Еще один алгоритм решения задач лп методом симплекс-таблиц (предложенный е. С. Вентцель) [1]

1. Систему уравнений-ограничений привести к единичному базису (начальному допустимому базисному решению), в котором

• каждое уравнение содержит по одной такой (базисной) переменной с коэффициентом "+1", которая отсутствует во всех остальных уравнениях,

• и при этом константы в правой части каждого уравнения не отрицательны.

2. Преобразовать целевую функцию W() в функцию только от небазисных переменных и приравнять ее нулю путем вычитания из W() всех c_i _i ( _i не входят в базис, т.е. не являются базисными): W() – c_m+1 _m+1 – … – c_n _n = 0. Необходимо искать минимум целевой функции. Если задачей было максимизировать W(), то следует минимизировать – W().

3. Построить симплекс - таблицу:

   Базисные переменные	 m+1	…	 j	…	 n	Свободные члены
   Симплекс-разность	– cm+1	…		…	– cn	0
    1	a1 m+1	…	a1 j	…	a1n	b1
   …	…	…	…	…	…	…
    i	ai m+1	…	aij	…	ain	bi
   …	…	…	…	…	…	…
    m	am m+1	…	amj	…	amn	bm

4. Найти наибольшей положительный элемент в строке симплекс-разность и выделить соответствующий ему столбец, как ведущий столбец.

5. Найти в этом столбце положительный элемент, отношение к которому свободного члена в одной с ним строке является минимальным. Выделить этот элемент, как ведущий элемент, а строку, в которой он находится, как ведущую строку.

6. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент, а все элементы ведущего столбца на минус ведущий элемент. Результаты записать в правом нижнем углу ячейки. В правом нижнем углу ячейки с ведущим элементом записать единицу, деленную на ведущий элемент.

7. Выделить верхние числа в ведущей строке и нижние числа в ведущем столбце. В ячейке с ведущим элементом не выделять ничего.

8. Для остальных ячеек, не вошедших ни в ведущую строку, ни в ведущий столбец, в правом нижнем углу записать произведение выделенных чисел, находящихся в одной строке и в одном столбце с данной ячейкой.

9. Построить симплекс – таблицу, поменяв местами базисную переменную в ведущей строке с небазисной переменной в ведущем столбце. Элементы ведущей строки и ведущего столбца новой симплекс – таблицы заменить числами, стоящими в правом нижнем углу ячейки, а элементы остальных строк новой симплекс – таблицы заменить суммой чисел, стоящих в верхней и нижней части ячейки.

10. Если все симплекс - разности станут не положительными, то решение задачи найдено. Оптимальное значение W() находится на пересечении строки «симплекс - разность» и столбца «свободные члены», а значения базисных переменных, дающих оптимальное значение целевой функции, находятся в остальных ячейках столбца «свободные члены». Не базисные переменные считаются равными 0.

11. В противном случае следует проверить: имеются ли в столбце с положительной симплекс – разностью положительные элементы. Если да, выполнить новую итерацию в соответствии с пунктами 410. Если нет, то в области допустимых решений целевая функция W() не ограничена. В этом случае max W() , min W() – .

Решим задачу из примера 1, пользуясь алгоритмом Е.С. Вентцель.

Эта задача в стандартной форме записывается так:

максимизировать 

минимизировать

при ограничениях

1. Приведем целевую функцию к виду, удобному для записи в симплекс – таблицу и заполним ее

Базисные переменные	 1	 2	Свободные члены
Симплекс-разность	5 -5/6	4 -10/3	0 -20
s1	6 1/6	4 4/6	24 4
s2	1 -1/6	2 -2/3	6 -4
s3	–1 1/6	1 2/3	1 4
s4	0 0	1 0	2 0

2. Преобразуем симплекс – таблицу в соответствии с алгоритмом. Минимум W() не найден.

