Шпоры / Физика шпорки

Постоянный ток. (Вопрос 18)

опр\Эл.ток – это напр-ый перенос заряда через произв-ю пов-ть S.За напр. тока приним. напр-е + зарядов.Сила тока(I,J)- это заряд переносимый через поперечное сечение пров-ка в единицу времени.Сила тока – скаляр,знак кот-го зависит от выбранного напр. обхода уч-ка цепи.

Плотность тока(j) – это сила тока через 1 площади пов-ти перпенд-ой напр. тока. Плотность тока – вектор , за напр-е кот-го приним. напр-е вект-а скор-ти напр-го движ-я + зарядов. Сила тока I м.б. выражена через j откуда .Знак I зависит от выбора напр-я нормали n к пов-ти S , что в случае уч-ка эл-ой цепи экв-но выбору напр-я обхода этого уч-ка.Плотность тока при переносе + и – зарядов = где (Кл/м3)-объемные плотности + и – зар-ов, - скорости их напр-я движ-я (1/м3)- концентрации + и – зарядов.В металле =0 и опр\Способность пров-ка препятстовать прохожд-ю эл. тока через него наз-ся сопротивлением пр-ка. Из опыта: где l и S – длина и площадь сечения (Ом*м) – удельное сопр-е пр-ка(опр-ся из опыта)

Ур-е непрервности.

Дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком -.

Дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

▼J=-∂ρ/∂t

Электрическое сопротивление — мера способности тел препятствовать прохождению через них электрического тока. Сопротивлением (резистором) также называют радиодеталь, оказывающую электрическое сопротивление току.

R=U/I, Ом

(Вопрос 19)

Магнитным полем называется одна из форм проявления электромагнитного поля.

Магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами, частицами и телами, облалающими магнитным моментом, а также изменяющимся во времени электрическим полем.

На электрически заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца, которая направлена всегда перпендикулярно направлению движения. Величина этой силы зависит от направления движения частицы по отношению к вектору магнитной индукции и определяется выражением

→

Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости и не изменяет модуль скорости движущейся заряженной частицы, а лишь изменяет направление движения. Это означает, что сила Лоренца на совершает работы.

Магнитная индукция dВ поля в вакууме малого элемента проводника длиной dl, по которому протекает электрический ток I, определяется выражением

(закон Био-Савара-Лапласа)

Циркуляцией вектора магнитной индукции В по заданному контуру называется интеграл

закон полного тока для магнитного поля в вакууме

(теорема о циркуляции вектора магнитной индукции)

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

В магнитном поле на элемент проводника dl с током I действует сила dF, которая равна

→

(закон Ампера)

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов». В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую плоскую замкнутую проводящую рамку площади , по которой течёт ток . При этом магнитным моментом диполя называют величину μ=ISn, где n — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

(Вопрос 13)

Электростатическое по́ле - поле, созданное неподвижными электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов).

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу действующую на пробный заряд помещенный в это поле. Пробный заряд должен быть малым, что бы не повлиять на характеристику электростатического поля.

Основные характеристики:

Напряжённость электрического по́ля — векторная характеристика электрического поля в данной точке, равная отношению силы , действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда q:

Электростатический потенциал — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда. Напряжённость электростатического поля Е и потенциал φ связаны соотношением:

Поскольку потенциал может быть определён с точностью до произвольной постоянной, то непосредственный физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, которая определяется как:

где φ1 — потенциал в точке 1, φ2 — потенциал в точке 2, — работа поля по переносу пробного заряда q * из точки 1 в точку 2. При этом считается, что все остальные заряды при такой операции «заморожены».

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора i, проведённого от отрицательного заряда к положительному, и помноженного на абсолютную величину зарядов q называется дипольным моментом:

Во внешнем электрическом поле E на диполь действует момент сил , который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна

(Вопрос 14)

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физический смысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Если внутри рассматриваемой поверхности зарядов нет, то число входящих в нее силовых линий равно числу выходящих и суммарный поток вектора напряженности равен нулю.

Теорема о суммировании зарядов позволяет понять смысл и определить границы применимости известной теоремы Остроградского-Гаусса. В электродинамике существуют понятия потоков напряженности и индукции электрического и магнитного полей. Напряженность и индукция определяются градиентами потенциалов.

