49

2.1. Выбор альтернатив с использованием

языка бинарных отношений ________________________________________________________________________________________________________

Глава 2. Теоретические основы выбора альтернатив

В главе «Теоретические основы выбора альтернатив» рассматриваются методы использования языков бинарных отношений, функций выбора и критериального языка выбора для формализации понятия лучшей альтернативы и сравнения альтернатив в задачах принятия решений.

Данные методы могут использоваться, когда отсутствует единое понятие лучшей альтернативы, и позволяют изменять понятие оптимальности в ходе решении конкретной задачи.

1. Выбор альтернатив с использованием

языка бинарных отношений

Простейшая ситуация, в которой возможно сделать обоснованный выбор из нескольких объектов, возникает тогда, когда известна мера качества этих объектов, позволяющая сравнивать их и выбирать тот, для которого эта мера принимает максимальное значение.

Однако в большинстве реальных ситуаций выделить такую общую меру не удается. Мало того, некоторые свойства многих объектов вообще не измеримы количественно. Тем не менее, для некоторых пар объектов можно указать какой из объектов пары лучше (предпочтительней) другого по отношению к какой-либо цели.

Понятие бинарного отношения.

Когда выбор альтернатив может быть осуществлен лишь на основе информации о сравнении их попарно, применим только язык Бинарных отношений. Он основан на том, что в большинстве случаев для пар сравниваемых альтернатив можно указать, какая из них лучше. Принцип оптимальности в данном случае может быть не формализуемым и субъективным. Формализация операций сравнения альтернатив попарно приводит к понятию бинарного отношения [15].

Бинарным отношением R на множестве сравниваемых альтернатив  называется подмножество R пар альтернатив, находящихся между собой в отношении R, множества всех возможных пар альтернатив .

R    .

Задание подмножества R на множестве всех возможных пар альтернатив  определяет: пары альтернатив x, y    , которые находятся в отношении R. Если пара x, y входит в подмножество R, то пишут x R y, что читается, как: «x находится в отношении R с y».

Множество  называется областью задания отношения R. Если область задания существенна, то отношение обозначается R, .

Пример 1:

Пусть ₁ – множество всех курсантов ВМИРЭ;

₂ – множество курсантов 3 факультета ВМИРЭ;

₃ – множество курсантов 3 курса ВМИРЭ;

R – отношение «x знаком с y».

R – одно и то же отношение «x знаком с y», но оно определено на трех различных областях задания. По этой причине множества пар знакомых друг с другом курсантов R, ₁, R, ₂ и R, ₃ будут различны, хотя, наверно будут пересекаться.

Пример 2:

Пусть  – множество всех курсантов ВМИРЭ;

R ₁ – отношение «x учится на одном курсе с y»;

R ₂ – отношение «x учится на младшем курсе по сравнению с y»;

R ₃ – отношение «x учится на более старшем курсе, чем y».

Хотя область задания отношений одна и та же, но поскольку сами отношения различны, то и множества пар курсантов R₁, , R₂,  и R₃,  будут различны, однако множества R₂,  и R₃,  будут содержать одни и те же пары, поскольку отношение R₂ является обратным к отношению R₃.

Бинарные отношения могут определять принадлежность двух объектов к одному классу: «быть братом», «быть ровесником», «начинаться с одной буквы», «учиться в одном классе». Такие отношения называются отношениями эквивалентности.

Бинарные отношения также позволяют выявить предпочтительность одной альтернативы перед другой: «быть победителем», «быть старше», «обладать большей производительностью», «быть более надежным». Такие отношения устанавливают некоторый порядок объектов множества альтернатив и называются отношениями порядка.

Говорить об отношении можно только тогда, когда мы умеем выделять множество объектов, на которых это отношение определено. Эти объекты должны иметь какое-то общее свойство или предназначение, по которым можно было бы установить отношение между ними. Например, отношение «Иван старше воды» не имеет смысла. Альтернативы «Иван» и «вода» не связаны между собой отношением старшинства, а бинарные отношения всегда выражают связи между объектами.

Отношение может быть определено не только для пар, но и для троек, четверок и т. д. Например, отношение «Составлять экипаж одной шлюпки» является семиместным и имеет смысл только для семерок. Не следует путать с отношением «Входить в экипаж одной шлюпки», которое может быть и бинарным и тернарным (трехместным), и семиместным. Алгебраическая операция «Образовывать произведение» дает трехместное отношение R_Пр, имеющее смысл для троек: x, y, z, причем x и y – множители, а z – произведение. Так 2, 5, 10  R_Пр.