Базисные переменные	s1	 2	Свободные члены
Симплекс-разность	-5/6 1/12	2/3 -1/2	-20 -1
 1	1/6 1/12	2/3 -1/2	4 -1
s2	-1/6 -1/8	4/3 3/4	2 3/2
s3	1/6 5/24	5/3 -5/4	5 -5/2
s4	0 1/8	1 -3/4	2 -3/2

3. Преобразуем симплекс – таблицу в соответствии с алгоритмом. Минимум W() найден.

Базисные переменные	s1	s2	Свободные члены
Симплекс-разность	-3/4	-1/2	-21
 1	1/4	-1/2	3
 2	-1/8	3/4	3/2
s3	3/8	-5/4	5/2
s4	1/8	-3/4	1/2

Алгоритм построения начального допустимого базисного решения задачи линейного программирования [19]

Допустимым начальным базисным решением задачи ЛП называется система линейных уравнений, каждое уравнение которой содержит по одной такой переменной с коэффициентом "+1", которая отсутствует во всех остальных уравнениях, и при этом константы в правой части каждого уравнения не отрицательны.

В примере 1 при начальном допустимом базисном решении гарантировалось, что все последующие базисные решения, получаемые при выполнении симплекс-метода, также будут допустимыми. В задачах линейного программирования, где все ограничения являются неравенствами типа "" (с не отрицательной правой частью), дополнительные (остаточные) переменные позволяют сформировать начальное допустимое базисное решение. Естественно, возникает вопрос: как найти начальное допустимое базисное решение в задачах ЛП, где есть ограничения в виде равенств или неравенств типа ""?

Наиболее общим способом построения начального допустимого базисного решения задачи ЛП является использование искусственных переменных. Эти переменные в пер­вой итерации играют роль дополнительных остаточных переменных, но на последующих итерациях от них освобождаются. Разработано два тесно связанных между собой метода нахождения начального решения, которые используют искусственные переменные: М-метод (который также называют методом больших штрафов) и двухэтапный метод.

М-метод построения начального допустимого базисного решения задачи ЛП с использованием искусственных переменных

Пусть задача ЛП записана в стандартной форме. Для любого равенства i, в котором не содержится дополнительная остаточная переменная, введем искусственную перемен­ную R_i, которая далее войдет в начальное базисное решение. Но поскольку эта перемен­ная искусственна (другими словами, не имеет никакого "физического смысла" в данной задаче), необходимо сделать так, чтобы на последующих итерациях она обратилась в нуль. Для этого в выражение целевой функции вводят штраф.

Переменная R_i, с помощью достаточно большого положительного числа М, штрафу­ется путем ввода в целевую функцию выражения – МR_i в случае максимизации целевой функции и выражения + МR_i – в случае минимизации. Вследствие этого штрафа естест­венно предположить, что процесс оптимизации симплекс-метода приведет к нулевому значению переменной R_i.

Поясним детали этого метода на примере.

Пример 2.

Минимизировать при выполнении условий

Стандартная форма этой задачи получается в результате добавления дополнительной (избыточной) переменной во второе неравенство и дополнительной (остаточной) переменнойв третье неравенство. Эта задача в стандартной форме будет записана следующим образом.

Минимизировать при выполнении условий

В полученной задаче первое и второе уравнения не имеют дополнительных (остаточных) переменных, которые можно ввести в базисное решение. Поэтому введем в эти уравнения искусственные переменные R₁ и R₂, а в целевую функцию добавим штраф МR₁ + МR₂. В результате получим следующую задачу ЛП.

Минимизировать при выполнении условий

В этой модифицированной задаче переменные R₁, R₂ и можно использовать в качестве начального допустимого базисного решения.

В результате получим следующую симплекс-таблицу.

