следует использовать нормальную форму интегрального критерия. Однако в этом случае необходимо разрабатывать алгоритмы, с помощью которых определяются функции wi от нескольких аргументов, что представляет очень большую сложность. Выходом из создавшегося положения является построение интегрального критерия на основе семейства поверхностей безразличия.
Пусть задан некоторый интегральный критерий W().Зафиксировав его значение на некотором уровне еj=const, получим уравнение Wj ( 1,…, n) = еj.
Данное уравнение определяет в пространстве Rn некоторую гиперповерхность Qj, все точки на которой эквивалентны, с точки зрения интегрального критерия W(). Такую гиперповерхность Qj, называют поверхностью безразличия.
Существование и гладкость данной поверхности вытекают из требований существования и непрерывности, предъявляемых к нормальной форме интегрального критерия. Если предположить, что все n частных критериев удовлетворяют условию «чем больше, тем лучше», то поверхности безразличия описываются строго монотонно убывающими функциями.
Чтобы построить поверхность безразличия, необходимо задать в пространстве Rn достаточное число точек, описывающих эквивалентные между собой альтернативные варианты. Задача нахождения эквивалентных вариантов для человека представляется более простой, чем задача определения отношения порядка между этими вариантами. Поэтому не возникает принципиальной проблемы при построении поверхностей безразличия. В основном проблема носит организационно-технический характер. Ее возникновение вызвано большой размерностью задачи. При создании алгоритмов построения поверхностей безразличия обращается особое внимание на сокращение ее размерности путем аппроксимации уравнений Qj более простыми уравнениями.
Пример 8: Рассмотрим построение Qj для n=2, т.е. для случая, когда поверхность безразличия превращается в кривую, определенную на плоскости 1 2. В данном примере 1-й и 2-й критерии являются не противоречивыми.
Отметим на оси 1 значения a1, 11, 12, 13, …, 1k, b1, отстоящие друг от друга на одинаковое расстояние Δ 1.
Зафиксируем исходную точку ( a1, b2), для которой эксперт решил построить кривую безразличия.
Для этой точки определим множество других точек, описывающих эквивалентные варианты: ( a1, b2) ~ ( 11, 21) ~ ( 12, 22) ~ ... ~ ( b1, 2k+1).
Имея ряд эквивалентных точек, легко аппроксимировать непрерывную кривую безразличия (рис.2.3.9).
Аналогично строятся поверхности безразличия для n>2. При этом фиксируются отдельные частные i, через которые проводятся поверхности безразличия.
Пусть, например, нужно выбрать лучшую альтернативу из ЭВМ, описываемых двумя противоречивыми критериями: 1 105 операций в секунду – быстродействие ЭВМ; 2 10-3 1/час – интенсивность отказов ЭВМ. Диапазоны изменения оценок ЭВМ по критериям: 1[2, 23]; 2[5, 30].
На рис. 2.3.10 приведены кривые безразличия Q1 и Q2, полученные в результате опроса экспертов, установивших две эквивалентные последовательности оценок ЭВМ по обоим критериям 1 и 2. Т. е. определены координаты 1 и 2 точек кривых безразличия Q1 и Q2:
(2, 5) ~ (9, 15) ~ (16, 20) ~ (23, 22);
(2, 15) ~ (9, 23) ~ (16, 27) ~ (23, 28).
При
этом для устранения противоречивости
критериев, т. е. для обеспечения каждому
критерию условия «чем больше, тем лучше»
вместо
2
взят критерий
2
=
35 –
2.
Поэтому точки кривых безразличия на
рис. 2.3.10 имеют следующие координаты
1
и
2:
(2, 30) ~ (9, 20) ~ (16, 15) ~ (23, 13);
(2, 20) ~ (9, 12) ~ (16, 8) ~ (23, 7).
Если
для выбора представлено множество
из
четырех альтернативных вариантов ЭВМ
со значениями частных критериев
1
и
2
1=(9,
8);
2
= (6, 23);
3=(13,
23);
4=(16,
25), то наилучшей будет первая альтернатива,
наихудшей – вторая. Эти ЭВМ имеют
значения частных критериев
1
и
2
1=(9,
27);
2
= (6, 12);
3=(13,
12);
4=(16,
10). Координаты точек для этих ЭВМ
отображены на рисунке 2.3.10.
Точки,
соответствующие третьей и четвертой
альтернативам, находятся между кривыми
безразличия Q1
и Q2.
Поэтому для того чтобы определить, какая
из этих альтернатив лучше, необходимо
на основе существующих кривых Q1
и Q2
построить интегральный критерий.
Контрольные вопросы:
1. Что такое квантификация целей?
2. Когда цель называется измеримой?
3. Когда цель называется частично измеримой?
4. Когда цель называется количественно измеримой?
5. Что такое критерий?
6. Когда (x) является критерием?
7. Что характеризует представительность критерия?
8. Что характеризует погрешность критерия?
9. Дать определение представительности и погрешности критерия.
10. Какова должна быть зависимость представительности от погрешности, чтобы критерий существовал?
11. Что называется представительным критерием?
12. Что называется косвенным критерием?
13. Что называется непредставительным критерием?
14. Как определяется оптимальная альтернатива с использованием представительного критерия?
15. Как определяется оптимальная альтернатива с использованием косвенного критерия?
16. Можно ли сделать вывод о предпочтительности какой-либо из альтернатив, используя непредставительный критерий?
17. Что называется шкалой наименований, каковы её элементы?
18. Что называется шкалой рангов, каковы её элементы?
19. Что называется шкалой интервалов, каковы её элементы?
20. Чем отличаются шкала отношений и абсолютная шкала от общей шкалы интервалов?
21. Дать определение функции полезности.
22. Дать определение функции потерь.
23. Дать определение показателя эффективности.
24. В чём заключается проблема многокритериальности?
25. Какие существуют пути и способы разрешения проблемы многокритериальности?
25. Какие условия должны выполняться, чтобы интегральный критерий можно было представить в мультиаддитивной форме?
26. Какие условия должны выполняться, чтобы интегральный критерий можно было представить в аддитивной форме?
27. Дать определение поверхности безразличия.