Шпоры / Основные шпоры

1)Плоская электромагнитная волна

Волны вида(1)называют плоскими монохроматическими или гармоническими. Здесь: А — амплитуда волны, — фаза волны, φ — начальная фаза, x — координата поверхности постоянной фазы Φ = const в момент t, υ— фазовая скорость волны, — циклическая частота колебаний в волне, — частота колебаний [Гц], T — период колебаний в волне, — волновое число или постоянная распространения. Длина волны λ — это путь, проходимый волной за период колебаний:.(2) Из (2) можно получить для волнового числа .Координату x поверхности постоянной фазы можно представить в виде x=r*e_x, где e_x— единичный вектор в направлении оси OХ, r— радиус-вектор произвольной точки поверхности постоянной фазы. Тогда произведение kx в уравнении волны можно записать в виде скалярного произведения, не зависящего от выбора системы отсчета:

(4)

где ввели — волновой вектор.

С учетом этого выражения уравнение плоской волны можно записать в виде

.(5)

Часто для монохроматических волн используют комплексное представление, понимая под волной реальную (вещественную) часть комплексной функции(6)

где .

Наряду с комплексным представлением гармонические колебания изображают в виде проекции вектора A, вращающегося с угловой скоростью ω, на ось OX. Начальное положение вектора A к оси OX составляет угол φ, а произвольное Ф=wt+φ, где –k*r отнесено к φ. Проецирование вектора на ось OХ и взятие реальной части комплексного числа — эквивалентные операции.

2)Сферическая э/м волна

В сферической э/м волне волновые поверхности представляют собой множество концентрических сфер. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Если фаза равна wt + α, то тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса к будут колебаться с фазой w(t-r/v)+α=wt-kr+α (чтобы пройти путь r, волне требуется время τ=r\v)/ В таком случае амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Отсюда уравнение сферической волны имеет вид f(r,t)=A/r*cos(wt-kr+α)

Для поглощающей среды надо добавить множитель exp(-γr)

§5. Линзы

5.1. Формула толстой линзы

Формула

наз-ся формулой толстой линзы. Здесь D — оптическая сила, F — фокусное расстояние, — относительный показатель преломления линза–среда, R₁ и R₂ — радиусы кривизны линзы (см. рис.)

R₁ и R₂ приписывается знак «+» для выпуклых преломляющих поверхностей, и знак «−» — для вогнутых. Для плоских поверхностей условно принимают R = ∞ и 1/R = 0. Если D > 0, линзу называют собирающей, если D < 0 — рассеивающей.

5.2. Формула тонкой линзы

Тонкая линза — линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния. На чертеже тонкие собирающие линзы изображают , а рассеивающие — .

Справедлива формула тонкой линзы:

, где d, f, F > 0 для действительных величин и < 0 для мнимых величин. Для собирающей линзы

,

где (+f ) в режиме фото и проектора, (−f ) — в режиме лупы (предмет между фокусом и оптическим центром линзы).

Для рассеивающей линзы

.

Увеличением линзы называют отношение

3)Групповая и фазовая скорости. Групповая скорость — это скорость перемещения максимума огибающей волнового пакета. Эта скорость вычисляется из закона дисперсии:

Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны. В общем случае такая интерпретация неверна, поскольку понятие «групповая скорость» имеет геометрический, а не физический смысл.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Зачастую рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора. Ввиду того, что, строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических волн или, что менее корректно, при описании периодических процессов другой формы, для описания волн, отличных от гармонических (в частности, для описания волновых пакетов), также используют понятие групповой скорости. Поскольку фазовая скорость не является скоростью движения физического объекта, в определённых случаях она может превышать скорость света.Так для случая плоской гармонической волны фазовую скорость вдоль волнового вектора можно выразить следующим образом:

, где k — волновое число, ω - угловая частота.

При этом, фазовая скорость вдоль направления, отклонённого от волнового вектора на угол α, будет равна:

4)Отражение и преломление плоских э/м волн: падение плоской э/м волны на плоскую границу раздела двух сред. Формулы Френеля, их следствия, угол Брюстера, полное внутреннее отражение Абсолютным показателем преломления (изотропной среды) наз-ся величина n=c\v, (1) показывающая во сколько раз скорость света в вакууме превышает скорость света в среде. Относительным показателем преломления второй среды отн. первой наз-ся величина, численно равная отношению показателя преломления второй среды к показателю первой: n₂₁=n2/n1=(c/v2)/(c/v1)=v1/v2 (2) Примечание: среды нумеруют по ходу светового луча.