Базис				R1	R2		Решение
W() = z	– 4	– 1	0	– M	– M	0	0
R1	3	1	0	1	0	0	3
R2	4	3	– 1	0	1	0	6
	1	2	0	0	0	1	4

Прежде чем применять симплекс-метод, надо согласовать значения в z-строке с остальной частью таблицы. В частности, значение функции z, соответствующее на­чальному базисному решению R₁ = 3, R₂ = 6 и = 4, должно равняться 3М+ 6М+ 0 = 9М, а не 0, как показано в таблице. Это несоответствие связано с тем, что переменным R₁ и R₂ соответствуют ненулевые коэффициенты (– M, – M) в строке z (сравните с начальным решением в примере 1, где дополнительным перемен­ным соответствуют нулевые коэффициенты в z-строке). Чтобы сделать эти коэффи­циенты нулевыми, следует умножить элементы строк R₁ и R₂ на величину М, и затем сложить эти строки с z-строкой. (Обратите внимание на "подсвеченные" единицы в этих строках – если бы эти коэффициенты были отличны от единиц, то необходимо было бы сначала разделить все элементы этих строк на данные коэффициенты.) Кратко это действие можно записать следующим образом.

Новая z-строка = Старая z-строка + МR₁-строка + МR₂-строка

Выполним эту операцию в данном примере.

Старая z-строка: (– 4 – 1 0 – М – М 0 | 0)

+ МR₁-строка: (ЗМ М 0 М 0 0 | 3М)

+ МR₂-строка: (4М 3М – М 0 М 0 | 6М)

= Новая 2-строка: (– 4 + 7М – 1 + 4М – М 0 0 0 | 9М)

Измененная симплекс-таблица примет следующий вид.

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
W() = z	– 4 + 7M	– 1 + 4M	– M	0	0	0	9 M
R1	3	1	0	1	0	0	3
R2	4	3	– 1	0	1	0	6
 4	1	2	0	0	0	1	4

Отметим, что теперь z = 9М, что соответствует базисному решению R₁ =3, R₂ = 6 и = 4.

Последняя таблица готова к применению симплекс-метода с использованием ус­ловий оптимальности и допустимости. Поскольку мы минимизируем целевую функ­цию, находим наибольший положительный коэффициент в z-строке. Наибольший коэффициент – 4 + 7М соответствует переменной , которая и будет вводимой. Ус­ловие допустимости указывает на переменнуюR₁ в качестве исключаемой.

Поскольку вводимая и исключаемая переменные определены, новую симплекс-таблицу можно вычислить с помощью метода Гаусса - Жордана. Заметим, что вы­числения в z-строке, где присутствует М, следует проводить алгебраически. Так, для получения новой z-строки надо новую ведущую строку умножить на – (– 4 + 7М) и сложить с текущей z-строкой. В результате получим следующую таблицу.

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
W()= z	0	(1 + 5M)/3	– M	(4 – 7M)/3	0	0	4 + 2M
 1	1	1/3	0	1/3	0	0	1
R2	0	5/3	– 1	– 4/3	1	0	2
 4	0	5/3	0	– 1/3	0	1	3

Отметим, что уже первая итерация исключила из базисного решения искусст­венную переменную R₁, что является результатом включения штрафа в целевую функцию.

Последняя таблица показывает, что следующими, вводимой и исключаемой, переменными будут  ₂ и R₂ соответственно. Ведущий элемент равен 5/3. Вычислим новую симплекс-таблицу с помощью метода Гаусса - Жордана.

Новая ведущая строка = Текущая ведущая строка / Ведущий элемент.

Новая строка = Текущая строка – Ее коэффициент в ведущем столбце  Но­вая ведущая строка.

Так, для получения новой z-строки надо новую ведущую строку умножить на – (1 + 5М)/3 и сложить с текущей z-строкой.

Для получения новой  ₁-строки надо новую ведущую строку умножить на –1/3 и сложить с текущей  ₁-строкой.

Для получения новой  ₄-строки надо новую ведущую строку умножить на –5/3 и сложить с текущей  ₄-строкой.

В результате получим следующую таблицу.

