Введение

Моделирование - наиболее мощный универсальный метод исследования и оценки эффективности систем, поведение которых зависит от воздействия случайных факторов. Области применения методов имитации чрезвычайно широки и разнообразны. Однако по опыту работы и материалам диссертационных советов можно сделать вывод о том, что исследователи пока довольно редко используют в качестве инструментальных средств исследования системы моделирования, преимущества которых вполне очевидны. Системы моделирования имеют специализированные средства, реализующие дополнительные возможности по организации модельных экспериментов на компьютере. Они также предоставляют возможность учитывать в моделях фактор времени, то есть строить динамические имитационные модели, что особенно важно для многих систем .

Применение универсальных языков программирования при реализации имитационных моделей позволяет исследователю достигнуть гибкости при разработке, отладке и испытании модели. Однако языки моделирования, ориентированные на определённую предметную область, являются языками более высокого уровня, поэтому дают возможность с меньшими затратами создавать программы моделей для исследования сложных систем.

Специализированные языки моделирования делят на три группы, соответствующие видам имитации: для непрерывных, дискретных и комбинированных процессов. Научно-технический прогресс в наше время невозможен без исследования, построения и использования сложных систем и процессов, разнообразных по своей физической природе, функциональному назначению, путям реализации. Примерами таких систем являются системы обеспечения АЭС и сама АЭС, компьютеризованные информационно-измерительные и информационно-управляющие системы радиационного и экологического контроля, технологические потоки, телекоммуникационные системы и т. д. Исследование поведения таких систем при их эксплуатации путём натурного эксперимента чрезвычайно дорого, сложно, а при проектировании- невозможно. Именно поэтому основным методом исследования сложных систем является метод математического моделирования, то есть метод описания поведения физических систем при помощи математических соотношений или уравнений.

Построение математической модели и экспериментирование на ней доступно каждому, знакомому с принципами и методами современного математического вычислительного эксперимента. С учебной точки зрения, каждый студент, освоивший основные методы математического моделирования, получает в свои руки универсальный инструмент выполнения курсовых, бакалаврских и дипломных работ по своей специальности и тем самым значительно упрощает себе задачу.

1 Теоретические сведения

1. Основные понятия и определения

Моделирование применяется практически во всех сферах человеческой деятельности.

Научно-техническое развитие обычно идёт по пути: наблюдение - теоретические исследования – эксперимент - организация производственных процессов. В научных исследованиях большую роль играют гипотезы - определённые предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Аналогия - суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов. Гипотезы и аналогии, сведённые в удобные для исследования логические схемы, позволяющие проводить эксперименты, называются моделями. Другими словами, модель (лат.modulus-мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. А замещение одного объекта другим в целях получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Моделирование можно рассматривать как один из мощнейших инструментов, используемых при исследовании больших и сложных систем и процессов.

Система – совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных в одно целое, где под целью понимается совокупность результатов, определяемых назначением системы.

Сложная система характеризуется множеством взаимосвязанных и взаимодействующих элементов и подсистем различной физической природы, составляющих нераздельное целое, обеспечивающих выполнение некоторой сложной функции. Разбиение сложных систем на подсистемы называют декомпозицией.

Функция системы - правило получения результатов, предписанных назначением.

Процесс моделирования предполагает наличие объекта исследования, исследователя, имеющего перед собой конкретную задачу, и модели. Если результаты моделирования могут служить для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то модель адекватна объекту.

2. Виды и уровни моделирования

В фундаменте моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие имеет место лишь при замещении одного объекта точно таким же. При реальном моделировании абсолютное подобие не имеет места. Поэтому в качестве первого признака классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты подобия. В основе полного и неполного моделирования лежит соответственно полное и неполное подобие, проявляющееся во времени и пространстве. В основе приближённого моделирования лежит приближённое подобие.

Вторым признаком классификации будем считать характер изучаемых процессов. В соответствии с ним виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть лишённые случайных воздействий. Стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное или аналоговое моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах.

Третий признак классификации-формы представления моделируемого объекта. В соответствии с ним различают абстрактные и реальные модели. При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Разновидностью реального моделирования является так называемое натурное моделирование, при котором осуществляется проведение исследований на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия.

Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явления и обладают физическим подобием, например, модель корабля, самолёта, космического аппарата.

Абстрактная или мысленная модель-это описание объекта исследована на каком-то языке либо текстуально, либо формализовано.

Гносеологические модели направлены на изучение объективных законов природы.

Информационные или кибернетические модели описывают поведение объекта-оригинала, но не копируют его.

