107

2.3. Выбор альтернатив с использованием

критериального языка выбора

________________________________________________________________________________________________________

3. Выбор альтернатив с использованием

критериального языка выбора

Критериальный язык выбора является наиболее простым из языков выбора. Он используется, когда все альтернативы xX, (X) имеют одно и то же количественно измеримое свойство и можно определить значение этого свойства для каждой альтернативы (x) с помощью некоторой вещественной функции , задающей отношение порядка R₁ на подмножестве альтернатив X множества  (: X  R₁) [12].

Понятие критерия.

 Критерием  называется количественно измеримое свойство альтернатив, позволяющее сравнивать альтернативы с целью их упорядочивания по степени предпочтительности выбора [13].

Сравнение альтернатив возможно только после определения количественных значений этого свойства для каждой альтернативы (x).

 Оценкой  (x) альтернативы xX по критерию  называется значение количественно измеримого свойства альтернативы. По этим оценкам можно сравнивать альтернативы множества X с целью их упорядочивания по степени предпочтительности выбора.

Для того чтобы получить возможность сравнивать альтернативы между собой по степени предпочтительности выбора, вводится понятие цели.

 Одна альтернатива может быть более предпочтительна для выбора, чем другая альтернатива, только в том случае, если обе альтернативы имеют общее целевое назначение и первая альтернатива в большей степени соответствует своему целевому назначению, чем вторая.

Однако в большинстве случаев в реальной жизни далеко не для всех целей можно найти критерии. В подобных ситуациях первоначальная цель выбора альтернатив формулируется, как правило, на качественном уровне. Затем, чтобы описать первоначальную цель в терминах характеристик системы, ее разбивают на совокупность подцелей.

 Процесс разбиения исходной цели на совокупность более частных, но и более конкретных подцелей называется квантификацией цели.

Последовательно осуществляя квантификацию можно получить иерархическое многоуровневое дерево целей (рис. 2.3.1). В идеале на нижнем уровне такого дерева должен оказаться полный не избыточный набор измеримых целей.

Например, цель: «Из множества вычислительных и программных средств выбрать наиболее предпочтительные для создания новой БИУС» не является измеримой и не позволяет в явном виде выделить количественно измеримые свойства альтернатив. Такими альтернативами являются процессоры, топологии и организации сетей ЭВМ, интерфейсы, методы доступа к памяти, среды программирования, математические модели задач, а также другие вычислительные и программные средства.

В результате квантификации первоначальной цели (A) можно получить набор подцелей первого уровня. Примеры таких подцелей:

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют уменьшить время реакции БИУС на внешние воздействия и сократить время выдачи команд целеуказания средствам управления оружием корабля» (A₁);

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют повысить вероятность правильного принятия решения» (A₂);

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют повысить информативность модели тактической обстановки, формируемой в БИУС в каждый момент времени» (A₃);

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют повысить надежность функционирования БИУС» (A₄);

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют уменьшить габариты и вес БИУС» (A₅);

• «предпочтительнее для выбора те вычислительные и программные средства, которые позволяют уменьшить стоимость БИУС» (A₆) и т. п.

В результате квантификации первой подцели первого уровня можно получить набор подцелей второго уровня. Примеры таких подцелей:

• «предпочтительнее для выбора такие вычислительные и программные средства, которые позволяют увеличить скорость решения задач в ЭВМ БИУС» (A₁₁);

• «предпочтительнее для выбора такие вычислительные и программные средства, которые позволяют увеличить скорость передачи информации внутри БИУС» (A₁₂);

• «предпочтительнее для выбора такие вычислительные и программные средства, которые позволяют увеличить скорость передачи информации между БИУС и ее абонентами» (A₁₃) и т. п.

В результате квантификации первой подцели второго уровня для первой подцели первого уровня можно получить набор подцелей третьего уровня. Примеры таких подцелей:

• «предпочтительнее для выбора те процессоры, которые имеют большее быстродействие»;

• «предпочтительнее для выбора такие математические модели задач БИУС, для выполнения программных реализаций которых требуется меньше времени» (A₁₁₁);

• «предпочтительнее для выбора та среда программирования, которая позволяет создавать программы, на выполнение которых требуется меньше времени» (A₁₁₂);

• «предпочтительнее для выбора такие методы доступа к памяти, которые обеспечивают наиболее быстрое извлечение данных из памяти» (A₁₁₃) и т. п.

Рис. 2.3.1. Иерархическое многоуровневое дерево целей

В результате квантификации второй подцели второго уровня для первой подцели первого уровня можно получить набор подцелей третьего уровня. Примеры таких подцелей:

• «предпочтительнее для выбора такая топология сети ЭВМ, которая позволяет уменьшить время передачи одной единицы информации между абонентами сети» (A₁₂₁);

• «предпочтительнее для выбора такие интерфейсы, которые обладают наибольшей пропускной способностью» (A₁₂₂) и т. п.

Таким образом, можно увидеть, что практически все цели третьего уровня уже являются количественно измеримыми.

 Цель A называется измеримой, если в множестве  не существует пары таких альтернатив x_i, x_j, что альтернативы x_i и x_j не сравнимы друг с другом по отношению к цели A.

 Цель A называется частично измеримой, если для  альтернативы x_i  хотя бы одна альтернатива x_j, такая что, по отношению к цели A либо альтернатива x_i предпочтительней альтернативы x_j (x_ix_j), либо альтернатива x_i менее предпочтительна альтернативы x_j (x_ix_j), либо альтернатива x_i эквивалентна альтернативе x_j (x_ix_j).