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
W()= z	0	0	1/5	8/5 – M	– 1/5 – M	0	18/5
 1	1	0	1/5	3/5	– 1/5	0	3/5
 2	0	1	– 3/5	– 4/5	3/5	0	6/5
 4	0	0	1	1	– 1	1	1

Поскольку в z-строке еще имеется положительный коэффициент при единственной переменной  ₃, то в соответствии с условием оптимальности эта переменная должна стать вводимой в базис. Исключаемой из базиса в соответствии с условием допустимости станет переменная  ₄, т. к. отношение значе­ния правой части ограничения к положительному коэффициенту ведущего столбца ми­нимально именно для этой переменной, а не для переменной  ₁. Так как < .

Таким образом, вводимой и исключаемой, переменными будут  ₄ и  ₃ соответственно. Ведущий элемент равен 1. Вычислим новую симплекс-таблицу с помощью метода Гаусса - Жордана.

Новая ведущая строка = Текущая ведущая строка / Ведущий элемент.

Новая строка = Текущая строка – Ее коэффициент в ведущем столбце  Но­вая ведущая строка.

Так, для получения новой z-строки надо новую ведущую строку умножить на –1/5 и сложить с текущей z-строкой.

Для получения новой  ₁-строки надо новую ведущую строку умножить на –1/5 и сложить с текущей  ₁-строкой.

Для получения новой  ₂-строки надо новую ведущую строку умножить на 3/5 и сложить с текущей  ₂-строкой.

В результате получим следующую таблицу.

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
W()= z	0	0	0	7/5 – M	– M	– 1/5	17/5
 1	1	0	0	2/5	0	– 1/5	2/5
 2	0	1	0	– 1/5	0	3/5	9/5
 3	0	0	1	1	– 1	1	1

В данной задаче оптималь­ным решением будет  ₁ = 2/5,  ₂ = 9/5,  ₃ = 1 и W() = z = 17/5.

Конечно, для получения оптимального решения иногда может потребоваться гораздо больше двух итераций.

При использовании М-метода следует обратить внимание на следующие два обстоятельства.

1. Использование штрафа М может и не привести к исключению искусственной пе­ременной в конечной симплекс - итерации. Если исходная задача линейного про­граммирования не имеет допустимого решения (например, система ограничений несовместна), тогда в конечной симплекс - итерации, по крайней мере, одна искус­ственная переменная будет иметь положительное значение. Это "индикатор" того, что задача не имеет допустимого решения.

2. Теоретически применение М-метода требует, чтобы М. Однако с точки зре­ния компьютерных вычислений величина М должна быть конечной и, вместе с тем, достаточно большой. Как понимать термин "достаточно большая величина" – это от­крытый вопрос. Величина М должна быть настолько большой, чтобы исполнять роль "штрафа", но не слишком большой, чтобы не уменьшить точность вычисле­ний. На практике вы должны помнить о возможных ошибках машинного округле­ния при выполнении вычислений, в которых совместно участвуют как большие, так и малые числа. Эту проблему иллюстрирует следующий пример.

Пример 3.

Рассмотрим следующую задачу.

Максимизировать при выполнении условий

Проведем два эксперимента для демонстрации влияния величины М на резуль­тат вычислений симплекс-метода.

Эксперимент 1

С помощью программы ТОRА найдите решение симплекс-методом поставлен­ной задачи при М=10 и повторите вычисления при М= 999999. При первом зна­чении величины М получим правильное решение:  ₁= 1 и  ₂= 1,5. Тогда как во втором случае получим явно неверное решение:  ₁= 4,  ₂ = 0.

Эксперимент 2

Умножив целевую функцию на 1000, получим новую целевую функцию W()=200₁ + 500₂. Решим эту задачу при М=10 и М= 999999. Теперь именно вто­рое значение М обеспечивает нахождение правильного решения.

Из этих экспериментов можно сделать вывод, что правильный выбор значения М зависит от данных исходной задачи. Бездумное следование теоретическому тре­бованию, что значение М должно быть "очень большим", может привести к значи­тельным ошибкам округления. Именно поэтому М-метод никогда не применяется в коммерческих программах, реализующих симплекс-метод. Вместо него исполь­зуется двухэтапный метод, который будет описан далее.

