Шкала отношений

Шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов, в которой k₁=const, т. е. задано общее начало отсчета для всех возможных шкал отношений, которые могут отличаться друг от друга только масштабом. Единственным допустимым линейным преобразованием на данной шкале является растяжение или сужение единицы измерения шкалы:

(x)=k₂(x),

где k₂ – масштаб новой шкалы отношений, показывающий во сколько (k₂>0) раз единица измерения новой шкалы больше единицы измерения предыдущей шкалы.

На шкале отношений справедливо изоморфное равенство: (x)/(y) =((y))/((z)), которое говорит о том, что отношение оценок альтернатив по критерию на любых шкалах отношений одинаково. Следовательно, на шкале отношений можно сравнивать не только значения этих оценок (x), (y) и (z) или их разностей (x) – (y) и (x) – (z), но и значения любых арифметических преобразований, выполняемых над этими оценками альтернатив по критерию, в том числе операций деления и умножения; можно определять во сколько раз оценка одной альтернативы больше оценки другой альтернативы по одному и тому же критерию.

Элементами шкалы отношений, также как и элементами шкалы интервалов, являются числа, являющиеся оценками альтернатив по критерию. Но все шкалы отношений, в отличие от шкал интервалов, имеют один общий 0 – точку начала отсчета всех шкал отношений.

Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения физических величин. Так, длина, вес, скорость, сопротивление, напряжение, сила тока могут измеряться в разных единицах измерения. Но все шкалы имеют общее начало отсчета.

Единая система измерения физических величин СИ, использующая шкалу отношений, позволяет производить любые арифметические действия над оценками альтернатив по разным критериям, связывая эти критерии: U=IR, V=S/t.

Абсолютная шкала

Абсолютная шкала является частным случаем шкалы отношений, в которой k₂=const, т. е. на этой шкале можно установить абсолютный ноль (единое начало отсчета) и абсолютную единицу (единый масштаб).

На этой шкале можно выполнять не только арифметические, но и более сложные операции над оценками альтернатив по критерию, такие, как возведение этих оценок в степень, логарифмирование и т. д. Такая шкала является безразмерной. Именно такими качествами обладает числовая ось R₁. Числовая ось является единственным примером абсолютной шкалы. Ее элементами являются количества абсолютных единиц.

Абсолютная шкала является наиболее сильной. Ее использование позволяет получить максимальную информацию об альтернативах. Однако ее можно использовать только тогда, когда оцениваемое свойство альтернатив (критерий или аспект) максимально согласовано со свойствами данной шкалы.

В действительности встречаются случаи, когда тождество или различие двух альтернатив нельзя утверждать с полной уверенностью. Это обстоятельство привело к необходимости ввода понятия лингвистической переменной, значения которой расплывчаты по своей природе. Это понятие базируется на теории нечетких множеств и приводит к созданию расплывчатой шкалы.

Если из множества альтернатив нужно только выбрать лучшую альтернативу, то для определения правила выбора достаточно иметь критерий, измеримый в ранговой шкале.

Если же надо решить вопрос о том, какая альтернатива меньше отличается от эталонной (оптимальной, идеальной) альтернативы, то критерий должен быть измерим как минимум в шкале интервалов.

Понятие функции полезности

Если на множестве Х определена вещественная функция  такая, что для отношения предпочтения R для любых х > у выполняется соотношение (х) > (у), то эта функция называется функцией полезности. Понятие функции полезности возникло в теории потребительского спроса при сравнении различных наборов товаров. Значение функции полезности на определенном наборе товаров выражает ценность и полезность данного набора для потребителя. Так как, делая капиталовложения для приобретения товаров, естественно ожидать выигрыша, поэтому функция полезности предназначалась для количественной оценки этого выигрыша, для количественного определения предпочтения альтернатив.

Данная функция определена вследствие теоремы П. Фишберна, имеющей следующую формулировку. Если множество Х конечно и между его элементами существует отношение строгого порядка, то можно построить такую вещественную функцию (х) на X, для которой х > у  (х) > (у) [18].

Затем данный результат был обобщен на бесконечные (счетные и континуальные) множества X, и на нестрогий порядок  и на многокритериальный случай. Определение (х) позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв (х) в качестве критериальной функции. Понятие функции полезности было исходным в становлении всей теории принятия решений. В ряде случаев, особенно когда необходимо найти максимум функции полезности, на нее накладывают дополнительные ограничения, например, требования непрерывности и монотонности.

Принято считать, что все функции полезности для задания отношения предпочтительности R на критериальном пространстве R_n обладают двумя свойствами:

а) Функции полезности  монотонно возрастают по всем переменным,

т.е. для любых

j=1, …, n, x=(x₁,..., x_n), y=(y ₁,..., y_n)R_n, x  y: х_j  у_j (х)  (у).