4.2. Законы отражения и преломления света

Используя граничные условия для касательных составляющих векторов E и H на границе двух сред:

E_1τ=E_2τ H_1τ=H_2τ (1) можно показать, что:

1. Закон отражения (угол отражения равен углу падения)

(2)

2. Закон преломления n₁sinα₁=n₂sinα₂=n_ksinα_k=K (3)

причем, если в этой формуле n_i=n_j, то α_i=α_j.

4.3. Угол Брюстера

Если для угла падения α₁ и угла преломления α₂ справедливо α₁₊α₂=π/2, то α₁ называют углом Брюстера и обозначают α_б. закон преломления для угла Брюстера:

Отсюда получаем уравнение угла Брюстера.(1)

Можно показать, что при падении луча под углом Брюстера, отраженный луч полностью линейно поляризован в плоскости, ╨ плоскости падения.

4.4. Потеря полуволны или изменение фазы на π при отражении

1. При падении волны на более плотную среду n₂>>n₁ под углом α₁<α_б, меньшим угла Брюстера, отраженная волна изменяет свою фазу на π (теряет половину волны λ/2). 2. При падении волны на оптически менее плотную среду n₂<n₁ отраженная не изменяет свою фазу при любых углах падения. 3. Преломленная не изменяет своей фазы по отношению к падающей.

4.5. Полное внутреннее отражение

Если луч света идет в среду n₂>n₁, то он прижимается к нормали в случае преломления; если n₂<n₁ — отклоняется от нее. В последнем случае возможно явление полного внутреннего отражения (ПВО), когда при некотором угле падения α’₁ можно получить угол преломления α’₂=π/2. При углах падения α₁, больших α’₁, преломления не будет, а будет существовать только отраженный луч. Условие на α’₁ (предельный угол ПВО)/1

Это явление используется, например, для передачи светового сигнала по стекловолокну

Получение света с эллиптической или круговой поляризацией

Для доказательства этого утверждения рассмотрим суперпозицию двух волн одинаковой частоты, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, что эквивалентно разложению произвольной монохроматической волны на две взаимно ортогональные составляющие .

Уравнения волн(1)

Где φ — сдвиг фаз между волнами. Уравнения (1) есть уравнение эллипса в параметрической форме. Чтобы убедиться в этом, исключим из этих уравнений параметр времени t. Для этого запишем уравнения в виде

, (2) (3)

Отсюда (4)

Возводя уравнения (2) и (4) в квадрат и используя тождество , получим

(5)

Откуда после преобразований(6)

Это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами 2A_x и 2A_y (см. рис.) При φ =π/2 и A_x=A_y=А эллипс вырождается в окружность, а при φ =πm , где m = 0, 1, 2, … — в отрезок прямой: .Таким образом, эллиптическая поляризация является общим случаем поляризации монохроматической волны, частными случаями которой являются круговая и линейная поляризации волн.

6)Энергия электромагнитных волн: интенсивность, импульс электромагнитного поля, эффект Доплера. ЭМ-волны обладают объемной плотностью энергии, мгновенное значение которой с учетом (2а) равно

.(3a) C учетом и того, что средние по времени значения получим для среднего значения объемной плотности энергии в ЭМ-волне.(3б)

5. Через единицу площади в единицу времени ЭМ-волна переносит энергию.(4а)

Согласно размерности [S] = Дж/(м²·с) величина S есть плотность потока энергии в волне. Учитывая, что векторыE и H в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны (4а) можно записать в виде

.(4б) Вектор S называют вектором Пойнтинга (вектором Умова, вектором Умова-Пойнтинга). Он указывает направление переноса энергии в волне. Среднее по времени значение вектора Умова-Пойнтинга называют интенсивностью волны

(5a)С учетом (1) и (2б), (4а).(5б)

6. ЭМ-волна с энергией W обладает импульсом (6a)

Плотность импульса волны (импульс единицы объема волны) равна

,(6б)

где учтено, что S=wυ и w=S/υ. 7. Волна оказывает на частично отражающую поверхность давление,(7) где I=<S>=<W>*v I-Интенсивность волны, R — коэффициент отражения. Для абсолютно поглощающей поверхности R=0, для зеркала R=1. 8. Согласно Эйнштейну ЭМ-волна есть поток корпускул (фотонов). Энергия W, импульс K и масса волны m по Эйнштейну равны W=mc², K=mc=W/c; m=W/c²=K/c, (8) де W и K могут быть рассчитаны электродинамически (см. выше). Энергия одного фотона согласно гипотезе Эйнштейна равна ε=hν, где h — постоянная Планка, ν — частота волны.

