Шпоры / Основные шпоры

10)Постулаты Бора. Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Эта попытка оказалась несостоятельной. Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн

Следующий шаг в развитии представлений об устройстве атома сделал в 1913 году выдающийся датский физик Н. Бор. Бор сформулировал постулаты, которым должна удовлетворять новая теория о строении атомов.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает. Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения электромагнитных волн. Согласно первому постулату Бора, атом характеризуется системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию. Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям соответствуют значения энергии En < 0. При En ≥ 0 электрон удаляется от ядра (ионизация). Величина |E1| называется энергией ионизации. Состояние с энергией E1 называется основным состоянием атома.

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией En в другое стационарное состояние с энергией Em излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний: hν_nm = E_n – E_m, где h – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:

Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона. Теория Бора не отвергла полностью законы классической физики при описании поведения атомных систем. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда была дополнена в теории Бора идеей о квантовании электронных орбит. Поэтому теорию Бора иногда называют полуклассической.

11)Опыт Штерна-Герлаха. Опыт Штерна — Герлаха — опыт немецких физиков Отто Штерна и Вальтера Герлаха, осуществлённый в 1921 году. Опыт подтвердил наличие у атомов спина (изначально в эксперименте участвовали атомы серебра, а потом и других металлов) и факт пространственного квантования направления их магнитных моментов. Опыт состоял в следующем: пучок атомов серебра пропускали через сильно неоднородное магнитное поле, создаваемое мощным постоянным магнитом. При прохождении атомов через это поле, в силу обладания ими магнитных моментов, на них действовала зависящая от проекции спина на направление магнитного поля сила, отклонявшая летящие между магнитами атомы от их первоначального направления движения. Причём, если предположить, что магнитные моменты атомов ориентированы хаотично (непрерывно), то тогда на расположенной далее по направлению движения атомов пластинке должна была проявиться размытая полоса. Однако вместо этого на пластинке образовались две достаточно чёткие узкие полосы, что свидетельствовало в пользу того, что магнитные моменты атомов пучка принимали лишь два определённых значения, что подтверждало предположение квантово-механической теории о квантовании магнитного момента атомов. Позднее с аналогичными результатами были проделаны опыты для пучков атомов других металлов, а также пучков протонов и электронов. Эти опыты доказали существование магнитного момента у рассмотренных частиц и показали их квантовую природу, явив собой доказательство постулатов квантовой теории.

Тепловое излучение. Поглощательная и отражательная способности тела. Абсолютно черное, белое и серое тела. Тепловое излучение (ТИ) — это испускание ЭМ-волн нагретым телом за счет его внутренней энергии. Все остальные виды свечения тел, возбуждаемые за счет видов энергии, отличие от тепловой, называют люминесценцией.

Поглощательная и излучательная способности тела. Абсолютно черное, белое и серое тела

В общем случае любое тело отражает, поглощает и пропускает падающее на него излучение. Поэтому для падающего на тело потока излучения можно написать:

, (1) Откуда ,(2)

где ρ, а, t — коэффициенты отражения, поглощения и пропускания для тела, называемые также его отражательной, поглощательной и пропускательной способностями. Если тело не пропускает излучение, то t=0, и ρ+a=1. В общем случае коэффициенты ρ и a зависят от частоты излучения ν и температуры тела: и .Если тело полностью поглощает падающее на него излучение любой частоты, но не отражает его (), то тело называют абсолютно чёрным, а если тело полностью отражает излучение, но не поглощает его (), то тело называют белым, если же , то тело называют серым.

§3. Энергетические характеристики излучения

Поток — это энергия, переносимая излучением через произвольную поверхность в единицу времени. Поток излучения, испускаемый единицей площади тела, называют энергетической светимостью тела и обозначают R_T (Вт/м²). Энергетическую светимость тела в интервале частот обозначают dR_ν, а если она зависит от температуры тела T, тo dR_νT. Энергетическая светимость пропорциональна ширине dν частотного интервала излучения: . Коэффициент пропорциональности r_νT называют испускательной способностью тела или спектральной энергетической светимостью. На практике чаще используют энергетическую светимость в интервале длин волн, обозначаемую dR_λT, для которой справедливо аналогичное соотношение: . Коэффициент r_λT также называют спектральной энергетической светимостью тела.