Сенсуальные модели-модели чувств, эмоций, либо модели, оказывающие влияние на органы чувств человека.

Концептуальная модель-это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства её элементов и причинно-следственные связи, присущие исследуемому объекту и существенные в рамках данного конкретного исследования.

Математическая модель представляется на языке математических отношений. Она имеет форму функциональных зависимостей между параметрами, учитываемыми соответствующей концептуальной моделью. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта(математической модели) и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование подразделяют на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий .Недостаток: для получения аналитических зависимостей приходится упрощать модель.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Существуют три представления времени:

• Реальное время - это время, в котором происходит функционирование моделируемой системы в реальной жизни.

• Модельное (системное) время - это время, в котором происходит функционирование моделируемой системы при проведении имитационного моделирования на ПК.

• Машинное время - это время, отражающее затраты компьютерного времени на проведение имитационного моделирования.

Основным преимуществом имитационного моделирования перед аналитическим является возможность решение более сложных и универсальных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия. Сегодня имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования сложных систем.

В зависимости от степени детализации описания сложных систем можно выделить три основных уровня моделирования:

• Уровень структурного моделирования с использованием алгоритмических моделей и применением специальных языков моделирования;

• Уровень логического моделирования функциональных схем в виде уравнений булевой алгебры;

• Уровень количественного моделирования или анализа.

3. Основы построения и реализации имитационных моделей

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических испытаний – метод Монте-Карло, который базируется на использовании случайных чисел, то есть возможных значений некоторой случайной величины с заданным законом распределения вероятностей. Сущность метода Монте-Карло – составляется программа для осуществления одного случайного испытания, затем это испытание повторяется N раз, каждый независимо от остальных, и результаты усредняются.

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учётом случайных входных воздействий внешней среды, и реализации возможности появления этого события при осуществлении рассматриваемого процесса. Событие, которое должно обязательно произойти, называют достоверным. Вероятность невозможного события равна нулю. Независимые случайные события – такие, что появление какого-либо одного из них не изменяет степени объективной возможности появления другого. Случайные величины (СВ) – это меры различных характеристик случайного явления и определяющих его факторов. Совокупность возможных значений случайной величины и вероятностей того, что она примет эти значения, образует закон распределения СВ.

Дискретной называют СВ, которая может принимать дискретное множество значений. Непрерывная СВ принимает любое значение из некоторого интервала. Математическое ожидание СВ – это среднее значение величины. Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения СВ от её среднего значения.

3. Алгоритмизация и машинная реализация модели

Для стохастической системы функция состояний процесса z и соотношения модели определяют лишь распределение вероятностей для z_i(t₀+t) в момент времени t+t. В общем случае и начальные условия z⁰ могут быть случайными, задаваемыми соответствующим распределением вероятностей. При этом структура моделирующего алгоритма для стохастических систем дополняется распределением вероятностей для возможных состояний. Пусть счетчик системного времени показывает время t_0. В соответствии с заданным распределением вероятностей выбирается z⁰_i . Далее, исходя из распределения, получается состояние z_i(t₀+t) и так далее, пока не будет построена одна из возможных реализаций случайного многомерного процесса z_i(t) в заданном интервале времени.

Рассмотренный принцип построения моделирующих алгоритмов называется принципом t. Это наиболее универсальный принцип, позволяющий определить последовательные состояния процесса функционирования системы через заданные интервалы времени t. Но с точки зрения затрат машинного времени он иногда оказывается неэкономичным.

При рассмотрении процессов функционирования некоторых систем можно обнаружить, что для них характерны два типа состояния:

• особые, присущие процессу функционирования системы только в некоторые моменты времени (моменты поступления входных или управляющих воздействий, возмущений внешней среды и т.п.);

• неособые, в которых процесс находится все остальное время.

Особые состояния характерны еще и тем обстоятельством, что функции состояний z_i(t) в эти моменты времени изменяются скачком, а между особыми состояниями изменение координат z_i(t) происходит плавно и непрерывно или не происходит вообще. Таким образом, следя при моделировании системы только за ее особыми состояниями в те моменты времени, когда эти состояния имеют место, можно получить информацию, необходимую для построения функций z_i(t). Очевидно, что для описанного типа систем могут быть построены моделирующие алгоритмы по принципу «особых состояний», что и было проделано в ходе выполнения данной работы; разработанный по этому принципу алгоритм приведен в приложении Е.

