Решение:

1). Целевая функция является вогнутой, а область допустимых решений выпуклой. Следовательно, необходимые условия существования безусловного максимума Куна – Таккера являются также и достаточными. Отсюда следует, что если значения ₁ и ₂, приводящие к глобальному безусловному максимуму W(Ф), попадают в область допустимых значений ₁ и ₂, то этот максимум будет найден путем решения задачи нелинейного программирования без ограничений с последующей проверкой выполнения ограничений. Если же координаты точки глобального безусловного максимума не попадают в область допустимых значений, то методом множителей Лагранжа можно найти точку локального условного максимума, которая будет находиться на границе области допустимых значений ₁ и ₂.

Возьмем первые частные производные W(Ф) по ₁ и ₂, приравняем их нулю и получим и решим систему уравнений:

Однако точка (2,5; 0,5) не удовлетворяет неравенству ₁ + 2₂  2. Поэтому необходимо последовательно активизировать ограничения (преобразовывать неравенства к равенствам). Для опреде­ления условного глобального экстремума в данной задаче необходимо решить семь задач, каждая из которых позволяет найти условный максимум:

• в первой задаче только ₁ + 2₂=0, а остальные ограничения остаются неравенствами;

• во второй ₁=0,

• в третьей ₂=0,

• в четвертой ₁ + 2₂=0 и ₁=0,

• в пятой ₁ + 2₂=0 и ₂=0,

• в шестой ₁=0 и ₂=0,

• в седьмой ₁ + 2₂=0, ₁=0 и ₂=0.

Используя откорректированный обобщенный метод множителей Ла­гранжа, необходимо провести сравнение семи условных локальных экстремумов, полученных с учетом всех возможных наборов активных ограничений. Наилучший экс­тремум из всех допустимых локальных экс­тремумов является глобальным.

2). Покажем процедуру определения условного локального экстремума при одновременной активизации первого и третьего ограничений ₁ + 2₂  2 и ₂  0, т. е. преобразовании их в ₁ + 2₂ + S₁² – 2=0 и ₂ – S₂² = 0:

L(Ф, )= –(2₁ –5)²–(2₂ –1)²–₁(₁ + 2₂ – 2+S₁²) – ₂(₁ –S₂²)–₃(₂ –S₃²);

;

;

;

;

или ;

или ;

или ;

Заметим, что последние три уравнения выполняются только в каждой из 8 возможных комбинаций равенства нулю трех из шести переменных S₁, S₂, S₃, ₁, ₂, ₃:

№ п/п	Ситуация	1	2	1	2	3	S12	S22	S32	W(Ф)	1 и 2 удовлетворяют ограничениям?
1	S1=0 S2=0 S3=0	1= S22=0 1=2–22=2 2= S32=0		1 + 2 = 4 21 + 3 =4 1 + 2 = 20			0	0	0	нет 1=0 и 1=2	Если все неравенства станут равенствами, то целевая функция не имеет значений, т. к. не  точки, общей для всех трех плоскостей ограничений
2	1=0 S2=0 S3=0	1= S22=0 2= S32=0		0	20	4	2	0	0	– 26	да
3	S1=0 2=0 S3=0	1=2–22=2 2= S32 =0		4	0	–4	0	2	0	– 2	да
4	S1=0 S2=0 3=0	1= S22=0 2=1–1/21=1		–2	22	0	0	0	1	– 26	да
5	1=0 2=0 S3=0	1=5/2 2= S32 =0		0	0	4	–1/2 не допустимо	5/2	0	– 1	нет
6	1=0 S2=0 3=0	1= S22=0 2=1/2		0	20	0	1	0	1/2	– 25	да
7	S1=0 2=0 3=0	1= 2,2 2= – 0,1		2,4	0	0	0	2,2	–0,1	– 1,8	нет
8	1=0 2=0 3=0	1= 5/2 2=1/2		0	0	0		5/2	1/2	0	нет (все неравенства остались неравенствами)

В приведенной выше таблице приведены результаты вычислений всех неизвестных в каждой из восьми возможных ситуаций. Восьмая ситуация соответствует решению задачи без ограничений. W(5/2, 1/2)=0 – безусловный глобальный максимум, но точка (5/2, 1/2) не удовлетворяет ограничению: ₁ + 2₂  2. Из всех условных максимумов, находящихся на границе области допустимых значений целевой функции, W(0, 0)= – 26, W(2, 0) = – 2, W(0, 1) = – 26, W(0, 1/2) = – 25 выберем наибольший:

W(2, 0) = – 2 – это глобальный условный максимум – решение данной задачи.

Графическое представление данной задачи приведено на рисунке 3.2.4.

Рис. 3.2.4. Графическое представление задачи примера 6.