Размерности , .

Энергетическая светимость тела во всем интервале испускаемых частот излучения (во всем интервале длин волн) равна

.

§4. Связь между r_νT и r_λT

Характеристики излучения, зависящие от частоты ν или длины волны λ излучения, называют спектральными.

Связь между r_νT и r_λT находят из условия

.

Из соотношения Отсюда .

Яркостная, радиационная и цветовая температуры. Оптическая пирометрия — это метод бесконтактного (дистанционного) измерения температуры нагретых тел. Приборы для измерения температуры бесконтактным методом называют пирометрами. С их помощью можно измерять температуру звезд, расплавленного металла, нити накаливания лампы. В зависимости от того, какая характеристика излучения нагретого тела измеряется, различают:

1. Цветовую температуру, определяемую по положению максимума функции Планка : — это первый закон Вина. Цветовая температура совпадает с истинной температурой тела.

2. Яркостную температуру, измеряемую по испускательной способности: . Для ее измерения надо знать коэффициент черноты тела a_T, температура которого измеряется. Для выделения излучения с данной длиной волны λ используется светофильтр.

3. Радиационную температуру, измеряемую по энергетической светимости серого тела: .

Яркостная и радиационная температуры не совпадают с истинной температурой тела. Это обусловлено тем, что все пирометры градуируются по светимоcти (спектральной или интегральной ) АЧТ, и серому телу приписывается температура АЧТ, имеющего такую же светимость (яркость), что и серое тело.

Так, согласно определению, связь радиационной температуры T_р с истинной температурой тела Т дается соотношением:

, (1)

где Т_р — температура, показываемая пирометром.

Яркостная температура тела Т_я связана с истинной Т соотношением

(2)

Откуда истинная температура тела (единицей в знаменателе дроби пренебрегаем)

(3)

где Т_я — температура, показываемая пирометром.

Волновые и корпускулярные свойства света и микрочастиц. Корпускулярно-волновой дуализм

Существует ряд явлений (интерференция, дифракция, дисперсия, поляризация, отражение и преломление света), которые объясняются в рамках волновой природы света. Кроме того, существует ряд явлений (фотоэффект, эффект Комптона, давление света), которые не могут быть объяснены или их объяснение имеет слишком сложный характер (давление света) в рамках волновых представлений, но эти явления находят объяснение в рамках ги­потезы Эйнштейна о корпускулярной природе света. Отсюда следует, что в одних явлениях свет ведет себя как волны, а в других — как корпускулы. Эта особенность поведения света получила название корпускулярно-волнового дуализма (двойственности). Как показали дальнейшие исследования, свойством корпускулярно-волнового дуализма обладают не только ЭМ-волны (свет), но и все микрочастицы — электроны, нейтроны, протоны, для которых первичны корпускулярные свойства, но имеют место и волновые свойства — интерференция, дифракция и т.п. Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм является общим свойством всех микрочастиц (микрообъектов) в природе.

Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987) осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Он утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия E и импульс p, а с другой стороны — волновые характеристики — частота и длина волны. Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то необходимо было доказать, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности. Это удалось экспериментально подтвердить в 1948 г. советскому физику В. А. Фабриканту. Он показал, что даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других, возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов в десятки миллионов раз более интенсивных. Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена словами физика В. А. Фока (1898—1974): «Можно сказать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна — частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправильно

Теория фотоэффекта Эйнштейна Для объяснения ФЭ Эйнштейн использовал гипотезу о квантах света. По его предположению один фотон выбивает один электрон. Согласно Эйнштейну ФЭ описывается законом сохранения энергии: ε=А+Т. Согласно этому уравнению энергия ε падающих Фотонов идет на совершение работы выхода A электрона из металла и сообщение ему кинетической энергии T. Параметры ε, А, Т, входящие в уравнение фотоэффекта, могут быть представлены различным способом. Энергия падающего фотона:

(1)

Кинетическая энергия вылетевшего электрона: ,(2) где U_з — задерживающая разность потенциалов, полностью гасящая кинетическую энергию вылетающих электронов.