Только измеримые цели позволяют сравнивать альтернативы по степени их предпочтительности для выбора и, следовательно, осуществлять поиск лучших альтернатив на множестве альтернатив .

Пусть A – измеримая цель. Множество  состоит из четырех альтернатив: {x₁, x₂, x₃, x₄}. Нужно найти множество оптимальных альтернатив по отношению к измеримой на  цели A, если известно, что x₁x₂, x₁x₃, x₄x₂, x₄x₃, x₁x₄, x₂x₃. Тогда _ОП = {x₁, x₄}.

Рис. 2.3.2. Граф результатов сравнения альтернатив

Данный результат легко увидеть на графе (рис. 2.3.2). Однако, если в множестве  находится 10 альтернатив, то количество ребер в графе =45. Т. е. надо сравнить 45 пар альтернатив. А если в множестве  находится более 100 альтернатив, то задача становится трудно разрешимой, громоздкой и трудоемкой.

Поэтому существует более перспективный путь нахождения _ОП, связанный с понятием количественно измеримой цели.

 Цель A называется количественно измеримой, если на множестве  существует вещественная функция(x), сохраняющая упорядочивание,

т. е. для  x_i, x_j: x_ix_j  ( x_i)> ( x_j)

причем отношение предпочтительности является отношением строгого порядка, а множество классов эквивалентности () является конечным (или счетным).

 является критерием, характеризующим соответствие альтернативы x_i  цели A, если

() = P(x_i R x_j| (x_i)- (x_j)= )

не убывает по . Т. е. Чем больше , тем больше и (), где () – вероятность истинности утверждения, что если (x_i)- (x_j)= , то x_i R x_j для всех x_i, x_j.

() называется представительностью критерия , определяющей вероятность, с которой можно сделать вывод о предпочтительности выбора альтернативы x_i перед альтернативой x_j. Представительность критерия позволяет судить о соответствии критерия  и цели A. Она количественно характеризует возможности критерия правильно описывать существующие на множестве  отношения предпочтительности и указывает степень доверия, с которой следует подходить к результатам оценки альтернатив по критерию .

 называется погрешностью критерия, которая характеризует минимальную степень различия между оценками альтернатив по критерию , обеспечивающую требуемое значение представительности критерия. Погрешность определяет разрешающую способность критерия  и, тем самым, устанавливает максимально допустимый уровень ошибок при вычислении оценок различных альтернатив по данному критерию . Если (x_i)- (x_j) < , то альтернативы x_i и x_j не различимы по критерию  с заданной представительностью () для всех x_i, x_j.

Погрешность  и представительность критерия () обычно определяет лицо, принимающее решение (ЛПР). Известны два способа определения  и ().

1 способ:

• определить область значений ;

• в этой области выделить множество значений (точек) ^k (k=1, …, n);

• для каждого =^k ЛПР указывает P_k – вероятность того, что x_i R x_j, если (x_i)- (x_j)= ^k, определяя тем самым значения (^k)= P_k;

• по значениям (точкам) (^k) строится функция ().

2 способ:

• определить область значений ;

• разбить эту область на n таких интервалов, что внутри каждого интервала P_k – вероятность того, что x_i R x_j, если (x_i)- (x_j)= ^k одинакова, с точки зрения ЛПР, где ^k - правая граница k –го интервала (k=1, …, n);

• определить (¹)= 1/n, (²)= 2/n, …, (ⁿ)= n/n=1;

• по значениям (точкам) (^k) строится функция ().

Пример 1:

Для эффективного применения оружия по цели в БИУС НК производится определение параметров движения и экстраполированного местоположения цели. В качестве критериев, характеризующих обоснованность решения по управлению применением оружия по данной цели, можно выбрать ₁ – точность выработки курса цели и ₂ – оперативность выработки курса цели. Предположим, что априорно имеются функции представительностей каждого из двух критериев.

Определить: насколько обосновано принимается решение по управлению оружием на основании данных об обнаруженной цели в каждом из двух вариантах определения ЭДЦ, если в первом (x) варианте курс цели определяется с точностью 1 за 15 секунд, а во втором (y) варианте курс цели определяется с точностью 2 за 10 секунд:

₁(x) =1, ₁(y) =2, ¹ = ₁(x) – ₁(y) = 1;

₂(x) =15 с, ₂(y) =10 с, ² = ₂(x) – ₂(y) = 5 с.

Рис. 2.3.3. Графики функций представительностей двух критериев

Как следует из рассмотрения графиков функций представительностей каждого из двух критериев, вероятность предпочтительности первого варианта определения ЭДЦ перед вторым по первому критерию (по точности) равна ₁(¹)=0,4, а вероятность предпочтительности второго варианта определения ЭДЦ перед первым по второму критерию (по оперативности) равна ₂(²)=0,18.

По полученным в данном примере значениям вероятностей предпочтительности вариантов по первому и второму критерию нельзя сделать вывод о том, какой вариант определения ЭДЦ лучше, поскольку сами значения вероятностей предпочтительности меньше 0,5. Для принятия решения о выборе варианта определения ЭДЦ, различия между оценками вариантов по точности должны быть не меньше ¹ = ₁(x) – ₁(y) = 2, а по оперативности – не меньше ² = ₂(x) – ₂(y) = 15 с.

Учитывая то обстоятельство, что не всегда выбранные критерии позволяют выбрать лучшую альтернативу в силу небольших значений их представительности (), целесообразно привести классификацию критериев [13].