9. Если источник, испускающий волну частоты ν₀, и приемник ЭМ-излучения (света) движутся относительно друг друга со скоростью υ, то частота νизлучения, регистрируемая приемником (детектором) излучения изменяется и равна ν =ν₀(1 υ cos α/c). (9) то явление называют эффектом Доплера. Здесь α — угол между направлением скорости источника υ и направлением испускания волны, c — скорость света. Знак «+» — сближение источника и детектора, знак «−» — их удаление друг от друга.

принцип Гюйгенса-Френеля, Гюйгенса

Принцип Гюйгенса — Френеля — основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности световых. В волновой оптике существует два принципа: принцип Гюйгенса и принцип Гюйгенса–Френеля. В принципе Гюйгенса постулируется, что каждая точка фронта волны является источником вторичных волн. Построив огибающую этих волн, можно найти положение фронта волны в последующие моменты времени.

Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим и позволяет вывеcти. например, законы отражения и преломления света, объясняет явления распространения света в анизотропных кристаллах (двойное лучепреломление). Но он не может объяснить большинство оптических явлений, обусловленных интерференцией волн. Френель дополнил принцип Гюйгенса условием интерференции вторичных волн, исходящих от фронта волны. Такое расширение принципа Гюйгенса получило название принципа Гюйгенса–Френеля.

Принцип Гюйгенса — Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка поверхности, достигнутая световой волной, является вторичным источником световых волн. Огибающая вторичных волн становится волновой поверхностью в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса — Френеля и дифракционные явления.

Принцип Гюйгенса — Френеля формулируется следующим образом: Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн. Г. Кирхгоф придал принципу Гюйгенса — Френеля строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа (см. метод Кирхгофа).

Фронтом волны точечного источника в однородном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова.

Дифракция Френеля(Зоны Френеля). Дифракцией называют совокупность интерференционных явлений, наблюдаемых в средах с резкими неоднородностями, соизмеримыми с длиной волны, и связанных с отклонением законов распространения света от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Роль неоднородностей среды могут играть щели, отверстия и различные препятствия: экраны, атомы и молекулы вещества. Различают два вида дифракции. Если источник и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку наблюдении, практически параллельны, то говорят о дифракции Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах), в противном случае говорят о дифракции Френеля (дифракция в сходящихся лучах). Если λ — длина волны, b — размеры препятствия, L —расстояние от препятствия до точки наблюдения, то различают следующие ситуации:

Зоны Френеля

Френель предложил простой прием вычисления результата интерференции вторичных волн. приходящих от фронта волны в произвольную точку Р, лежащую на прямой, проходящую через источник S и точку Р.

Пусть фронт волны от источника S в некоторый момент времени находится на расстоянии a от S и на расстоянии b от точки Р. Разобьем фронт волны на кольцевые зоны так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки Р отличались на λ/2. колебания в соседних зонах сдвинуты по фазе на π, т.е. происходят в противофазе. Если обозначить амплитуды колебаний в зонах E₁, E₂,… причем E₁>E₂>…, то амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна E=E₁−E₂+E₃−E₄+… (1)

Здесь чередование знаков «+» и «−», так как колебания в соседних зонах происходят в противофазе. Представим формулу (1) в виде

,(2) где положено . Получили, что амплитуда колебаний в точке Р, если в нее приходят колебания от всего волнового фронта, равна Е=Е₁/2, т.е. равна половине амплитуды волны, приходящей в точку Р от первой зоны Френеля. Если закрыть все четные или нечетные зоны Френеля с помощью специальных пластинок, называемых зонными, то амплитуда колебаний в точке Р увеличится и будет равна

.