Двухэтапный метод построения начального допустимого базисного решения задачи ЛП с использованием искусственных переменных

Пример 3 демонстрирует проблемы, которые могут возникнуть при М-методе вслед­ствие ошибок округления. Двухэтапный метод полностью лишен тех недостатков, которые присущи М-методу. Как следует из названия этого метода, процесс решения задачи ЛП разби­вается на два этапа. На первом этапе ведется поиск начального допустимого базисного реше­ния. Если такое решение найдено, то на втором этапе решается исходная задача.

Этап 1. Задача ЛП записывается в стандартной форме, а в ограничения добав­ляются необходимые искусственные переменные (как и в М-методе) для получения начального базисного решения. Решается задача ЛП миними­зации суммы искусственных переменных с исходными ограничениями. Если минимальное значение этой новой целевой функции больше нуля, значит, исходная задача не имеет допустимого решения, и процесс вы­числений заканчивается. (Напомним, что положительные значения ис­кусственных переменных указывают на то, что исходная система огра­ничений несовместна.) Если новая целевая функция равна нулю, пере­ходим ко второму этапу.

Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, использу­ется как начальное допустимое базисное решение исходной задачи.

Пример 4. К задаче из примера 2 применим двухэтапный метод.

Этап 1. Минимизировать r = R₁ + R₂ с ограничениями

3 ₁+ ₂+ R₁=3,

4 ₁+3 ₂– ₃ + R₂=6,

 ₁ + 2 ₂ +  ₄ = 4,

 ₁,  ₂,  ₃,  ₄, R₁, R₂  0.

Соответствующая таблица имеет следующий вид.

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
r	0	0	0	– 1	– 1	0	0
R 1	3	1	0	1	0	0	3
R 2	4	3	– 1	0	1	0	6
 4	1	2	0	0	0	1	4

Как и в М-методе, сначала вычисляется новая r-строка.

Старая r-строка: (0 0 0 –1 –1 0 | 0)

+ 1  R ₁-строка: (3 1 0 1 0 0 | 3)

+ 1  R ₂-строка: (4 3 –1 0 1 0 | 6)

= Новая r-строка: (7 4 –1 0 0 0 | 9)

Новая r-строка r + 7 ₁ + 4 ₂ – 0 ₃ + 0R₁ + 0R₂ = 9 используется для решения задачи первого этапа, что приведет к следующему оптимальному решению (проверьте самостоятельно).

Базис	 1	 2	 3	R1	R2	 4	Решение
r	0	0	0	– 1	– 1	0	0
 1	1	0	1/5	3/5	– 1/5	0	3/5
 2	0	1	– 3/5	– 4/5	3/5	0	6/5
 4	0	0	1	1	– 1	1	1

Поскольку минимум функции r = 0 достигнут, значит, на первом этапе получено допус­тимое базисное решение  ₁= 3/5,  ₂=6/5 и  ₃=1. Искусственные переменные полностью выполнили свою "миссию", поэтому из последней таблицы можно удалить их столбцы. Переходим ко второму этапу.

Этап 2. После удаления искусственных переменных исходная задача будет записана следующим образом:

Минимизировать при выполнении условий

Обратите внимание, что после первого этапа исходная задача претерпела неко­торые изменения, которые учитывают полученное базисное решение. Этой транс­формированной задаче соответствует следующая таблица.

Базис	 1	 2	 3	 4	Решение
W() = z	–4	–1	0	0	0
 1	1	0	1/5	0	3/5
 2	0	1	– 3/5	0	6/5
 4	0	0	1	1	1

Поскольку базисные переменные  ₁ и  ₂ имеют ненулевые коэффициенты в z-строке, эту строку следует преобразовать.

