Проблема многокритериальности
При
решении задач выбора в критериальном
пространстве Rn,
критериальный язык выбора определяет
вещественные функции i
-критерии
для оценки i–х
свойств альтернатив. Каждая из этих
функций описывает одно из свойств или
аспектов оцениваемой альтернативы хX
и отображает множество альтернатив на
i–ю
числовую ось: X
R1.
Каждая альтернатива, оцениваемая по n
свойствам, имеет свои n
координат в критериальном пространстве
Rn,
определяемые концом вектора оценок
(
=(1,
…, n))
данной альтернативы по всем n
критериям. В этом случае, даже при наличии
представительных критериев i,
принцип «чем больше значение оценки
альтернативы по критерию, тем лучше
альтернатива» не действует. Критерии
i
могут быть не согласованными,
противоречивыми друг другу. У наилучшей
альтернативы оценки по одним критериям
должны быть максимальными, а по другим
– минимальными. По этой причине расстояние
от начала отсчета, общего для всех
координат вектора свойств, до конца
вектора свойств (координат) альтернативы,
оцениваемой по нескольким критерием,
в общем случае не является критерием
для выбора лучшей альтернативы.
При оценке альтернатив по каждому из n критериев возникает проблема многокритериальности. Эта проблема заключается в том, что некоторые альтернативы становятся лучшими по одному свойству (критерию), а некоторые – по другому свойству (критерию). В результате возникает множество недоминируемых альтернатив, образующих множество Парето, из которого не ясно по какому правилу выбирать альтернативу, лучшую сразу по всем критериям. Поэтому для выбора лучшей альтернативы (оптимального решения) требуется дополнительная информация о предпочтениях, не содержащаяся непосредственно в самих оценках альтернатив по критериям, хотя конечно связанная с ними.
Необходимость учета такой информации требуется тогда, когда от частных предпочтений по критериям i(х) требуется перейти к общему предпочтению по всей совокупности критериев (по вектору критериев).
Пути разрешении проблема многокритериальности
Существуют формальный и описательный подходы к определению решающего правила выбора лучшей альтернативы из множества альтернатив, оцениваемых по многим критериям [12].
При формальном подходе существует 4 варианта многокритериального выбора.
Наиболее часто используется первый вариант, при котором производят свертку вектора критериев в скаляр (число). В этом случае определяется представительная вещественная функция: W=W(1, …, n), значение которой, вычисленное для каждого альтернативного варианта, является оценкой его предпочтительности: х > у W(х) > W (у).
Функцию W называют обобщенным или интегральным критерием. Для построения интегрального критерия используются стандартные формы, позволяющие представить его в виде комбинации частных критериев. Выбор каждой из форм зависит от выполнения некоторых условий. Среди них в первую очередь выделяют условия существования и непрерывности интегрального критерия. Эти условия, чаще всего выполняющиеся в конкретных практических задачах, позволяют придать интегральному критерию конкретную форму.
Условие существования интегрального критерия формируется следующим образом. Пусть на множестве возможных функций W найдется хотя бы одна такая функция, что для любых векторных оценок (1(х), …, n(х)) и (1(у), …, n(у)):
(1(х), …, n(х)) > (1(у), …, n(у)) W(х) > W (у);
(1(х), …, n(х)) (1(у), …, n(у)) W(х) = W (у).
Отсюда следует, что вместо множества частных критериев i, i=1, …, n, можно выбрать один критерий, который позволит выполнить упорядочивание альтернатив.
Условие непрерывности интегрального критерия предъявляет требование к дифференцируемости интегрального критерия W по каждому частному критерию i. Это условие интерпретируется следующим образом. Пусть имеется вектор оценки альтернативы х по n критериям (1(х), …, n(х)), причем значение каждой частной оценки альтернативы х по критерию i удовлетворяет принципу «чем больше, тем лучше». Тогда для любого i можно задать приращение Δi, для которого
< ’(1, …, n) < (1, 2, …, i-1, i + Δi, i+1, …, n).
Это отношение означает, что малым приращениям любого частного критерия соответствуют малые приращения интегрального критерия W. Предпочтения в пространстве критериев не меняются скачком.
Если одновременно выполнены условия существования и непрерывности, то интегральный критерий может быть представлен в нормальной форме, имеющей вид:
,
где (i) – вектор, содержащий первые i частных критериев из их общего числа n;
wi – функция, задающая взаимосвязь первых i частных критериев.
Если частные критерии не зависят по приращению от остальных критериев, то интегральный критерий можно представить в мультиаддитивной форме, имеющей вид:
.
Независимость частного критерия по приращению означает то, что отношение предпочтительности <, , > между приращениями этого критерия не зависит от того, на каком уровне зафиксированы значения других критериев.
Проверка выполнения условия независимости по приращению для каждого критерия может быть проведена экспертным путем.
Пример 3: Пусть существуют два частных показателя:
1 – точность определения координат (местоположения) корабля;
2 – точность выработки параметров движения (курса) подводной лодки, обнаруженной ГАС корабля.
Пусть эксперт утверждает, что при (зафиксированной) точности определения курса подводной лодки 2 =0,5 градусов повышение точности определения координат (местоположения) корабля 1 с 10 кабельтов до 8 кабельтов (или с 9 до 7 кабельтов) влечет увеличение достоверности выработанных рекомендаций по применению противолодочного оружия для атаки подводной лодки W() на определенную величину. Если это мнение (значение величины, на которую увеличивается достоверность решения при повышении точности определения координат корабля 1 с 10 кабельтов до 8 кабельтов) не изменяется при всех других значениях 2, то это означает, что 1 не зависит по приращению от 2. Для полной уверенности эта независимость должна быть проверена во всем диапазоне значений 2. Однако этого еще не достаточно, чтобы сказать, что 2 не зависит по приращению от 1.