Если на пути фронта волны поставить экран с отверстием, который открывал бы конечное четное число зон Френеля, то интенсивность света в точке Р будет равна нулю

(4)

т.е. в этом случае в точке Р будет темное пятно. Если же открыть нечетное число зон Френеля, то в точке Р будет светлое пятно:

(5)

Для перекрытия зон френеля с помощью экранов или зонных пластине необходимо знать радиусы зон френеля. Согласно рис. получим

(6)

(7)

где пренебрегли членами с λ² и . Приравнивая (6) и (7), получим (8) Подставляя формулу (8) в (6), найдем радиус m-ой зоны Френеля ,(9)

где m=1,2,3,… — номер зоны Френеля, λ — длина волны, излучения, испускаемого источником. Если фронт водны плоский (a → ∞), то

. (10)

При фиксированном радиусе отверстия в экране, поставленом на пути волны число m зон Френеля, открываемых этим отверстием, зависит от расстояний a и b от отверстия до источника S и точки Р.

Дифракция Фраунгофера на щели.

Пусть от источника S распространяется сферическая волна. С помощью линзы Л₁ она превращается в плоскую волну, которая падает на щель шириной b. Лучи, дифрагировавшие на щели под углом φ, собираются на экране, находящемся в фокальной плоскости линзы Л₂, в точке P. Интенсивность дифракционной картины в точке Р экрана определяется интерференцией вторичных волн, исходящих от всех элементарных участков щели и распространяющихся в точку Р в одной и том же направлении φ. В виду того, что на щель падает плоская волна, фазы колебаний во всех точках щели одинаковы. Интенсивность в точке Р экрана, обусловленная волнами, распространяющимися в направлении φ, будет определяться сдвигом фаз между волнами, исходящими от плоского фронта волны АВ, перпендикулярного направлению распространения волны, либо волнами, исходящими от любой плоскости, параллельной направлению АВ. Сдвиг фаз между волнами, испускаемыми полоской O в центре щели и полоской с координатой х, отсчитанной от центра щели, составляет kx sin φ(рис.) Если щель имеет ширину b и испускает волну с амплитудой E₀, то полоска с координатой x и шириной dx испускает волну с амплитудой (E₀/b)dx. От этой полоски в точку Р экрана в направлении φ придет волна с амплитудой . (1)

Множитель iωt, одинаковый для всех волн, приходящих в точку Р экрана, можно опустить, так как при вычислении интенсивности волны в точке Р он исчезнет. Амплитуда результирующего колебания в точке Р, обусловленная наложением вторичных волн, пришедших в точку Р от всей щели, будет равна

,(2)

откуда

(2^*) где , λ — длина волны, испускаемая источником. Интенсивность волны I=E ² в точке Р экрана будет равна

(3)

где I₀ — интенсивность волны, испускаемой щелью в направлении φ=0, когда (sin u/u)=1.

В точке Р будет минимум интенсивности, если sin u=0 или

откуда (4)

(Это условие дифракционных минимумов темных полос на экране).

Условие дифракционных максимумов найдем, взяв производную oт I(φ) но u и приравняв ее к нулю, что приводит к трансцендентному уравнению tg u=u. Решить ато уравнение можно графически

Согласно рис. прямая y=u пересекает кривые y=tg u примерно в точках с координатой по оси абцисс, равной

, а также u = 0 → φ = 0.(5)

что позволяет написать приближенное, но достаточно точное решение уравнения tg u=u в виде

.(6)

(7)

Замечание. Центральный максимум при φ=0 не входит в условие (7).

§3. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Пусть сферическая волна, от источника в падает на круглое отверстие в диафрагме. В этом случае на экране будет наблюдаться дифракционная картина в виде светлых и темных колец.

Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в центре дифракционной картины будет темное пятно, а если оно открывает нечетное число зон Френеля, то светлое пятно. При перемещении диафрагмы с отверстием между источником и экраном в пределах отверстия будет укладываться то четное, то нечетное число зон Френеля и вид дифракционной картины (то с темным, то со светлым пятном в центре) будет постоянно меняться.

При дифракции света на круглом диске закрытыми оказываются зоны Френеля первых номеров от 1 до m. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения будет равна

или A = Am + 1 / 2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Если диск закрывает зоны не слишком больших номеров, то Am + 1 ≈ 2A0 и A ≈ A0, т. е. в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум. Это – так называемое пятно Пуассона, оно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами.