Старая z-строка: (–4 –1 0 0 | 0)

+4 ₁-строка: (4 0 4/5 0 | 12/5)

+1 ₂-строка: (0 1 –3/5 0 | 6/5)

= Новая z-строка: (0 0 1/5 0 | 18/5)

Начальная таблица второго этапа примет следующий вид:

Базис	 1	 2	 3	 4	Решение
W() = z	0	0	1/5	0	18/5
 1	1	0	1/5	0	3/5
 2	0	1	– 3/5	0	6/5
 4	0	0	1	1	1

Так как решается задача минимизации, следует ввести переменную  ₃ в базис. Применение алгоритма симплекс-метода уже на следующей итерации приведет к оптимальному решению (проверьте!).

Удаление искусственных переменных в конце первого этапа имеет смысл только то­гда, когда все они являются небазисными (как в примере 3). Однако возможна ситуа­ция, когда в конце первого этапа искусственные переменные останутся в базисе, но бу­дут иметь нулевые значения. В этом случае такие переменные при необходимости будут формировать часть начального базисного решения для второго этапа. При этом необхо­димо так изменить вычисления, выполняемые на втором этапе, чтобы искусственные пе­ременные никогда не смогли принять положительные значения ни в каких итерациях симплекс-метода.

Существует простое правило, которое гарантирует, что нулевая базисная искусственная переменная на втором этапе никогда не станет положительной.

• Если в ведущем столбце ко­эффициент, соответствующий нулевой базисной искусственной переменной, положителен, тогда ведущий элемент определяется автоматически (поскольку ему соответствует мини­мальное отношение, равное нулю) и искусственная переменная на следующей итерации становится небазисной.

• Если ведущий элемент равен нулю, следующая итерация оставляет искусственную переменную нулевой.

• И, наконец, рассмотрим отрицательный ведущий эле­мент. В этом случае минимальное отношение не ассоциируется с базисной (нулевой) ис­кусственной переменной. Если минимальное отношение будет положительным, то на сле­дующей итерации искусственная переменная примет положительное значение (обоснуйте это утверждение). Чтобы исключить эту возможность, мы принуждаем искусственную пе­ременную всегда оставаться в базисном решении. Поскольку искусственная переменная равна нулю, ее удаление из базисного решения не влияет на то, будет ли допустимым ре­шение из оставшихся в базисе переменных. (Было бы полезно для читателя рассмотреть все описанные случаи с помощью симплекс-таблиц.)

Итак, правило для второго этапа заключается в том, чтобы искусственные перемен­ные оставлять в базисе всегда, когда коэффициент в ведущем столбце положительный или отрицательный. Фактически это правило применяется в конце первого этапа, когда удаляем нулевые искусственные переменные из базисного решения, перед тем как при­ступить ко второму этапу.

Пример 5. Максимизировать

при ограничениях

Начальное базисное решение найти двухэтапным методом.

Приведем задачу к стандартной форме, введя одну остаточную  ₆, одну избыточную  ₅ и две искусственных переменных R₁ и R₂. Найдем искусственное начальное решение двухэтапным методом. Для этого нужно минимизировать r = R₁ + R₂ при ограничениях

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	R1	R2	Решение
r	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0
R1	1	1	0	0	0	0	1	0	20
R2	0	1	0	2	-1	0	0	1	5
 6	-1	-1	1	0	0	1	0	0	8

Сначала вычислим новую r-строку:

Старая r-строка: (0 0 0 0 0 0 -1 -1 | 0)

+1 R₁-строка: (1 1 0 0 0 0 1 0 | 20)

+1 R₂-строка: (0 1 0 2 -1 0 0 1 | 5)

= Новая r-строка: (1 2 0 2 -1 0 0 0 | 25)

Новая r-строка r =  ₁ + 2 ₂ + 2 ₄ –  ₅ + 0R₁ + 0R₂ = 25.