Работа выхода электродов из металла может быть представлена в виде A=eφ (3), где φ — потенциал выхода электронов из металла.

Начало фотоэффекта имеет место при кинетической энергии электрона Т=0, что позволяет определить красную границу ФЭ условием: ,(4) где ν₀ и λ₀ — частота длина волны света, при которых начинается ФЭ. Так как работа выхода электронов из металла А для разных веществ различна, то и красная граница ФЭ для разных веществ различна. Обычно уравнение Эйнштейна для ФЭ записывают в виде

.(5)

Теория ФЭ Эйнштейна позволила объяснить все опытные законы ФЭ:

1. Существование красной границы ФЭ и ее независимость от освещенности катода, так как освещенность в уравнение ФЭ не входит.

2. Наличие задерживающей разности потенциалов U_з, гасящей ФЭ, не зависящей от освещенности катода, и ее линейная зависмость от частоты падающего света:

.

3. Наличие тока насыщения I_н и его линейная зависимость от освещенности катода I_н=kE. Это соотношение объясняется тем, что освещенность Е пропорциональна числу падающих фотонов, а один фотон выбивает по пред­положению один электрон.

Давление света. Рэлеевское и Комптоновское рассеивание. Давление света Пусть на единицу плошади поверхности в единицу времени нормально падает N 1/(м²с) фотонов. Пусть N_п фотонов поглощается, a N_о — отражается. Тогда

(1)

где a=N_п/N и ρ=N_о/N — коэффициенты поглощения и отражения падающего излучения. Поглощенный фотон с импульсом 2p передаст поверхности импульс, равный p, а отраженный – 2p. Тогда импульс р, передаваемый единицей площади поверхности в единицу времени N фотонами будет равен

(2)

Учитывая, что импульс фотона p связан с его энергией ε соотноше­нием p=ε/с, получим

(3)

где E=Nhν (Дж/м²с) — энергетическая освещенность поверхности или интенсивность падающего излучения (света):

.(4) где — объемная плотность энергии ЭМ-волны или фотонов. Получаем для давления света (/.p→p)

. (5)

Если обозначить n=N/c (1/м³) концентрацию фотонов в ЭМ-волне, то

.(6)

§9. Рэлеевское и комптоновское рассеяние света

При взаимодействии света с атомами вещества фотоны могут рассеиваться двумя способами:

1. Упруго, без изменения частоты ω=ω′ или ν=ν′. Такое рассеяние называют рэлеевским.

2. Неупруго, c изменением частоты ω′<ω или ν′<ν (λ′>λ). Такое рассеяние называют комптоновским.

А.Г.Комптон(1923), впервые наблюдавший изменение длины волны рент­геновских лучей при их рассеянии на различных веществах, объяснил это явление рассеянием Х-лучей на электронах самых верхних оболочек (орбит) атома. Эти электроны наиболее слабо связаны с атомом. При рассеянии фотон отдает часть своей энергии слабосвязанному электрону и его энергий ε′ = hν′ и частота ν′ при рассеянии уменьшаются, а длина волны рассеянного фотона λ′=c/ν′ увеличивается. Рэлеевское рассеяние происходит в основном на электронах внутренних оболочек атома, которые сильно связаны с атомом. Поэтому при рассеянии на таких электронах энергия и частота рассеянного фотона не изменяются.