Дифракционная решетка и ее применение

Дифракционной решеткой можно считать любое устройство, обеспечивающее пространственную периодическую модуляцию падающей на нее световой волны по амплитуде и фазе. Примером дифракционной решетки является периодическая система N параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками, лежащих в одной плоскости. Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом или постоянной решетки. Дифракционная решетка обладает способностью разлагать немонохроматической излучение источника в спектр, создавая на экране смещенные относительно друг друга дифракционные картины, соответствующие разным длинам волн излучения источника. Пусть на решетку нормально падает плоская монохроматическая волна с длиной волны λ, а дифракционная картина наблюдается на в фокальной плоскости линзы Л. Дифракционная картина на экране представляет собой многолучевую интерференцию когерентных пучков света одинаковой интенсивности, идущих в точку наблюдения Р от всех щелей в направлении φ. Для расчета интерференционной картины (ИК) обозначим E₁(φ) амплитуду волны, пришедшей в точку наблюдения Р от первого структурного элемента решетки, амплитуду волны от второго структурного элемента , от третьего — и т.д, где

(1) — сдвиг фаз волн, приходящих в точку Р от соседних щелей с расстоянием d между ними.

Полная амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р волнами, прихо­дящими в нее от всех N щелей дифракционной решетки, представляется суммой геометрической прогрессии

(2)

Интенсивность волны в точке Р равна , где — комплексно сопряженная амплитуда. Получаем

(3)

где обозначено

, .(4)

Распределение интенсивности на экране, определяемое формулой (3) представлено на рис. Замечание. Огибающая дифракционной картины — это интенсивность дифракционной картины от одной щели, умноженная на N

sin φ

Из рисунка видно, что в ИК имеются резкие максимумы, называемые главными, между которыми наблюдаются малоинтенсивные максимумы и минимумы, называемые побочными. Главные максимумы наблюдаются в направлениях, определяемым условием (но при этом , что приводит к неопределенности вида 0/0≠0). Условие дает или (5) где k — порядок главного максимума. Рассмотрим формирование минимумов. Первое условие sin u=0 при u≠0 приводит к условию главных минимумов, такому же как в случае одной щели (6)

Второе условие при определяет положение побочных минимумов при значениях

π, (N−1)π; (7)

(2N−1)π;

(3N−1)π;

Подчеркнутые значения кратны N и приводят к условию главных максимумов или . Эти значения δ должны быть исключены из списка побочных минимумов. Оставшиеся значения можно записать в виде

,(8)

откуда получаем условие побочных минимумов

, (9)

где k — фиксированный порядок главного максимума. Мы допускаем отрицательные значения р = −1, −2, … −(N−1), которые дадут положение побочных минимумов слева от k-го главного максимума.

Из условий главных и побочных максимумов и минимумов следует, что излучению с другой длиной волны λ будет соответствовать другое угловое расположение минимумов и максимумов в дифракционной картине. Это означает, что дифракционная решетка осуществляет разложение немонохроматического излучения источника в спектр.

Угловая и линейная дисперсия дифракционной решетки,, разрешающая способность прибора, критерий Рэлея Любой спектральный прибор осуществляет разложения излучения на монохроматические составляющие путем их пространственного разделения с помощью призмы, дифракционной решетки и т.д. Чтобы извлечь необходимую информацию из наблюдаемых спектров, прибор должен давать хорошее пространственное разделение спектральных линий, а также обеспечивать возможность раздельного наблюдения близких спектральных линий. В связи с этим для характеристики качества спектрального прибора вводят следующие величины: угловую D_φ=dφ/dλ или линейную D_l=dl/dλдисперсии прибора и его разрешающую способность (разрешающую силу) R=λ/Δλ, где Δλ — минимальная разность длин волн спектральных линии, которые прибор позволяет видеть раздольно. Чем меньше разность Δλ, «видимая» прибором, тем выше его разрешающая способность R. Угловая дисперсия D_φ определяет угол Δφ=D_φΔλ, на который разводит прибор две спектральные линии, длины волн которых отличаются на единицу (например, в оптике полагают Δλ=1 нм). Линейная дисперсия D_l определяет расстояние Δl=D_lΔλ между спектральными линиями на экране, длины волн которых отличаются на единицу (Δλ=1 нм). Чем выше значения D_φи D_l, тем выше способность спектрального прибора к пространственному разделению спектральных линий. Конкретные выражения для дисперсий прибора D_φи D_l и его разрешающей способности R зависят от типа прибора, используемого для регистрации спектров излучения различных источников. Выражение для угловой дисперсии дифракционной решетки можно найти дифференцируя условие главных максимумов по λ. Получим , откуда