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	R1	R2	Решение
r	1	2	0	2	-1	0	0	0	25
R1	1	1	0	0	0	0	1	0	20
R2	0	1	0	2	-1	0	0	1	5
 6	-1	-1	1	0	0	1	0	0	8

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	R1	R2	Решение
r	1	1	0	0	0	0	0	-1	20
R1	1	1	0	0	0	0	1	0	20
 4	0	1/2	0	1	-1/2	0	0	1/2	5/2
 6	-1	-1	1	0	0	1	0	0	8

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	R1	R2	Решение
r	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0
 1	1	1	0	0	0	0	1	0	20
 4	0	1/2	0	1	-1/2	0	0	1/2	5/2
 6	0	0	1	0	0	1	0	0	28

После удаления искусственных переменных исходная задача будет записана:

Максимизировать

при ограничениях

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	Решение
W()	-2	0	0	1	0	0	0
 1	1	1	0	0	0	0	20
 4	0	1/2	0	1	-1/2	0	5/2
 6	0	0	1	0	0	1	28

Заметим, что после первого этапа базисные переменные  ₁ и  ₄ имеют не нулевые коэффициенты в W()-строке.

Эту строку следует преобразовать.

Старая W()-строка: (-2 0 0 1 0 0 | 0)

+2  ₁-строка: (2 2 0 0 0 0 | 40)

–1  ₄-строка: (0 -1/2 0 -1 1/2 0 | -5/2)

= Новая r-строка: (0 3/2 0 0 1/2 0 | 37,5)

Базис	 1	 2	 3	 4	 5	 6	Решение
W()	0	3/2	0	0	1/2	0	37,5
 1	1	1	0	0	0	0	20
 4	0	1/2	0	1	-1/2	0	5/2
 6	0	0	1	0	0	1	28

Поскольку в W()-строка все элементы не отрицательны, то максимум целевой функции найден (сразу же после получения искусственного начального решения без применения итераций метода симплекс – таблиц)

Ответ: максимум W()=37,5 при  ₁=20,  ₄ = 5/2,  ₆ = 28,  ₂ = ₃ = ₅ =0.

Обобщенный алгоритм определения начального допустимого базисного решения задачи ЛП без использования искусственных переменных

1. В качестве базисной переменной следует выбирать переменную, которая хотя бы в одном уравнении имеет такой же знак, что и правая часть уравнения. Если правая часть равна 0, то знак переменной должен быть плюс.

2. Выразить каждую из базисных переменных через небазисные путем решения системы линейных уравнений. Вывести свободные члены в правую часть, а остальные в левую. Свободные члены должны быть не отрицательными.

3. Подставить в целевую функцию значения базисных переменных, выраженные через небазисные переменные. Приравнять целевую функцию 0.

Алгоритм определения начального допустимого базисного решения задачи ЛП без использования искусственных переменных (предложенный Е.С. Вентцель) [1]. Применим, когда ограничения заданы неравенствами вида .

1. Записать уравнения в виде стандартной таблицы. Если в столбце свободные члены не имеется отрицательных элементов, значит допустимое базисное решение задачи ЛП уже найдено (т. е. знак и перед базисной переменной, и перед свободным членом в ее уравнении должен быть «+»).

   Базисные переменные	 m+1	…	 j	…	 n	Свободные члены
    1	a1 m+1	…	a1 j	…	a1n	b1
   …	…	…	…	…	…	…
    i	ai m+1	…	aij	…	ain	bi
   …	…	…	…	…	…	…
    m	am m+1	…	amj	…	amn	bm

2. Выбрать в качестве ведущей строки одну из строк с отрицательным свободным членом при условии, что в ней имеется хотя бы еще один отрицательный элемент в другом столбце. Если в строке с отрицательным свободным членом все элементы не отрицательны, то это означает, что задача ЛП не имеет допустимых решений.

3. Выбрать в качестве ведущего элемента любой отрицательный элемент этой строки (кроме элемента в столбце «свободные члены»).

4. В столбце с ведущим элементом выбрать новый ведущий элемент, имеющий знак, одинаковый со знаком свободного члена в одной строке с ним. Если таких элементов несколько, то следует выбрать элемент, отношение соответствующего свободного члена к которому минимально. Сам старый ведущий элемент также может быть выбран в качестве нового ведущего элемента, если отношение соответствующего свободного члена к нему минимально.