1)Гипотеза де-Блойля. Уравнение де-Бойля. Опятное подтверждение. Опыт Джермера и Дэвиссона. Согласно гипотезе Эйнштейна для фотонов,

.Исходя из этого де Бройль (1923) предположил, что любой частице, обладающей импульсом p и энергией E можно поставить в соответствие длину волны λ и частоту ν равные, соответственно,

.(1) или волновое число k и циклическую частоту ω:

.(1^*) Отличие от гипотезы Эйнштейна: для фотонов первичны волновые характеристики (λ,ν или k,ω), а для других частиц — корпускулярные (p, E). Де Бройль предположил также, что любой свободной частице может быть поставлена в соответствие плоская волна, уравнение которой имеет вид , или, в комплексной форме: . Заменив k,ω по вышеприведенным формулам, получим .(2)

Это соотношение называют уравнением волны де Бройля для свободной частицы, волновой функцией, Ψ-функцией.

Опытное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыт Дэввисона и Джермера. К 1925 г. были известны опыты по дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. Согласно гипотезе де Бройля, если у материальных объектов будет длина волны де Бройля такая же, как и у рентгеновских лучей, они будут дифрагировать на препятствиях. Такими объектами могут быть медленные электроны. Длина волны из известного соотношения для кинетической энергии электронов, прошедших разность потенциалов U = 1 В:

Полученная нами длина волны соответствует рентгеновскому диапазону излучения. Поэтому Дэвиссон и Джермер предположили, что медленные электроны будут дифрагировать на кристаллах. Схема опыта была такова. На кристалл никеля направлялся узкий пучок медленных электронов. При этом улавливатель мог перемещаться, меняя угол θ. Была получена следующая зависимость тока I на микроамперметре от ускоряющей разности потенциалов U:

Вероятность отражения электронов под разными углами θ различна, и для кристаллов никеля наблюдался максимум при θ=65°..

2)Опыт Томсона. Решающую роль в установлении природы катодных лучей сыграли опыты английского физика Джозефа Джона Томсона (1856—1940). Приступая к эксперименту, он писал: «Что это за частицы? Атомы это, или молекулы, или материя в состоянии ещё более тонкого дробления?». Его экспериментальная установка представляет собой вакуумную электронно-лучевую трубку. Накаливаемый катод К является источником катодных лучей, которые ускоряются электрическим полем, существующим между анодом А и катодом К. В центре анода имеется отверстие. Катодные лучи, прошедшие через это отверстие и движущиеся прямолинейно со скоростью v, попадают в точку G на стенке трубки S напротив отверстия в аноде. Если стенка S покрыта флуоресцирующим веществом, то попадание частиц в точку G проявляется как светящееся пятнышко. На пути от А к G частицы проходят между пластинами конденсатора CD, к которым может быть приложено напряжение от батареи. Если включить эту батарею, то пучок частиц отклоняется её электрическим полем и на экране 5 возникает пятнышко в положении G\. Создавая в области между пластинами конденсатора ещё и однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости рисунка (оно изображено точками), можно вызвать отклонение пятнышка в том же или обратном направлении.

Опыты проводились таким образом, что отклонение катодных частиц (корпускул, согласно терминологии Джозефа Джона Томсона) электрическим полем было скомпенсировано воздействием магнитного поля (пятнышко при этом возникало в точке G). Приравняв действующие на частицы силы, можно найти скорость частиц, а с помощью дополнительных исследований — и их удельный заряд, т. е. отношение е/т заряда частицы к её массе. Он оказался почти в 1840 раз больше, чем удельный заряд самого лёгкого иона водорода, который был определён до этого из других опытов. Если считать, что заряд корпускулы равен по модулю заряду иона водорода (1,6*10" Кл), то масса катодной частицы оказывается почти в 1840 раз меньше массы иона водорода. Так открыли первую элементарную частицу с массой m_е=9,11*10^-31 кг и с наименьшей величиной электрического заряда. В дальнейшем она получила название электрон. 30 апреля 1897 г., когда Джозеф Джон Томсон доложил о своих исследованиях, считается «днём рождения» электрона. Эксперименты показали также, что отношение е/т для катодных лучей не зависит от природы газа, заполняющего разрядную трубку. Отсюда следовал вполне естественный вывод: электрон входит в состав всех атомов.