Данное свойство определяет отношение Парето, записывае­мое в виде:

хРу  (х)  (у);

б) Существуют две первые производные функции полезности

’(х_j) = (х)/х_j;

’’(х_j, х_k) = (х)/х_j  х_k, j, k=1, …, n

Данные производные определяют наличие экстремумов и их характер для каждого свойства х_j.

Таким образом, решение задачи принятия решений при использовании функции полезности сводится к нахождению аргумента arg(max ), дающего максимальное значение функции  на множестве .

При выборе решения с использованием функции полезности на пространстве R_n считают, что известна сравнительная полезность любых двух альтернатив х, у, отличающихся не более чем по двум координатам. Это значит, что выполняется одно из трех соотношений: (х) > (у), (х) = (у), (х) < (у).

Если функция  задана явно, то эта задача относится к задачам математического программирования (обычным оптимизационным задачам). В противном случае имеют дело с общими задачами оптимизации.

Построение функции полезности скорее искусство, чем наука. Для лица, принимающего решение, должно быть совершенно ясно, что получаемые предпочтения - это результат его субъективных взглядов. При построении функции полезности необходимо учитывать, как относится лицо, принимающее решение, к риску. Форма кривой, описывающей функцию полезности, зависит от того, стремится ли человек к риску, уклоняется от него или безразличен к риску. На рисунке 2.3.6 приведены формы этих кривых для функций полезности, определенных на R₁ [12].

Рис. 2.3.6. Отношение функций полезности к риску

Рассмотрим методику построения функции полезности, определенной на R₁. Для построения функции полезности введено понятие простой лотереи. Простой лотереей L(x₁, p, x₂) назовем вероятностное событие, имеющее два возможных исхода x₁ и x₂, вероятности наступления которых соответственно р и (1– p). Если x₃~L(x₁, p, x₂), то исход x₃ равноценен лотерее, которая имеет исходы x₁ с вероятностью р и x₂ с вероятностью (1–p). В методике выделяются две альтернативы x_a и x_b – худшая и лучшая. Для них назначаются конкретные значения (x_a)< (x_b). Далее находится альтернатива x₁, исход которой равноценен лотерее L₁(x_a, ½, x_b), с точки зрения лица, принимающего решение. Так как полезности такого исхода и лотереи равны, то (x₁) = ½ ((x_a)+ (x_b)).

Это уравнение дает третью точку на графике функции полезности. Аналогично можно определить две другие точки, сравнивая альтернативы с лотереями L₂(x_a, ½, x₁), L₃(x₁, ½, x_b). Полученные значения функции полезности можно ис­пользовать для построения других точек. Общая функция стро­ится на множестве полученных точек.

На рис.2.3.7 приведен пример функции полезности, построенной по данной методике. Данная функция соответствует стратегии уклонения от риска. Если наблюдается постоянное уклонение от риска, то функция полезности будет иметь вид:

(x) = a + b (– е^{– cx}), b > a, где а и b - некоторые константы.

Рис. 2.3.7. Пример построения функции полезности

Кроме функции полезности также используется понятие функции потерь, которая является в некотором смысле обратной функции полезности. Под функцией потерь понимается такая функция (x) на X, для которой если существует отношение по­рядка х > у, то (x) < (у). Таким образом, значения функции потерь убывают при переходе от менее предпочтительных реше­ний к более предпочтительным.

Кроме этих функций в теории принятия решений использу­ются и другие понятия (функция сожаления, функция риска и т. д.). Все эти функции позволяют оценивать эффективность принятия решений по выбору альтернативы x  X. Поэтому критерии, с помощью которых производится оценка альтернатив, принято называть критериями эффективности. Численную оценку критерия эффективности называют показателем эффективности. Иногда критерием эффективности называют сам показатель эффективности.

Критерии (показатели) эффективности определяют количественную меру соответствия результатов принимаемых решений и цели, поставленной перед лицом, принимающим решения. Отсюда следует основной принцип выбора критерия (показателя) эффективности, установленный академиком А.Н. Колмогоровым. Этот принцип состоит в установлении строгого соответствия между целью, которая должна быть достигнута и избираемым критерием эффективности. Поэтому критерий эффективности часто называют целевой функцией. Правильный выбор критерия эффективности позволяет более обоснованно оценивать альтернативы x в процессе принятия решений. В качестве критерия эффективности следует выбирать такую величину, которую можно выразить количественно, определить точными методами, измерить или вычислить имеющимися средствами и связать с оперативно-тактическими, экономическими и физическими факторами, влияющими на результаты решения задачи принятия решений так, чтобы критерий эффективности позволил повысить эффективность процесса принятия решений.