.(1)

Вместо угловой дисперсии можно использовать линейную

.(2)

Учитывая, что положение спектральной линии, отсчитываемое от центра дифракционной картины равно l=F tg φ, где F — фокусное расстояние линзы в фокальной плоскости которой регистрируется спектр, получим

, что дает (3)

Большая угловая дисперсия является необходимым, но недостаточным условием раздельного наблюдения близких спектральных линий. Это объясняется тем, что спектральные линии имеют ширину. Любой детектор регистрирует огибающую спектральных линий, которые в зависимости от их ширины могут восприниматься либо как одна, либо как две спектральные линии.

В связи с этим вводится дополнительная характеристика спектрального прибора —его разрешающая способность: R=λ/Δλ, где Δλ — минимальная разность длин волн спектральных линий, которые прибор позволяет видеть раздельно. Чтобы получить конкретное выражение для R для данного прибора, необходимо задаться критерием разрешения.

Совпадение «края» одной линии с максимумом другой эквивалентно одинаковому угловому положению φ, Положение k-го максимума спектральной линии с длиной волны λ₁ определяется условием

(1)

Положение левого «края» линии с длиной волны λ_ определяется угловым положением ее первого левого побочного минимума (р=−1)

. (2)

Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим

, или , (3)

откуда

. (4)

Получили, что разрешающая способность R=kN дифракционной решетки увеличивается с увеличением числа N штрихов на решетке, а при фиксированном N с увеличением порядка k спектра.

Если два источника света удалены друг от друга на расстояние d, расстояние от них до нас равно D, длина световой волны равна λ, а диаметр окуляра равен А, то, согласно критерию Рэлея, условием оптического разрешения двух источников в окуляре будет:

d/D>1,22λ/A. Иными словами, если точечные источники света разнесены на расстояние не меньше d, наблюдатель, находясь на удалении D, сможет различить их в окуляре диаметром А как раздельные, в противном случае они сольются. Отношение d/D представляет собой угловую меру в радианах (для перевода в градусы нужно умножить ее на 57,3) между направлениями на два источника света. Критерий Рэлея, таким образом, устанавливает границы углового разрешения для любого оптического инструмента, будь то телескоп, фотоаппарат или человеческий глаз. (Коэффициент 1,22 определен математически и требует, чтобы размер окуляра и длина световой волны были измерены в одних и тех же единицах.)

Дисперсия волн (света)Разложение света в спектр вследствие дисперсии при прохождении через призму (опыт Ньютона).. Зависимость показателя преломления среды n=n(ω,k) от частоты света ω или его длины волны λ=υ/ν и волнового вектора k называется соответственно временной (ω) и пространственной (k) дисперсией. Диспе́рсия све́та (разложение света) — это явление зависимости абсолютного показателя преломления вещества от длины волны света (частотная дисперсия), а также, от координаты (пространственная дисперсия), или, что то же самое, зависимость фазовой скорости света в веществе от длины волны (или частоты). Экспериментально открыта Ньютоном около 1672 года, Один из самых наглядных примеров дисперсии — разложение белого света при прохождении его через призму (опыт Ньютона). Сущностью явления дисперсии является неодинаковая скорость распространения лучей света c различной длиной волны в прозрачном веществе — оптической среде (тогда как в вакууме скорость света всегда одинакова, независимо от длины волны и следовательно цвета). Обычно чем больше частота волны, тем больше показатель преломления среды и меньше ее скорость света в ней: У красного цвета максимальная скорость в среде и минимальная степень преломления,у фиолетового цвета минимальная скорость света в среде и максимальная степень преломления.

Однако в некоторых веществах (например в парах иода) наблюдается эффект аномальной дисперсии, при котором синие лучи преломляются меньше, чем красные, а другие лучи поглощаются веществом и от наблюдения ускользают. Говоря строже, аномальная дисперсия широко распространена, например, она наблюдается практически у всех газов на частотах вблизи линий поглощения, однако у паров иода она достаточно удобна для наблюдения в оптическом диапазоне, где они очень сильно поглощают свет.