5. Поменять местами новую ведущую строку, содержащую новый ведущий элемент с новым ведущим столбцом, содержащим новый ведущий элемент по следующему правилу:

• разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент, а все элементы ведущего столбца на минус ведущий элемент. Результаты записать в правом нижнем углу ячейки. В правом нижнем углу ячейки с ведущим элементом записать единицу, деленную на ведущий элемент;

• выделить верхние числа в ведущей строке и нижние числа в ведущем столбце. В ячейке с ведущим элементом не выделять ничего;

• для остальных ячеек, не вошедших ни в ведущую строку, ни в ведущий столбец, в правом нижнем углу записать произведение выделенных чисел, находящихся в одной строке и водном столбце с данной ячейкой;

• переписать симплекс – таблицу поменяв местами названия новой ведущей строки и нового ведущего столбца; заменив элементы новой ведущей строки и нового ведущего столбца числами, стоящими в правом нижнем углу ячейки; заменив каждый из остальных элементов суммой чисел, стоящих в верхней и нижней части той же ячейки.

6. Проверить: являются ли все свободные члены не отрицательными. Если да, то допустимое базисное решение задачи ЛП найдено.

Если нет, то проверить: имеется ли в строке с отрицательным свободным членом хотя бы еще один отрицательный элемент. Если да, то перейти к пункту 3. Если в строке с отрицательным свободным членом все элементы не отрицательны, то это означает, задача ЛП не имеет допустимых решений.

Решим задачу из примера 3, пользуясь алгоритмом Е.С. Вентцель.

Максимизировать ,

Минимизировать ,

при выполнении условий 

1. Запишем уравнения, полученные из неравенств путем добавлений остаточной и избыточной переменной, в виде стандартной таблицы.

Базисные переменные	 1	 2	Свободные члены
S1	-3	-2	-6
s2	1	2	4

Выполним пункты 25 алгоритма. В качестве ведущего элемента выбран элемент «– 3», т. к. отношение свободного члена именно к нему минимально (– 6/– 3=2, а 4/1=4. 2<4).

Базисные переменные	 1	 2	Свободные члены
S1	-3 -1/3	-2 2/3	-6 2
s2	1 1/3	2 -2/3	4 -2

2. Преобразуем симплекс – таблицу в соответствии с пунктом 5 алгоритма.

   Базисные переменные	S1	 2	Свободные члены
    1	-1/3	2/3	2
   s2	1/3	4/3	2

3. Поскольку все свободные члены не отрицательны, то допустимое базисное решение задачи ЛП найдено. В стандартной форме оно будет записано:

Решим эту задачу методом симплекс – таблиц (по Е.С. Вентцель)

Базисные переменные	S1	 2	Свободные члены
Симплекс-разность	1/15 -11/120	11/30 -11/40	-0,4 -11/20
 1	-1/3 -1/6	2/3 -1/2	2 -1
s2	1/3 1/4	4/3 3/4	2 3/2

Базисные переменные	S1	s2	Свободные члены
Симплекс-разность	-3/120	-11/40	-19/20
 1	-1/2	-1/2	1
 2	1/4	3/4	3/2

Таким образом, максимум целевой функции =19/20=0,95 достигается при значениях ₁=1,  ₂= 1,5, удовлетворяющих ограничениям

Особые случаи применения симплекс-метода

В этом вопросе рассмотрим четыре особых случая, встречающихся при использова­нии симплекс-метода [19].

1. Вырожденность.

2. Альтернативные оптимальные решения.

3. Неограниченные решения.

4. Отсутствие допустимых решений.

При изучении этих случаев основное внимание мы уделим (1) теоретическому обос­нованию причин, приводящих к таким ситуациям, и (2) их практическим интерпретаци­ям применительно к реальным задачам.