Принцип особых состояний называется принципом ∆z. Для системы массового обслуживания в качестве особых состояний выбраны состояния в моменты поступления заявок на обслуживание и в моменты окончания обслуживания заявок, когда состояние системы, оцениваемое количеством находящихся в ней заявок, меняется скачком, что и представлено в алгоритме.

Характеристики процесса функционирования таких систем с особыми состояниями оцениваются по информации об особых состояниях, а неособые состояния при моделировании не рассматриваются. «Принцип ∆z» дает возможность для ряда систем существенно уменьшить затраты машинного времени на реализацию моделирующих алгоритмов по сравнению с «принципом t». Логика построения моделирующего алгоритма, реализующего «принцип ∆z», отличается от рассмотренной для «принципа t» только тем, что включает в себя процедуру определения момента времени t_, соответствующего следующему особому состоянию системы.

5. Системы массового обслуживания

Системы массового обслуживания (СМО) – класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

Характерным для работы таких систем является случайное появление заявок на обслуживание и завершение обслуживания случайные моменты времени, то есть стохастический характер их функционирования.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и само обслуживание заявки.

Основными элементами СМО являются входной поток заявок, входной поток обслуживаний, очереди заявок, ожидающих обслуживания, каналы обслуживания и выходной поток обслуженных заявок и заявок, которым по тем или иным причинам в обслуживании отказано.

СМО классифицируют по следующим признакам:

• по количеству каналов обслуживания они делятся на одноканальные и многоканальные СМО;

• по организации ожидания заявки – на системы с отказами и системы с ожиданием или с очередями (накопителями);

• СМО с накопителями, в свою очередь, делятся на системы с приоритетами и без приоритетов;

• по количеству фаз обслуживания – на однофазные и многофазные;

• по взаимосвязи с потоками заявок – на разомкнутые и замкнутые.

Эффективность работы СМО характеризуется следующими основными показателями:

• абсолютная пропускная способность – среднее количество заявок, которое может обслужить система в единицу времени;

• относительная пропускная способность – отношение среднего числа заявок, обслуженных СМО в единицу времени, к среднему числу всех заявок, поступивших в СМО за это же время;

• коэффициент занятости – отношение среднего числа занятых каналов к общему числу каналов;

• коэффициент простоя – отношение среднего числа свободных каналов к общему числу каналов.

Задача моделирования СМО ставится следующим образом: пусть имеется СМО, на вход которой поступает поток заявок; необходимо осуществить: моделирование входного потока заявок; моделирование алгоритма функционирования СМО; ввод некоторых операторов по организации очереди.

Математические модели входных потоков заявок на обслуживание представляют собой потоки событий, которыми называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {t_n}={0t₁t₂…t_n…}, где t_n – момент наступления (поступления) n-го события – неотрицательное вещественное число. Потоком неоднородных событий называется последовательность {t_n, f_n}, где f_n – набор признаков события (например, наличие приоритета, принадлежность заявки к тому или иному источнику заявок).

Поток называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени t, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени t попадает ровно одно событие, то есть P₁(t, t)>>P_>1(t, t). Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени  зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0...t взят этот участок.

При моделировании систем применительно к элементарному каналу обслуживания К_i можно считать, что поток заявок w_i, то есть интервалы времени между моментами появления заявок на входе К_i , образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u_i, то есть интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образуют под множество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом К_i , и заявки, покинувшие прибор обслуживания заявок по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя), образуют выходной поток y_i , то есть интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных. Процесс функционирования прибора обслуживания заявок можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени z_i(t). Переход в новое состояние для прибора означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале К_i и в накопителе Н_i ).

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания. Если каналы К_i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема). Если приборы П_i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают накопители и каналы: для накопителей – либо правила переполнения, по которым заявки в зависимости от наполнения накопителя покидают систему, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в накопителе; для каналов – правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале или не допускаются до обслуживания каналом, то есть правила блокировок канала.

Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в системе представляется в виде оператора А.

Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности, однозначно задается в виде: Q=(W,U,Z,R,H,A), где W – подмножество заявок; U – подмножество обслуживаний; Z – подмножество состояний элементов Q-схемы; R – подмножество взаимосвязей элементов структуры СМО; H – совокупность собственных (внутренних) параметров Q-схемы; A – совокупность алгоритмов функционирования.

Без ограничений позволяют исследовать Q-схему только имитационные модели.

5. Проведение экспериментов с математическими моделями

Эффективность использования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента. Причины этого две:

• План эксперимента в значительной степени определяет порядок статистического анализа его результатов;

• Успешность разрешения с помощью эксперимента поставленных экспериментатором задач существенно зависит от его плана.