Дисперсия света позволила впервые вполне убедительно показать составную природу белого света.

Белый свет разлагается на спектр и в результате прохождения через дифракционную решётку или отражения от нее (это не связано с явлением дисперсии, а объясняется природой дифракции). Дифракционный и призматический спектры несколько отличаются: призматический спектр сжат в красной части и растянут в фиолетовой и располагается в порядке убывания длины волны: от красного к фиолетовому; нормальный (дифракционный) спектр — равномерный во всех областях и располагается в порядке возрастания длин волн: от фиолетового к красному.

По аналогии с дисперсией света, так же дисперсией называются и сходные явления зависимости распространения волн любой другой природы от длины волны (или частоты). По этой причине, например, термин закон дисперсии, применяемый как название количественного соотношения, связывающего частоту и волновое число, применяется не только к электромагнитной волне, но к любому волновому процессу.

Дисперсией объясняется факт появления радуги после дождя (точнее тот факт, что радуга разноцветная, а не белая).

Коши пришел к формуле, выражающей зависимость показателя преломления от длины волны:

n = a + b / L2 + c / L4 + …, где: L — длина волны в вакууме;

a, b, c, … — постоянные, значения которых для каждого вещества должны быть определены в опыте. В большинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы Коши.

Частотную или временную дисперсию волн, проявляющуюся в зависимости показателя преломления

Поляризация монохроматических волн: эллиптическая, круговая, линейная и плоская Поляризацию ЭМ-волны принято характеризовать поведением электрического вектора E в точке пространства, через которую проходит ЭМ-волна. ЭМ-волна называется поляризованной, если в фиксированной точке пространства вектор E изменяется по определенному закону, т.е. если можно указать уравнение кривой по которой движется конец вектора E (эллипс, окружность, отрезок прямой). Если вектор E в фиксированной точке пространства при прохождении через нее волны хаотически изменяет свою ориентацию в различные моменты времени t, то такую волну называют неполяризованной, а свет — естественным. Неполяризованную ЭМ-волну условно изображают следующим образом:

Если световой пучок представляет собой смесь поляризованного и неполяризованного света, то такую волну называют частично-поляризованной.

Если вектор E в ЭМ-волне в данной точке пространства все время остается в одной плоскости, то такую волну называют плоско или линейно поляризованной. Плоскость, в которой лежит (осциллирует) вектор E, называют плоскостью поляризации:

Линейно поляризованную волну условно изображают следующим образом:

Суперпозиция(наложение) двух монохроматических волн одинаковой частоты также есть монохроматическая волна той же частоты ω с новой амплитудой А и фазой φ:

.

Комплексный множитель говорит о том, что частота волны осталась той же самой. Однако вектор E в суммарной волне в данной точке пространства в общем случае может вращаться по эллипсу, кругу либо остается в одной плоскости, повернутой относительно плоскостей поляризации складываемых волн. Другими словами, в природе существуют эллиптически, циркулярно, и линейно поляризованные монохроматические волны. Эллиптически и циркулярно поляризованные волны изображают соответственно как:

Двойное лучепреломление. В природе существуют изотропные и анизотропные кристаллы (одноосные и двуосные). В изотропном кристалле скорость световой волны одинакова во всех направлениях. В анизотропном одноосном кристалле, как показывает опыт, возникает две волны: обыкновенная (о-волна) и необыкновенная (е-волна). В двуосных кристаллах возникают две необыкновенные волны. В одноосном кристалле скорость v_o распространения о-волны одинакова в разных направлениях, а скорость распространения е-волны v_e - различна. Поэтому фронт о-волны сферический, а е-волны — эллиптический. В зависимости от типа кристалла возможно v_e>v_o (отрицательный кристалл) либо v_e>v_o (положительный кристалл).