В свою очередь они определяют число силовых линий и линий индукции, исходящих из заряженного тела (заряда). Существует прямая пропорциональная связь между величинами электрических и магнитных зарядов и количествами силовых линий и линий индукции.

Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что суммарное число линий, проходящих через замкнутую поверхность, охватывающую электрические и магнитные заряды, равно алгебраической сумме линий, выходящих из каждого заряда в отдельности. Заметим, что линии напряженности и индукции – это крайне формальные понятия, в течение длительного времени затруднявшие правильное понимание электрических и магнитных явлений.

Вместе с тем эти понятия легко получить из общей теории, так как напряженность и индукция непосредственно связаны (пропорциональны) с потоком нанозаряда, а сам поток – с величиной излучающего его макро или микрозаряда.

Таким образом, из общей теории как частный случай вытекает теорема Остроградского-Гаусса. Она есть следствие теоремы о суммировании зарядов, справедливой только для стационарного режима и только в условиях, когда отсутствует взаимное влияние между зарядами. В реальных условиях теорема Остроградского-Гаусса неточно отражает действительность.

(Вопрос 15)

Диэлектрики в электрическом поле.

При внесении в электрическое поле каких-либо диэлектриков в них происходят изменения, а именно, возникают индукционные заряды: на ближайшей к влияющему заряженному телу части диэлектрика возникают разноименные с зарядом влияющего тела, а на удаленной части диэлектрика - одноименные заряды. То есть, на первоначально незаряженном диэлектрике в электрическом поле возникают электрические заряды, появляются электрические полюсы. Это явление получило название поляризации диэлектриков.

Если в электрическом поле разъединить диэлектрик, то после удаления поля диэлектрик станет электрически нейтральным (в отличие от проводника). Это связано с тем, что в диэлектрике заряды обеих знаков связаны друг с другом и могут перемещаться только в пределах молекулы (в отличие от свободных электронов в проводнике).

При поляризации диэлектрика заряды в пределах каждой молекулы смещаются в противоположные стороны и образуется электрический диполь. Следовательно, каждая молекула приобретает электрический момент:p=q·l.

Здесь l - вектор смещения. Его величина равна длине диполя, направление - от отрицательного заряда к положительному.

Для количественной характеристики поляризации диэлектрика служит специальная физическая величина, вектор поляризации Р. Вектором поляризации называют электрический момент единицы объема диэлектрика. Он равен векторной сумме электрических моментов всех молекул, заключенных в единице объема.

В изотропном диэлектрике вектор поляризации связан с вектором напряженности следующим образом:P=aE,

где a получила название коэффициента эректризации или диэлектрической восприимчивости данного вещества.

Введем новую величину, называемую вектором электростатической индукции или вектором электрического смещения. Она, по определению, равна D=E+4pP

Подставляя Р, получим, что D=E(1+4pa)=eE.

Определенная так величина e носит название диэлектрической проницаемости вещества.

Заметим, что при внесении в электрическое поле диэлектрика напряженность в диэлектрике будет в e раз меньше напряженности того же поля в вакууме.

Математическая запись закона Кулона для диэлектриков имеет вид:

E(r)=q/(er2).

Поляризация диэлектриков — явление, связанное с поляризацией связанных зарядов в диэлектрике и поворотом электрических диполей под воздействием внешнего электрического поля. Поляризацию диэлектриков характеризует вектор электрической поляризации. В зависимости от механизма поляризации, поляризация диэлектриков делится на несколько видов, среди которых можно отметить — электронную, ионную и ориентационную поляризацию. Поляризация диэлектриков имеет максимальное значение в статических электрических полях. В переменных полях, в связи с наличием инерции электронов, ионов и электрических диполей, вектор электрической поляризации зависит от частоты. В связи с этим вводится понятие дисперсии диэлектрической проницаемости

(Вопрос 17)

Энергия электрического поля.

Рассмотрим две параллельные проводящие пластины, расстояние между которыми мало по сравнению с их размерами. Предположим, что все силовые линии, начинающиеся на одном проводнике, заканчиваются на другом. Такую конструкцию называют конденсатором. Другие примеры конденсаторов - цилиндрический конденсатор, шаровой конденсатор и т.д.

Поскольку все силовые линии начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, отсюда следует, что заряды на обкладках конденсатора равны по величине и противоположны по знаку.

Напряженность поля между обкладками пропорциональна заряду на обкладках:

q=CU.

Коэффициент С - электрическая емкость конденсатора.