Открытие электрона породило новые проблемы. Что удерживает электроны внутри атома? Сколько их там? Как они движутся и как их движения связаны с излучением атомов? Что внутри атома компенсирует отрицательный заряд электронов (ведь атом в целом нейтрален)

4) Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Если мы имеем дело с частицами массы порядка m≈10^-30 кг и размеров порядка ∆x≈10^-10 м, то представления классической физики перестают быть справедливыми. А именно, теряются представления о координате, импульсе и энергии частицы. О них можно говорить лишь приближенно. Однако, для интерпретации результатов эксперимента в квантовой физики этими понятиями пользуются. Гейзенберг вывел соотношение, согласно которому нельзя одновременно сколь угодно точно определить импульс частицы и ее координату:

(1)

где Δp_x — неопределенность импульса, Δx — неопределенность координаты, — постоянная Планка. Это соотношение можно записать относительно неопределенности энергии частицы и времени ее нахождения в данном состоянии:

Получили: . (2)

Введем соотношение неопределенностей на следующем примере: поток частиц движется параллельно некоторой оси, перпендикулярной к экрану с отверстием. Ширина щели a. На щели пучок дифрагирует и попадает на экран. Слева от экрана импульс частиц может быть строго определен, но это достигается ценой утраты определенности координаты x: ∆p=0 и ∆x=∞. После щели практически все частицы попадут в область главного максимума, дифрагируя на угле φ. Максимальное отклонение импульса составит (−p). Произведение неопределенностей координаты и импульса равно

Согласно законам дифракции , следовательно . Однако, согласно гипотезе де Бройля, . Тогда . Грубо говоря, мы получили тот же результат, что и в (1).

§11. Алгоритм решения задач на эффект Комптона

Выписываем закон сохранения энергии:

откуда кинетическая энергия электрона отдачи равна

.

Пусть нам дана длина волны λ, а требуется найти ε′, T, θ, φ. Тогда

Основные положения квантовой механики

§1. Релятивистские масса, импульс, энергия

Введем релятивистскую массу частицы m, зависящую от ее скорости:

,где m₀ — масса покоя частицы, с — скорость света, v — скорость частицы. Введение релятивистской массы не совсем корректно, так как измеряемыми в опыте величинами являются импульс p и энергия E частицы. Тем не менее, ее использование позволяет получить правильные выражения для наблюдаемых (измеряемых) в опыте физических величин.

Релятивистский импульс частицы p=mv;

Энергия покоя E₀=m₀c²;

Полная энергия E=mc²;

Кинетическая энергия частицы:

Связь между E, Е₀, T и p (релятивистское тождество):

.(*)

Откуда импульс частицы через ее кинетическую энергию:

.

6)Уравнение Шрёдингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера. Шредингер (1926) ввел волновую функцию . Если задана масса частицы и действующие на нее силы, то, решая уравнение Шредингера, можно определить все волновые функции, присущие данной частице. Для уравнения Шредингера справедлив принцип суперпозиции: если функции ψ₁ и ψ₂ являются решением уравнения Шредингера, то и их сумма ψ₁+ψ₂ тоже является решением. Уравнение Шредингера является основным уравнением в квантовой механике, подобно тому, как второй закон Ньютона является основным законом классической механики. Это уравнение имеет вид

(1)

где Π(x,y,z,t) — потенциальная функция, h=6,62·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка.

(1) можно привести к более простому виду, если учесть:

, где Δ и — операторы дельта и набла соответственно. Тогда будем иметь

.(1)

Это уравнение называется зависящим от времени уравнением Шредингера.

§2. Стационарное уравнение Шредингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Частное решение для специального случая, когда Π не является функцией времени, можно записать в виде:

,(1)

где функция должна удовлетворять уравнению

,(2)

которое получается из уравнения Шрёдингера при подстановке в него указанной выше формулы (1). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шредингера (уравнением Шредингера, не содержащее времени).