Упражнения:

1. Решить методом множителей Лагранжа задачу оптимизации процесса отладки созданного программного комплекса, т. е. минимизации целевой функции, имеющей вид:

W(Ф) = B = 150 – 5₁ + 0,2₁² –4₂ + 0,2₂²,

где B – количество ошибок оставшихся после отладки программного комплекса;

₁ – количество системных программистов, осуществляющих комплексирование, отладку и тестирование программных модулей в составе программного комплекса;

₂ – количество прикладных программистов, осуществляющих тестирование и автономную отладку отдельных программных модулей программного комплекса;

при ограничениях, заданных одним балансовым уравнением:

g(Ф) = 4₁ + 2₂ – C,

где C – неизвестная продолжительность процесса отладки программного комплекса в человеко-днях. В этом балансовом уравнении коэффициенты при ₁ и ₂ характеризуют количество дней, выделенных на комплексную и автономную отладку программного комплекса: 4 дня на автономную отладку и 2 дня на комплексную отладку. То есть за шестидневную рабочую неделю комплекс должен быть отлажен при условии, что сначала работают программисты по автономной отладке, а затем – программисты по комплексной отладке. Количество программистов не может быть отрицательным: ₁  0 и ₂  0.

При решении задачи определить:

• оптимальную продолжительность процесса отладки программного комплекса в человеко-днях C_опт, обеспечивающую минимальное количество ошибок B, оставшихся после отладки программного комплекса;

• минимальное количество ошибок B_min, оставшихся после отладки программного комплекса за C_опт человеко-дней;

• количество программистов ₁ и ₂, удовлетворяющих ограничению и обеспечивающих минимальное количество ошибок B_min, оставшихся после отладки программного комплекса;

• функциональную зависимость B от C и построить график этой зависимости;

• минимальную продолжительность процесса отладки программного комплекса в человеко-днях C_min и количество остающихся ошибок в этом случае ,

• функциональную зависимость B от общего количества программистов  = ₁ + ₂, построить график этой зависимости и определить:

• достаточное количество программистов _дост для отладки программного комплекса с оставшимся числом ошибок не превышающим минимальное более чем на 5%;

• минимальное количество программистов _min, необходимое для отладки программного комплекса.

2. Максимизировать W(Ф) = – (₁ –7)² – (3₂ –6)²

при ограничениях: ₁ – ₂  4, ₁  0, ₂  0.

Контрольные вопросы:

1. Дайте формулировку классической задачи нелинейного программирования.

2. Как рекомендуется поступать при приведении любой задачи нелинейного программирования к классической форме?

3. Какой способ положен в основу метода приведенного градиента (метода Якоби), метода исключения, метода множителей Лагранжа для решения задач нелинейного программирования.

4. Какие переменные при решении задач нелинейного программирования называются зависимыми, а какие – независимыми.

5. В чем заключается суть геометрического решения задач нелинейного программирования?

6. В чем заключается суть решения задач нелинейного программирования методом приведенного градиента?

7. Что является элементами матрицы Якоби?

8. Что является элементами матрицы управления?

9. Что является элементами матрицы Гессе?

10. В чем заключается суть решения задач нелинейного программирования методом исключения?

11. Дайте определения коэффициентов чувствительности и множителей Лагранжа.

12. В чем заключается суть решения задач нелинейного программирования с ограничениями в виде равенств методом множителей Лагранжа?

13. Дайте определение элементам окаймленной матрицы Гессе.

14. Каковы должны быть знаки угловых миноров окаймленной матрицы Гессе в стационарной точке для того, чтобы эта точка была максимумом функции Лагранжа?

15. Каковы должны быть знаки угловых миноров окаймленной матрицы Гессе в стационарной точке для того, чтобы эта точка была минимумом функции Лагранжа?

16. В чем заключается суть решения задач нелинейного программирования с ограничениями в виде неравенств обобщенным методом множителей Лагранжа?

17. Когда для решения задач нелинейного программирования с ограничениями в виде неравенств можно использовать откорректированный обобщенный метод множителей Ла­гранжа?

18. Сформулируйте условия Куна – Таккера, не­обходимые для того, чтобы векторы Ф и  определяли стационарную точку для задачи максимизации.

19. Сформулируйте условия Куна – Таккера, не­обходимые для того, чтобы векторы Ф и  определяли стационарную точку для задачи минимизации.

20. Какими свойствами, связанны­ми с выпуклостью и вогнутостью, должны обладать целевая функция и область допусти­мых решений рассматриваемой задачи, чтобы необходимые условия Куна – Таккера являлись так­же и достаточными условиями существования экстремума?

21. Дайте формулировку функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования в общей постановке – с ограничениями и в виде равенств, и в виде неравенств.

22. Каковы должны быть требования к знакам множителей Лагранжа при решении задач максимизации и минимизации, чтобы необходимые условия Куна – Таккера являлись так­же и достаточными условиями существования экстремума?