Из формулы следует, что емкость конденсатора измеряется зарядом на каждой из обкладок, если напряжение между ними равно единице. Единица измерения емкости - фарад. Единица емкости - это емкость такого конденсатора, у которого при изменении заряда на один Кулон напряжение между обкладками меняется на один Вольт.

Емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади обкладок и обратно пропорциональна расстоянию между обкладками.

Кроме этого, емкость конденсатора зависит от диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками, а именно от его диэлектрической проницаемости:

C/C0=e,

Где C0 - емкость конденсатора, когда его обкладки находятся в вакууме, С - емкость того же конденсатора, когда между обкладками помещен диэлектрик проницаемостью e.

Емкости некоторых конденсаторов простой формы:

Плоский конденсатор:

C=S/4pd,

где S - площадь каждой пластины, d - расстояние между ними.

Шаровой конденсатор: a - радиус внутренней обкладки, b - внешней.

U=q(1/a-1/b), C=q/U

Цилиндрический конденсатор: a - радиус внутреннего цилиндра, b - внешнего (цининдры коаксиальны).

U=2q·ln(b/a), C=q/U

Здесь и заряд и емкость конденсатора рассматриваются на единицу длины цилиндрического конденстора.

Двухпроводная линия.

Взяты два параллельных цилиндрических провода, сечение каждого из которых а, расстояние между ними d.

U=4q·ln(d/a), С=q/U.

Здесь заряд и емкость также даны на единицу длины конденсатора.

Энергия заряженного конденсатора вычисляется по формулам:

W=CU2/2=q2/2C=qU/2.

Если конденсаторы соединены параллельно, то емкость такой батареи складывается как сумма емкостей всех конденсаторов (поскольку напряжение общее а заряд суммируется). При последовательном соединении одинаковым будет заряд, равный полному заряду батареи, а напряжение будет равно сумме напряжений. Тогда суммируются обратные величины емкостей:

1/C=S(1/Ci).

Энергия сосредоточена в самом электрическом поле. Выразим энергию плоского конденсатора через характеристику поля - напряженность:

W=(1/2)(eS/4pd)U2=(e/8p)(U/d)2Sd.

Поскольку энергия зависит от объема занимаемого полем (Sd), введем понятие объемной плотности энергии электрического поля:

U=eE2/8p.

(Вопрос 21)

Электромагни́тная инду́кция — возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в проводнике, находящемся в изменяющемся магнитном поле или благодаря движению проводника относительно неподвижного магнитного поля.

Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем в 1831 году. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводнике пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина ЭДС не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение проводника в неоднородном магнитном поле. Электрический ток вызванный этой ЭДС называется индукционным током.

Закон Фарадея

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея

,Где — электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура,

ΦB — магнитный поток через поверхность, натянутую на этот контур.

Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца

Правило Ленца: Индукционный ток возникающий в замкнутом проводящем контуре, имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток..

Правило Ленца является следствием закона сохранения энергии.

Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать следующим образом:

Где — электродвижущая сила,

N — число витков,

ΦB — магнитный поток через один виток.

Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока.

При изменении тока в контуре меняется поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, в результате чего в нём возбуждается ЭДС самоиндукции. Направление ЭДС оказывается таким, что при увеличении тока в цепи эдс препятствует возрастанию тока, а при уменьшении тока — убыванию.

Величина ЭДС пропорциональна скорости изменения силы тока I и индуктивности контура L:

Индуктивность — физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи.

Если в проводящем контуре течёт ток, то ток создаёт магнитное поле. Величина магнитного потока, пронизывающего контур, связана с величиной тока следующим образом:

Φ = LI

В случае катушки состоящей из N витков:

Ψ = LI

Величину

называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если поток, пронизывающий каждый из витков одинаков, то Ψ = NI

Коэффициент пропорциональности L как раз и называется индуктивностью (или, строго говоря, коэффициентом самоиндукции контура). Индуктивность зависит от размеров и формы контура, а также от магнитной проницаемости окружающей среды.

(Вопрос 1)

Кинематика материальной точки.

Механическое движение

Механическим движением называется изменение положения тела (в пространстве) относительно других тел (с течением времени).

Материальная точка

Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой.

Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел.

Мгновенная скорость

Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.

Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения s к малому промежутку времени t, за который произошло это перемещение:

; .