Выражениe (1) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера, общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (1). Зависимость функции от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (2) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (2) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины E в уравнении (1). Она производится следующим путём: временная зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при t в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (2) содержит просто постоянный множитель E. В левой же части уравнения (2) функция ψ умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина E должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что E представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, E действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

7)Простые задачи квантовой механики:частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Выражение «бесконечно высокие стенки» означает, что вероятность нахождения частицы вне интервала (0,l) равна нулю, т.е. (1)

По постановке задачи, частица движется в области (0,l). Внутри этой области U=0, а на границах U(0)=U(l)=∞. В случае одномерного движения

,и, следовательно, уравнение Шредингера имеет вид .(2) Обозначим .(3)

Тогда, с учетом (2) .(4) Это уравнение гармонического осциллятора, и мы знаем его решения:

либо .(5)

Возьмем , где A — нормировочный множитель, φ — начальная фаза. Так как стенки непроницаемы, то должно быть . Отсюда получим (6)

Тогда для энергии частицы будем иметь

(7)

Энергия частицы изменяется скачком между ближними уровнями. При этом .(8)

Для свободной частицы l→∞, E_n→0.

График для E_n представлен на рисунке справа.

Произведем нормировку полученного решения (5). Согласно условию нормировки

.Отсюда .(9)

Графики ψ и ψ ² (l=10) имеют следующий вид:

x

8)Принцип соответствия

В физике принципом соответствия называется утверждение о том, что поведение квантовомеханической системы стремится к классической физике в пределе больших квантовых чисел. Этот принцип ввёл Нильс Бор в 1923 году. В более широком смысле под принципом соответствия понимают утверждение о том, что любая новая физическая теория должна в некотором пределе воспроизводить результаты старой проверенной теории, например, любая теория гравитации в пределе малых скоростей и слабых гравитационных полей должна сводиться к гравитации Ньютона.

Правила квантовой механики очень успешно применяются в описании микроскопических объектов, типа атомов и элементарных частиц. С другой стороны, эксперименты показывают, что разнообразные макроскопические системы (пружина, конденсатор и т.д) можно точно описать в соответствии с классическими теориями, используя классическую механику и классическую электродинамику. Однако, весьма разумно полагать, что окончательные законы физики должны быть независимыми от размера описываемых физических объектов. Это предпосылка для принципа соответствия Бора, который утверждает, что классическая физика должна появиться как приближение к квантовой физике, поскольку системы становятся большими.

Условия, при которых квантовая и классическая механики совпадают, называются классическим пределом. Бор предложил грубый критерий для классического предела: переход происходит, когда квантовые числа, описывающие систему являются большими, означая или возбуждение системы до больших квантовых чисел, или то, что система описана большим набором квантовых чисел, или оба случая. Более современная формулировка говорит, что классическое приближение справедливо при больших значениях действия.

Принцип соответствия — один из инструментов, доступных физикам для того, чтобы выбрать соответствующую действительности квантовую теорию. Принципы квантовой механики довольно широки — например, они заявляют, что состояния физической системы занимают пространство Гильберта, но не говорят, какое именно. Принцип соответствия ограничивает выбор теми пространствами, которые воспроизводят классическую механику в классическом пределе.

Принцип соответствия Дирака

«Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при , сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законам.» (Дирак, 1925)

9)Гармонический осциллятор

Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора - системе, способной совершать гармонические колебания. История квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. n раз умножены (где n = 0,1, 2,3,...) на нечто, названное им квантом энергии hυ.

Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.

Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой: Точки a0 и -a0, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы "зависает", и там вероятность обнаружения максимальна.

Оценка минимальной энергии осциллятора

Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий: Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p ~ ћ/x. Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной xmin, соответствующее минимуму, равно: а соответствующее значение энергии E имеет порядок Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.