Пример 3: Рассмотрим пример решения задачи нелинейного программирования методом исключения при постановке задачи примера 1.

Требуется найти минимум целевой функции: W(Ф) = (₁ – 2)² + (₂ – 1)²,

при ограничениях: g(Ф) = ₁² – ₂ + 2 = 0.

Решение:

1. Выразим зависимую переменную ₂ через независимую переменную ₁: ₂ =₁²+2.

2. Подставим значение зависимой переменной ₂, выраженной через независимую переменную ₁ в целевую функцию:

W()=(₁–2)² +(₁²+2–1)² =(₁–2)² +(₁²+1)² =

= ₁² – 4₁+4+₁⁴ +2₁² +4=₁⁴ + 3₁² – 4₁ + 5.

3. Вычислим производную целевой функции по переменной ₁ и приравняем ее к 0:

=4₁³+ 6₁ – 4 =₁³+ 1,5₁ – 1=0.

4. Решим неполное кубическое уравнение с помощью формулы Кардано.

Если неполное кубическое уравнение задано в виде: z³+pz+q=0,

то вещественный корень:

z = , где.

В нашей задаче p = 1,5, а q = – 1.

Тогда  0,6124.

₁⁰==

1,036 + (– 0,482) = 0,554,

тогда ₂⁰ = ₁² + 2 = (0,554)² + 2 = 0,306916 + 2  2,307.

Целевая функция в стационарной точке (₁⁰, ₂⁰) принимает значение:

W(₁⁰,₂⁰)= (₁–2)² +(₂–1)²=(0,554–2)² + (2,307–1)² =

= (–1,446)² + (1,307)²2,09+1,7=3,8.

5. Установим тип полученной стационарной точки (₁⁰, ₂⁰) путем проверки выполнения достаточных условий экстремума. Так как ₁ – единственная независимая переменная, из равенства _сW=0 следует, что единственной строкой (и столбцом) в матрице Гессе Н|_⁰ будет строка  _сW/₁:

= 4 –2 –0 = 4–2= 4–2= 8₁–2.

При значениях ₁ > 0,25 вторая производная целевой функции по независимой переменной ₁ является положительной. А в стационарной точке (₁⁰, ₂⁰) она будет равна:

= 8₁ – 2 = 2,432 > 0.

Следовательно, стационарная точка (₁⁰, ₂⁰) является точкой минимума целевой функции W() = (₁ – 2)² + (₂ – 1)², при ограничениях: g() = ₁² – ₂ + 2 = 0.

Решение задач нелинейного программирования

методом множителей Лагранжа

Метод Якоби можно ис­пользовать для анализа чувствительности оптимального значения целевой функции W к малым изменениям правых частей ограничений оптимизационной задачи. В частности, можно определить, как повлияет на оптимальное значение функции W замена ограничения g_i(Ф)=0 на g_i(Ф)=g_i. Однако следует заметить, что анализ чувствительности в нелинейном программировании приводит к результатам, справедли­вым лишь в малой окрестности экстремальной точки. Знакомство с такими процедурами будет полезно при изучении метода множителей Лагранжа [6].

Ранее было показано, что

W(Y, Z) = _YWY + _ZWZ, g =_YgY + _ZgZ = JY + CZ.

Предположим, что g 0, тогда Y= J^–1g – J^–1CZ.

Подставляя последнее выражение в уравнение для W(Y, Z), получаем

W(Y, Z) = _Y⁰W J^–1g + _СWZ, где _СW=_ZW – _Y⁰WJ^–1C,

как и было определено ранее. Полученное выражение для W(Y, Z) можно использовать при анализе изменений целевой функции W в малой окрестности допустимой точки Ф⁰, обусловленных малыми изменениями g и Z.

В экстремальной (фактически любой стационарной) точке Ф⁰=(Y⁰, Z⁰) приведенный градиент должен быть равен нулю _СW=0. Следовательно, в точке Ф⁰ имеем

W(Y⁰, Z⁰) = _Y⁰W J^–1g(Y⁰, Z⁰)

или

 = _Y⁰W J^–1.

Это значит, что влияние малых изменений g на оптимальное значение функции W можно оценить через скорость изменения функции W по отношению к изменениям ограничений g, используя величины , которые называются коэффициентами чувствительности.

Коэффициент чувствительности, вычисленный в точке Ф⁰ показывает во сколько раз увеличится (уменьшится) приращение целевой функции при увеличении (уменьшении) ограниченного ранее ресурса.

Эти величины , которые называются коэффициентами чувствительности, можно использовать для решения задач нелинейного программирования с ограничениями в виде равенств.

Из определения коэффициента чувствительности  = следует, чтоW – g=0. Это уравнение соответствует условиям стационарности, т. к. формула  = _Y⁰W J^–1 получена с учетом того, что приведенный градиент в стационарной точке должен быть равен нулю _СW=0. Представленное уравнение можно записать в более удобной форме, если перейти к частным производным по всем переменным _i, что приводит к системе уравнений:

, i = 1, 2, …, n.

Полученные уравнения вместе с ограничениями задачи g=0 формируют систему, ко­торая позволяет определить допустимые векторы Ф и , удовлетворяющие необходимым условиям стационарности.