Мгновенная скорость – векторная величина. Мгновенная скорость перемещения всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения тела.

Единицей скорости является 1 м/с. Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.

Ускорение

Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, т.е. это мера быстроты изменения скорости:

; .

Метр в секунду за секунду – это такое ускорение, при котором скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за время 1 с изменяется на 1 м/с.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости () при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.

Если тело движется по прямой и его скорость возрастает, то направл­ение вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости; при убывании скорости – противоположно направлению вектора скорости.

При движении по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости.

Равномерное, равноускоренное прямолинейное движение

Движение с постоянной скоростью называется равномерным прямолинейным движением. При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением. При таком движении скорость тела изменяется с течением времени.

Кинематика вращательного движения. При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы , вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол . Тогда величина определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость — вектор; см. ниже). При неравномерном вращении выражение B8.1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t.

(Вопрос 2)

Явление сохранения скорости движения тела при отсутствии внешних воздействий называется инерцией.

Всякий покой и движение тел относительны. Одно и то же тело может находиться в состоянии покоя в одной системе отсчета и двигаться с ускорением в другой. Но существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела. Это утверждение называется первым законом Ньютона (законом инерции).

Системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии внешних воздействий движется прямолинейно и равномерно, называют инерциальными системами отсчета.

Инерциальных систем отсчета может быть сколь угодно много, т.е. любая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно по отношению к инерциальной, также является инерциальной. Истинных (абсолютных) инерциальных систем отсчета нет.

Масса

Причиной изменения скорости движения тел всегда является его взаимодействие с другими телами.

При взаимодействии двух тел всегда изменяются скорости и первого, и второго тела, т.е. оба тела приобретают ускорения. Ускорения двух взаимодействующих тел могут быть различными, они зависят от инертности тел.

Инертность – способность тела сохранять свое состояние движения (покоя). Чем больше инертность тела, тем меньшее ускорение оно приобретет при взаимодействии с другими телами, и тем будет ближе его движение к равномерному прямолинейному движению по инерции.

Масса – физическая величина, характеризующая инертность тела. Чем большей массой обладает тело, тем меньшее ускорение оно получает при взаимодействии.

За единицу массы в СИ принят килограмм: [m]=1 кг.

Сила

В инерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела происходит под действием других тел. Сила – это количественное выражение действия одного тела на другое.

Сила – векторная физическая величина, за ее направление принимают направление ускорения тела, которое вызывается этой силой. У силы всегда есть точка приложения.

В СИ за единицу силы принимаются сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с². Эта единица называется Ньютоном:

.

Второй закон Ньютона

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

.

Таким образом, ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально его массе:

.

На основании опытных данных были сформу­лированы законы Ньютона. Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо про­порционально равнодействующей всех сил, дей­ствующих на тело, обратно пропорционально его массе и направлено так же, как и равнодействую­щая сила: а = F/m.

Для решения задач закон часто записывают в виде: F = та.

Третий закон Ньютона

Тела действуют друг на друга с силами, вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одинаковую физическую природу; они приложены к разным телам и поэтому друг друга не компенсируют.

Импульс тела

По 2-му закону Ньютона изменение скорости тела возможно только в результате его взаимодействия с другими телами, т.е. при действии силы. Пусть на тело массой m в течение времени t действует сила F и скорость его движения изменяется от v_o до v. Тогда на основании 2-го закона Ньютона:

.

Величина называется импульсом силы. Импульс силы – это векторная физическая величина, равная произведению силы на время ее действия. Направление импульса силы совпадает с направлением силы.

.

– импульс тела (количество движения) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Направление импульса тела совпадает с направлением скорости.

Импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела.

Законы Кеплера.

Три закона движения планет, открытые И. Кеплером в начале 17 в.  Первый К. з. В невозмущённом движении (т. е. в задаче двух тел) орбита движущейся точки есть кривая второго порядка, в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения. Таким образом, орбита материальной точки в невозмущённом движении — это некоторое коническое сечение, то есть окружность, эллипс, парабола или гипербола. Второй К. з. В невозмущенном движении площадь, описываемая радиус-вектором движущейся точки, изменяется пропорционально времени. Первые два К. з. имеют место только для невозмущенного движения, происходящего под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра силы. Третий К. з. В невозмущенном эллиптическом движении двух материальных точек произведение квадратов времен обращения на суммы масс центральной и движущейся точек как кубы больших полуосей их орбит, т. е.