Пример 4: Пусть достоверность (правильность) решения W() по борьбе с целью определяется частными критериями:
1 – точностью определения координат (местоположения) корабля;
2 – точность выработки параметров движения цели;
3 – временем, затраченным на принятие решения.
И все эти критерии независимы по приращению. Тогда интегральный критерий W() принимает вид:
W()=w1(1)+w2(2)+w3(3)+w1(1)w2(2)+w1(1)w3(3)+w2(2)w3(3)+ +w1(1)w2(2) w3(3).
Такая мультиаддитивная форма интегрального критерия, безусловно, проще нормальной формы, т.к. в этом случае имеют дело не с функциями от нескольких переменных, а с функциями от одной переменной.
В том случае, если выполняется условие частичной независимости, то возможна композиция нормальной и мультиаддитивной форм.
Пример 5: Пусть n=3. Нормальная форма W() будет иметь вид:
W()=w1(1)+ w2(1, 2)+w3(1, 2, 3).
Если известно, что 1 не зависит по приращению от 2 и 3; 2 – от 1; 3 – от 1 и 2. Тогда можно записать:
W()=w1(1)+ w1(1)W(2, 3)= w1(1)+ w1(1)w2(2)+w1(1)w3(2, 3).
Дальнейшее упрощение нормальной формы может быть достигнуто за счет все более сильных условий независимости.
Так, например, более сильным условием является независимость каждой пары критериев (j, k) от остальных частных критериев.
В ранее рассмотренном примере такое условие независимости означает, что величина увеличения достоверности решения по борьбе с целью при повышении точности определения координат 1 с 10 кабельтов до 8 кабельтов и точности определения параметров движения цели 2 с 2° до 1° сохраняется неизменной при любых значениях 3.
Если каждая пара критериев (j, k) jk, j, k=1, …, n не зависит по приращению от значений других критериев i, то интегральный критерий приобретает вид:
Такая форма критерия называется аддитивной формой. Существует несколько других форм интегрального критерия, эквивалентных аддитивной форме.
Мультипликативным критерием называется критерий вида:
.
Мультипликативные критерии могут быть использованы, например, для определения вероятности наступления события, если известны условная вероятность его наступления при наступлении другого события и вероятность наступления этого другого события.
Метрическим аддитивным критерием называется аддитивный критерий вида:
,
где в качестве wi выступают функция расстояния, измеренного вдоль i-й координатной оси между описываемым вектором и идеальной точкой 0. Чем меньше W(), тем предпочтительнее оцениваемый вариант х.
При
введении в аддитивную форму нормировочных
коэффициентов ki
>
0,
получают нормированный
аддитивный критерий
следующего вида:
,
тогда W()[0,1].
Частным случаем нормированного аддитивного критерия является линейная форма нормированного аддитивного критерия:
,
получаемая из нормированного критерия в том случае, если каждая функция wi(i) является линейной. Разумеется, что такой вид критерий возможен при одновременном выполнении большого числа условий.
Аддитивная форма интегрального критерия проста по своей структуре, удобна для проведения расчетов, допускает естественную физическую интерпретацию, при которой отчетливо прослеживается вклад каждого критерия в общую оценку альтернативного варианта.
Такая форма может быть использована в качестве первого приближения на этапе предварительного выбора даже в тех случаях, когда условия независимости по предпочтению не соблюдаются.
Несмотря на простоту этой формы по сравнению с другими формами интегрального критерия, она должна применяться весьма осторожно. Неоправданное применение такой формы интегрального критерия может привести к грубым ошибкам при выборе оптимального варианта.
Недостатком свертки критериев в скаляр является то, что существует неограниченная возможность компенсации одних критериев другими. Кроме того, интегральный критерий может быть очень чувствителен к изменению условий.
Второй вариант многокритериального выбора при формальном подходе, основывается на том факте, что одни критерии являются более важными, чем другие. Поэтому можно выделить основной критерий, а другие критерии перевести в разряд ограничений. В этом случае задача выбора сводится к классической оптимизационной задаче нахождения альтернативного варианта, обеспечивающего экстремум основного критерия.
Третий вариант многокритериального выбора при формальном подходе состоит в определении «уступки» для каждого критерия. «Уступкой» называется величина, на которую оценка лучшей альтернативы по более важному критерию может стать меньше для того, чтобы ее оценка по критерию, следующего за ним по важности, стала максимально возможной. Этот способ, по сравнению со вторым, снижает "несправедливость" между основным и не основными критериями.
Четвертый вариант многокритериального выбора на базе формальных моделей относится к случаю, когда заранее могут быть заданы требуемые значения частных критериев и задача выбора состоит в определении альтернатив, удовлетворяющих всем этим требованиям, или определении факта, что нет ни одной такой альтернативы. В этом случае необходимо найти альтернативу, которая ближе всего подходит к этим требованиям.
При описательном подходе к определению решающего правила выбора лучшей альтернативы из множества альтернатив, оцениваемых по многим критериям, система предпочтений лица, принимающего решение, представляется в виде эвристических правил, которые определяют, как производится выбор в различных ситуациях. Такой подход реализуется в диалоговых системах поддержки принятия решений, в том числе в экспертных системах.