Итак, основная задача планирования машинных экспериментов – получение необходимой информации об исследуемой системе при ограничении на ресурсы. Наиболее распространенные задачи планирования: уменьшение затрат машинного времени на моделирование, увеличение точности и достоверности результатов моделирования, проверка адекватности модели и т. д.

Важное значение при планировании эксперимента имеют следующие обстоятельства:

• простота повторения условий эксперимента с моделью на ПК;

• возможность управления экспериментом, включая его прерывание и возобновление;

• лёгкость варьирования условий;

• наличие корреляции между последовательностью точек в моделировании.

1. Основные понятия в теории планирования

Различают входные и выходные переменные. Переменная может быть фактором или реакцией в зависимости от её роли в эксперименте. Фактор является эндогенной (управляемой, входной) переменной, а реакция – эндогенной (выходной). Эксперимент – некоторая процедура организации и наблюдения каких-то явлений, которые осуществляются в условиях, близких к естественным, либо имитируют их. Различают пассивный эксперимент, когда исследователь наблюдает протекающий процесс, и активный, когда наблюдатель вмешивается и организует протекание.

Каждый фактор в эксперименте может принимать одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Этот набор представляет собой условие проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством.

Эксперимент необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов, варьируя значения факторов, можно было построить адекватную математическую модель системы и оценить её характеристики. При планировании нужно определить основные свойства факторов, которые при проведении эксперимента могут быть управляемыми или неуправляемыми, наблюдаемыми или ненаблюдаемыми, изучаемыми или неизучаемыми.

Управляемый фактор – его уровни направленно выбираются в процессе эксперимента. Наблюдаемый фактор – если его значения наблюдаются и регистрируются, а экспериментатор заинтересован в исследовании влияния этого фактора. Наблюдаемые факторы должны совпадать с управляемыми. Наблюдаемые неуправляемые факторы – сопутствующие или вторичные.

Основные требования, предъявляемые к факторам: управляемость и требование непосредственного воздействия на модель. Если при моделировании изменяется несколько факторов, то появляются дополнительные требования совместимости и независимости. Совместимость – все возможные комбинации факторов осуществимы, независимость соответствует возможности установления фактора на уровень, независимо от уровней других факторов.

2. Виды планов модельного эксперимента

При проведении эксперимента для оценки характеристик экспериментатор старается создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной зависимости с искомой характеристикой. Для этого необходимо:

• Отобрать факторы, влияющие на характеристику и описать функциональную зависимость;

• Установить диапазон изменения каждого фактора;

• Определить координаты точек факторного пространства, в которых следует проводить эксперимент;

• Оценить необходимое число реализаций и их порядок.

Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Для уменьшения числа комбинаций используется дробный факторный эксперимент, позволяющий вдвое сократить количество экспериментов. Если при эксперименте не исследуется взаимное влияние всех факторов, то проводят частичный факторный эксперимент. К частичным относятся планы «латинский квадрат», рандомизированный план и другие.

3. Тактическое и стратегическое планирование

При стратегическом планировании эксперимента ставится задача построения оптимального плана эксперимента для достижения цели моделирования. Тактическое планирование преследует частные цели оптимальной реализации каждого конкретного эксперимента из множества необходимых, заданных при стратегическом планировании.

Проблемы стратегического планирования:

• Построение плана машинного эксперимента;

• Наличие большого количества факторов;

• Многокомпонентная функция реакции;

• Стохастическая сходимость результатов машинного эксперимента;

• Ограниченность машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Проблемы тактического планирования:

• Определение начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании;

• Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования;

• Уменьшение дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем;

• Выбор правил автоматической остановки имитационного эксперимента.

5. Анализ результатов моделирования

Различают корреляционный и дисперсионный анализ. Основной задачей корреляционного анализа является оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе связи. Не все факторы, влияющие на процессы, являются случайными, поэтому при анализе обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод статистики, изучающий их – регрессионный анализ. Корреляционный анализ – оценка уравнения регрессии. Корреляция – статистическая зависимость между СВ, не имеющими строгого функционального характера, при которой изменение одной СВ приводит к изменению математического ожидания другой. Различают парную, частную и множественную корреляцию. Парная регрессия: связь между двумя признаками. Частная регрессия: зависимость между результатом и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков. Множественная регрессия: зависимость результатов от двух и более факторных признаков.

Регрессия исследует форму зависимости. Преимущество регрессионного анализа: возможность построения модели, в которой зависимость отклика аналитически определяется как функция от нескольких независимых переменных.