,где Т₁ и Т₂ — периоды обращения двух точек, m₁ и m₂ — их массы, m₀ — масса центральной точки, a₁ и а₂ — большие полуоси орбит точек. Пренебрегая массами планет по сравнению с массой Солнца,  получаем третий К. з. в его первоначальной форме: квадраты периодов обращений двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит. Третий К. з. может быть применен только для случая эллиптических орбит, а поэтому не имеет такого общего значения, как два первых закона.

(Вопрос3)

Механическая работа

Механическая работа – это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы и на косинус угла между направлением действия силы и направления перемещения (скалярное произведение векторов силы и точки ее перемещения):

.

Работа измеряется в Джоулях. 1 Джоуль – работа, которую совершает сила 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м в направлении действия силы:.

Работа может быть положительной, отрицательной, равной нулю:

1.  = 0  A = FS > 0;

2. 0 <  < 90  A > 0;

3.  = 90  A = 0;

4. 90 <  < 180 A < 0;

5.  = 180  A = –FS < 0.

Сила, действующая перпендикулярно перемещению, работы не совершает.

Мощность

Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени: – средняя мощность.

. 1 Ватт – это мощность, при которой совершается работа 1 Дж за 1 с.

Мгновенная мощность:

.

Потенциальное поле, консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. — силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М) существует такая однозначная функция u (М) (потенциал поля), что а = gradu (см. Градиент). Если П. п. задано в односвязной области , то потенциал этого поля может быть найден по формуле,в которой AM — любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из  с точкой М, t — единичный вектор касательной кривой AM и / — длина дуги AM, отсчитываемая от точки А. Если а (М) — П. п., то rot a = 0 (см. Вихрь векторного поля). Обратно, если rot а = 0 и поле задано в односвязной области и дифференцируемо, то а (М) — П. п. Потенциальными являются, например, электростатическое поле, поле тяготения, поле скоростей при безвихревом движении.

Механическая энергияСумму кинетической и потенциальной энергий тела в физике называют механической энергией этого тела.

Связь между потенциальной энергией и силой.

Установим связь между потенциальной энергией и силой. Работа, которую совершают консервативные силы, можно представить как убыль потенциальной энергии:

А₁₂ = U₁ – U₂ = - (U₂ – U₁) = - DU,

(Вопрос 4)

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.

1. Для точки  уравнение движения относительно инерциальной системы отсчёта:Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:.

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как  то.

Это уравнение движения центра масс системы  материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.

2. Умножим уравнение движения точки  слева векторно на  и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:.

Теорема об изменении кинетического момента системы:

Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки  на  и суммируя:

или.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то  Здесь:

 - потенциал внешнего силового поля; - потенциал взаимодействия точек; - потенциальная энергия системы точек во внешнем поле; - потенциальная энергия взаимодействующих точек.

(Вопрос 5)

Законы сохранения в механике

Импульс тела

По 2-му закону Ньютона изменение скорости тела возможно только в результате его взаимодействия с другими телами, т.е. при действии силы. Пусть на тело массой m в течение времени t действует сила F и скорость его движения изменяется от v_o до v. Тогда на основании 2-го закона Ньютона:

.

Величина называется импульсом силы. Импульс силы – это векторная физическая величина, равная произведению силы на время ее действия. Направление импульса силы совпадает с направлением силы.

.

– импульс тела (количество движения) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Направление импульса тела совпадает с направлением скорости.

Импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела.

Закон сохранения импульса

Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их взаимодействии. Обозначим скорости тел массами m₁ и m₂ до взаимодействия через и , а после взаимодействия – через и .

По 3-му закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому из можно обозначить F и –F. Тогда:

.

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Эксперименты показывают, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, – в замкнутой системе – геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной. Импульс замкнутой системы тел есть величина постоянная – закон сохранения импульса (з.с.и.).

Реактивное движение

В реактивном двигателе при сгорании топлива образуются газы, нагретые до высокой температуры, которые выбрасываются из сопла двигателя. Двигатель и выбрасываемые им газы взаимодействуют между собой. На основании з.с.и. при отсутствии внешних сил сумма векторов импульсов взаимодействующих тел остается постоянной. До начала работы двигателя импульс двигателя и горючего был равен нулю, следовательно, после включения двигателя сумма векторов импульса ракеты и импульса истекающих газов равна нулю:

.