Существует такое направление в кристалле, в котором скорости v_e и v_o обыкновенной и необыкновенной волн одинаковы. Это направление называют оптической осью кристалла. В направлении оптической оси фронты о- и е-волн (сфера и эллипсоид) касаются друг друга. Любая плоскость, параллельная оптической оси кристалла называется главным сечением кристалла. Если на границу одноосного кристалла падает световой луч, то на его границе образуется два преломленных луча: обыкновенный (о-луч) и необыкновенный (е-луч), соответствующие о- и е-волнам в кристалле. Это явление называется двойным лучепреломлением. Оказывается, что о- и е-лучи линейно поляризованы. Причем о-луч поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости главного сечения кристала, а е-луч -параллельно главному сечению (см. рис.) О-луч подчиняется обычному закону преломления: , а е-луч — не подчиняется. Поэтому, если луч света падает на одноосный кристалл перпендикулярно его границе, то возникающий о-луч не преломляется, а е-луч — преломляется. Если на пути о- или е-луча на выходе кристалла поставить заслонку, то на его выходе останется линейно поляризованный о- или е-луч. Если кристалл вырезан так, что его оптическая ось параллельна границе кристалла и перпендикулярно границе на кристалл падает световой луч, то образующиеся в кристалле о- и е-лучи не преломляются. В этом случае в кристалле в одном направлении, перпендикулярном оптической оси будут распространяться две волны, поляризованный в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Скорости распространения этих волн v_o и v_e различны. Поэтому при прохождении через кристалл эти волны сместятся относительно друг друга и между ними возникнет некоторая разность фаз φ, зависящая от толщины кристалла. Как было показано, сложение двух волн одинаковой частоты, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, дает в общем случае эллиптически поляризованную волну той жe частоты.

В частности, на выходе кристалла можно получить циркулярно либо линейно поляризованную волну. Существуют одноосные кристаллы, поглощающие колебания, перпендикулярные оптической оси кристалла, т.е. поглощающие обыкновенную волну. Такие кристаллы называют поляроидами (например, николь [призма Николя]). На выходе поляроида всегда будет линейно поляризванный свет в плоскости, параллельной оптической оси кристалла.

Закон Малюса. степень поляризации света. Любое устройство, например поляроид, позволяющее получать поляризованный свет, называют поляризатором. Пусть на поляроид ╨ его оптической оси падает линейно поляризованная световая волна с амплитудой Е₀, плоскость поляризации которой составляет угол α с оптической осью кристалла ОО.

Через поляроид пройдет лишь составляющая волны , параллельная оптической оси кристалла, а составляющая волны , ╨ оси кристалла будет поглощена. Любой детектор регистрирует не амплитуду волны, а интенсивность волны, которая является энергетической характеристикой волны и пропорциональна квадрату амплитуды волны. Интенсивность света на выходе поляроида будет равна или (1) где I₀ - интенсивность света на выходе поляризатора. Полученное соотношение называют законом Малюса.

Если на поляризатор падает естественный неполяризованный свет, то направление вектора напряженности E₀ в таком свете по отношению к оптической оси поляризатора хаотически меняется. Учитывая, что среднее значение получим для интенсивности линейно поляризованного света на выходе поляризатора , (2)

где I₀ — интенсивность естественного света на входе поляризатора. На практике для исследования свойств поляризованного светa используют два однотипных поляризатора. Второй по ходу светового луча поляризатор называют анализатором.

Если оптические оси поляризаторов скрещены под углом α и на первый поляризатор падает естественный свет с интенсивностью I0, то на выходе двух поляризаторов будет линейно поляризованный свет с интенсивностью

(3) где I1=I0/2 — интенсивность линейно поляризованного света на выходе первого поляризатора. Если оси поляризаторов параллельны, то I||=Imax=I0/2, а если перпендикулярны, то I=Imin = 0.

Степень поляризации света. Идеальных поляризаторов не бывает, поэтому на выходе 1-го и 2-го поляризаторов будет частично линейно поляризованный свет с примесью естественного света. В этом случае интенсивность света на выходе двух поляризаторов будет изменяться от I||=Imax до I=Imin≠0. Поляризацию света принято характеризовать величиной

, (1) которую называют степенью поляризации света. Здесь Imax = Iпол+Iест/2, Imin=Iест/2. Для поляризованного светa P=1, для неполяризованного света P=0, для частично-поляризованного света 0<P<1.

Прохождение светового луча через систему из N поляризаторов с потерями

Пусть потери в каждом поляризаторы равны R, тогда черед поляризатор проходит доля света (1−R). Интенсивность света после прохода через первый поляризатор равна

,

после второго поляризатора —

после третьего —

,

после N-го — Обычно надо найти отношение I0/IN при α1=α2=…= αN = α. Тогда .