§6. Закон Кирхгофа

Кирхгофом было доказано следующее свойство тепловых излучателей: отношение испускательной способности тела r_λTк его поглощательной способностиa_λTпри той же температуреTне зависит от природы из­лучающего тела, для всех тел одинаково и равно испускательной способно­сти АЧТ : . Это основной закон теплового излучения.

Для его доказательства рассмотрим теплоизолированную полость А с малым отверстием, внутри ко­торой находится тело В. Полость А нагрета и обменивается теплом с телом В через поле излучения полости С. В состоянии теплового равновесия тем­пературы полости А, тела В и поля излучения С одинаковы и равны Т . В опыте имеется возможность измерять поток ε_λTизлучения, выходящего из отверстия, свойства которого аналогичны свойствам излучения С внутри полости.

Поток излучения ε_λT, падающий от нагретой полости А на тело В поглощается этим телом и отражается, а само тело В излучает энергию.

В состоянии теплового равновесия испущенный телом В поток r_λTи отраженный им поток (1−a_λT) r_λTдолжны равняться потокуε_λTтеплового излучения полости:

, (1)

откуда. Это и есть закон Кирхгофа.

При его выводе природа тела В не учитывалась, поэтому он справедлив для любого тела и, в частности, для АЧТ, для которого испускательная способность равна ,а поглощательная способность. Имеем:

. (2)

Получили, что отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности равно испускательной способности АЧТ при той же температуре Т.Равенствоговорит о том, что по выходящему из полости потоку излученияε_λTможно измерить испускательную способность АЧТ.

§7. Формула Планка. Доказательство с ее помощью законов Стефана-Больцмана и Вина

Длительное время различные ученые пытались объяснить закономерности излучения АЧТ и получить аналитический вид функции . При попытке решить задачу было получено много важных законов теплового излучения. Так, в частности, Вин на основе законов термодинамики показал, что испускательная способность АЧТ_ является функцией отношения частоты излученияи его температурыT, совпадающей с температурой АЧТ:

.

Впервые явный вид для функции был получен Планком (1905). При этом Планк предположил, что ТИ содержит ЗМ-волны различных частот (длин волн) в интервале (0,∞).Волну фиксированной частотыνназываютосциллятором ЭМ-поля. По предположению Планка энергия каждого осциллятора поля частотыνквантуется, то есть зависит от целочисленного параметра, а значит, изменяется дискретным образом (скачком):

, (1)

где ε₀(ν)—минимальныйквант(порция) энергии, которым может обладать осциллятор поля частотыν.

На основе этого предположения Планк получил следующее выражение для испускательной способности АЧТ:

, (2)

где с = 3·10⁸м/с—скорость света,k = 1,38·10⁻²³Дж/К—постояннная Больцмана.

В соответствии с теоремой Вина необходимо положить, что квант энергии осциллятора поля пропорционален его частотеν:

, (3)

где коэффициент пропорциональности h=6,62·10⁻³⁴Дж·с или называется постоянной Планка, ω=2πν—циклическая частота излучения (осциллятора поля). Подставив (3)в формулу (2),получим

(4)

(5)

Для практических расчетов удобно подставить значения постоянных c, k, hи записать формулу Планка в виде

, (6)

где a₁ = 3,74·10⁻¹⁶Вт·м², a₂ =1,44·10⁻²м·К.

Полученное выражение для дает правильное описание закона излучения АЧТ, соответствующее эксперименту. Максимум функции Планка можно найти вычислив производнуюи приравняв ее к нулю, что дает

. (7)

Это первый закон Вина. Подставив λ = λ_mв выражение для функции Планка, получим

(8)

Это второй закон Вина. Интегральная энергетическая светимость (площадь под графиком функции Планка) находится интегрированием функции Планка по веем длинам волн. В результате получим(см. учебник):

(9)

Этозакон Стефана–Больцмана. Таким образом, формула Планка объясняет все опытные законы излучения АЧТ.

Примечание. В задачах, если речь идет об энергетической светимости тела в малом интервале длин волн , можно считать, и тогда

. (10)