Эта формула применима для вычисления скорости двигателя при условии небольшого изменения его массы в результате сгорания топлива.

Реактивный двигатель обладает замечательным свойством: для движения ему не нужны ни земля, ни вода, ни воздух, т.к. он двигается в результате взаимодействия с газами, образующимися при сгорании топлива. Поэтому реактивный двигатель может двигаться в безвоздушном космическом пространстве.

Кинетическая энергия

Установим связь между работой постоянной силы и изменением скорости тела. Рассмотрим случай, когда на тело действует постоянная сила и направление действия силы совпадает с направлением перемещения тела:

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на его скорость называется кинетической энергией тела:

.

Тогда из формулы *: – теорема о кинетической энергии: Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело.

Кинетическая энергия всегда положительна, т.е. зависит от выбора системы отсчета.

Вывод: в физике абсолютное значение энергии вообще, и кинетической энергии в частности, смысла не имеет. Речь может идти только о разнице энергий или об изменении энергии.

Энергия – способность тела совершать работу. Работа – мера изменения энергии.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел, зависит от взаимного их расположения.

Работа силы тяжести (потенциальная энергия тела в поле силы тяжести)Если тело перемещается вверх, работа силы тяжести отрицательна; вниз – положительна.

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а зависит лишь от перепада высот (от изменения положения тела над поверхностью земли).

Работа силы тяжести по замкнутому контуру равна нулю.

Силы, работа которых по замкнутому контуру равна нулю, называются потенциальными (консервативными). В механике потенциальными являются сила тяжести и упругая сила (в электродинамике – сила Кулона), непотенциальными – сила трения (в электродинамике – сила Ампера, Лоренца).

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести: .

Работа потенциальной силы всегда равна убыли потенциальной энергии:

.

Работа упругой силы (потенциальная энергия упруго деформированного тела)

/* Если какая-то физическая величина изменяется по линейному закону, ее среднее значение равно полусумме начального и конечного значений – F_y */

Потенциальная энергия упруго деформированного тела: .

Закон сохранения полной механической энергии

Полная механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел, входящих в систему:

.

По теореме о кинетической энергии работа всех сил, действующих на все тела . Если в системе все силы потенциальные, то справедливо утверждение: . Следовательно:

Полная механическая энергия замкнутой системы есть величина постоянная (если в системе действуют только потенциальные силы).

Если в системе есть силы трения, то можно применить следующий прием: силу трения назначаем внешней силой и применяем закон изменения полной механической энергии:

.

Работа внешней силы равна изменению полной механической энергии системы.

АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАР

1. Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар. Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело. Примером может служить попадание ружейной пули в подвижную мишень, например в ящик с песком, подвешенный на веревках.

Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и силы трения, в телах возбуждаются колебания и волны и т. д. Однако если удар неупругий, то в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твердое тело. Его скорость можно найти, не вдаваясь в механизм явления, а используя только закон сохранения импульса. Рассмотрим абсолютно неупругий удар на примере столкновения шаров. Пусть шары движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями. В этом случае говорят, что удар является центральным. Обозначим через v общую скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает где m1 и m2 — массы шаров.

Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР

1. Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при абсолютно упругом ударе. Так называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. В чистом виде такой случай при столкновении макроскопических тел не встречается. Но к нему можно подойти довольно близко. Это имеет место, например, при столкновениях бильярдных шаров из слоновой кости или подходящей пластмассы. При столкновениях атомных, ядерных или элементарных частиц может реализоваться и случай абсолютно упругого удара в чистом виде. Такая возможность связана с квантовыми законами. Внутренние состояния и соответствующие им значения внутренней энергии атомных частиц дискретны (квантованы). Частицы при столкновении могут разлететься без изменения внутренних состояний. Тогда столкновение и будет абсолютно упругим. Так будет всегда, когда кинетической энергии сталкивающихся частиц недостаточно, чтобы перевести хотя бы одну из них из нормального в ближайшее возбужденное состояние, характеризующееся большим значением внутренней энергии. При больших энергиях столкновение может сопровождаться возбуждением одной или обеих частиц с увеличением их внутренних энергий. Наконец, может быть и такой случай, когда сталкиваются возбужденные частицы и в результате столкновения их внутренние энергии уменьшаются. Во всех таких случаях говорят о неупругих ударах.