4. Линейные измерения

1. Измерения. Погрешности измерений

Измерение – процесс сравнения физической величины с эталоном (единицей измерений в системе СИ). Единицей линейных измерений (длин линий, превышений) является метр – одна сорока миллионная длины дуги Парижского меридиана, принятая на международном конгрессе в конце 17-го века. Единицей угловых измерений является градус –1/360 часть окружности, введенная Героном в 6 веке до нашей эры. Эта единица и в настоящее время входит в международную систему измерений (СИ).

Абсолютно точно сравнение (измерение) невозможно. Все измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Погрешности делятся на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности. Погрешности, превышающие заданный предел _ПРЕД, называемый предельной погрешностью (или доп. - допустимая погрешность). Предельные погрешности измерений нормируются инструкциями, строительными нормами и правилами (СНиП).

Источником грубых погрешностей являются промахи в работе. Для обнаружения и исключения грубых ошибок измерения, как правило, выполняют дважды и независимо друг от друга. Например, длины линий измеряют в прямом и обратном направлениях. Если расхождения между двумя измерениями допустимы, а они нормируются, то они не содержат грубых ошибок и принимаются в вычислительную обработку. В противном случае измерения повторяют.

Систематические погрешности. Погрешности, входящие в результаты измерений по функциональному закону. Например, погрешности за изменение температуры при измерении длин линий стальными рулетками.

Систематические погрешности исключаются из результатов измерений либо вводом поправок (поправка в длину линии за изменение температуры). Либо соответствующей методикой работ (исключение деформации бумаги при определении координат точек по карте измерением от двух координатных линий).

Случайные погрешности. Погрешности, остающиеся в результатах измерений после исключения грубых и систематических погрешностей, называются случайными  . Если l – результат измерения , а Х – истинное значение измеряемой величины, то

 = l – X . (4.1)

Случайная погрешность измерения нам неизвестна. Но если n раз измерить одну и ту же величину в равных условиях (такие измерения называются равноточными), то ряд случайных погрешностей _i = l_i – X при i=1 до n обладает статистической закономерностью. На основании статистической закономерности, установленной Гауссом в середине 17-го века, производится оценка точности результатов измерений. То есть определение степени доверия к результатам измерений.

Для оценки точности результатов измерений необходимо ввести единицу (критерий) точности измерений. Такой единицей является величина, введенная Гауссом:

m = ² ] / n , (4.2)

 соответствует (4.1), n – число измерений. Величина m называется средней квадратической погрешностью измерения. Чем меньше m, тем выше точность измерений (тем выше степень доверия к ним). И наоборот, чем больше m , тем грубее выполнены измерения.

Средняя квадратическая погрешность измерения и в настоящее время является критерием точности измерений. Она входит в шифры геодезических приборов. Например, шифры теодолитов для угловых измерений: Т30, Т15, Т5 и т. д. Буква Т обозначает теодолит, а цифра – среднюю квадратическую погрешность измерения одним приемом в секундах. Или шифры нивелиров: Н-10, Н-3, Н-0.5. Буква обозначает нивелир, а цифра – среднюю квадратическую погрешность нивелирования на 1 км хода.

В соответствии со статистической закономерностью ряда случайных погрешностей одной и той же величины 67 измерений содержат погрешности, не превышающие m, 95 измерений содержат погрешности, не превышающие 2m, 99.7 содержат погрешности, не превышающие 3m.

Если выполнить 1000 равноточных измерений одной и той же величины, то только 3 измерения будут содержать погрешности больше 3m. Эта величина 3m и принята за предельную погрешность

D_ПРЕД=3m (4.3)

Число 99.7% (или 0.997) называется доверительной вероятностью p. Если угол измеряется одним приемом теодолитом Т30, то предельная погрешность измерения D_ПРЕД=1.5’, а если теодолитом Т15, то D_ПРЕД=45” с вероятностью утверждения p=0.997. Погрешности, превышающие D_{ПРЕД ,} являются грубыми.

Если погрешность измерения не зависит от измеряемой величины (например, угол, превышение), то оценка точности производится абсолютными погрешностями. Погрешность угла в секундах, погрешность превышения в мм. Если погрешность измерения зависит от измеряемой величины (длины линий, измеряемые рулеткой, лентой, площади участков), то оценка точности производится относительными погрешностями. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к самой величине. Представляется дробью, числитель которой единица, а знаменатель целое число, округленное до двух значащих цифр. Так, предельная относительная погрешность измерения длины линии будет задана

D_ПРЕД / D = 1 / N , (4.4)

D – длина линии, N – целое число. Например, по СНиП погрешности измерения длин линий не должны превышать 1/2000. Следовательно, предельная погрешность на длину линии 100 м не должна превышать 5 см. Или, расхождение между двумя измерениями D=4 см при D=140.45 м. Относительное расхождение будет равно: D/D=0.04м/140.45м=1/3510=1/3500.