2.4. Решение задач по планам и картам

в

Решение плановых задач: определение координат точек, длины и направления линии (ориентирование), решение прямой и обратной геодезических задач.Решение задач по высоте: определение отметок точек по горизонталям, определение уклонов линий, построение профилей по заданным направлениям. Методика решения задач изучается на практических занятиях. Решение этих задач является основой горизонтальной и вертикальной планировки строительных участков, проектирования линейных сооружений, подготовки данных для переноса проекта на местность.

Определение площадей. Площади по планам и картам могут быть определены графически с разбивкой на простые геометрические фигуры, измерением элементов фигур и вычислением по формулам геометрии. Точность такого способа 1/50. Если участок оконтурен прямыми линиями, то площадь можно вычислить по координатам вершин: П=(x_i ( y_i+1 – y_i-1 ) ) / 2 при i=1 до n , где i -текущая точка, при i = 1 y_i-1 = у_n , n – число вершин участка. По формуле составлена программа для ЭВМ, решение по которой занимает несколько минут. Если координаты х_i , y_i определены по результатам линейных и угловых измерений на местности, то точность определения площади 1/1000 – 1/1500 (в зависимости от точности линейных и угловых измерений). В строительстве подсчет площадей участков ведут этим способом.

Тема 3. Теория математической обработки геодезических измерений

3.1. Измерения и их погрешности

Измерение – процесс сравнения физической величины с эталоном (единицей измерений). Абсолютно точно измерение невозможно. Все измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Погрешности делятся на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности. Погрешности превышающие заданный предел _ПРЕД , называемый предельной погрешностью (или доп. - допустимая погрешность). Предельные погрешности измерений нормируются в строительстве СНиПами. Источником грубых погрешностей являются промахи в работе. Для обнаружения и исключения грубых ошибок измерения, как правило, выполняют дважды и независимо друг от друга. Например, длины линий измеряют прямо и обратно.

Систематические погрешности. Погрешности входящие в результаты измерений по функциональному закону. Например, погрешности за изменение температуры при измерении длин линий стальными рулетками. Систематические погрешности исключаются из результатов измерений либо

-10 -

вводом поправок (поправка в длину линии за изменение температуры, поправка в горизонтальное проложение за наклон и т.д.), либо соответствующей методикой работ (исключение деформации бумаги при определении координат точек по карте).

Случайные погрешности. Погрешности, остающиеся в результатах измерений после исключения грубых и систематических погрешностей, называются случайными . Если l – результат измерения, а Х – истинное значение измеряемой величины, то  = l – X. Случайная погрешность измерения нам неизвестна. Но если n раз измерить одну и ту же величину в равных условиях (такие измерения называются равноточными), то ряд случайных погрешностей _i = l_i – X при i=1 до n обладает статистической закономерностью.

1. По абсолютной величине случайные погрешности не превосходят заданного предела (свойство ограниченности):  _i  _ПРЕД.  _i  _ПРЕД является грубой, измерение повторяется.

2. Погрешности, равные по абсолютной величине и противоположные по знакам, равновероятны (свойство симметричности): р ( +  _i ) = р( -  _i ). (р – вероятность события).

3. Свойство компенсации: Lim [ ] / n =0 при n  , где […] – символ суммы по Гауссу.

4.Свойство рассеивания: Lim [  ² ] / n =  ² при n  , где  - стандартная погрешность, характеризующая условия измерений. Чем меньше , тем выше точность измерений.

5. Чем меньше случайная погрешность по абсолютной величине, тем чаще она встречается (условие плотности). Экспериментально установлено, что вероятность р( _i  )=0.67, р(_i/2 ) =0.95, р (   _i   3 ) = 0.997 (3 погрешности из 1000 больше 3). На этом основании приняты предельные погрешности, больше которых погрешности являются грубыми. В строительстве принимают  _ПРЕД = 3 с вероятностью р=0.997 ( правило 3 ).

2. Оценка точности непосредственных измерений

За критерий оценки точности измерений принята стандартная погрешность , приближенное значение которой при конечном n числе измерений m=[²]/n, называемое средней квадратической погрешностью (формула Гаусса ). Чем больше n взято для вывода m, тем точнее оценка. В пределе lim m =  при n   . При n = 20 погрешность оценки 15  от m , что вполне приемлемо для оценки точности результатов измерений. Предельная погрешность _ПРЕД =3m с вероятностью р=0.997. Измерения, погрешности которых больше 3m, бракуются.

Точность измерения длин линий, площадей, объемов оценивается относительной погрешностью: отношением абсолютной погрешности к самой величине. Она представляется в виде правильной дроби, числитель которой единица: _ПРЕД /D=1/D: D – измеренное значение длины линии.

Вгеодезии принят принцип многократности измерений. Если выполненоn измерений одной и той же величины в равных условиях (равноточные измерения) l ₁ , l ₂ , . . ., l _n , то за окончательный результат принимают среднее арифметическое l₀ = [ l ] / n, называемым вероятнейшим значением Отклонения от вероятнейшего значения называются вероятнейшими погрешностями v_i = l _i – l ₀ при i = 1 до n. По ним можно подсчитать среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя m =  [ v ² ] / ( n – 1 ) . Среднее арифметическое из n измерений точнее отдельного измерения. Точность l₀ оценивается формулой M = m /  n . Так, если величина измеряется независимо 2 раза, то погрешность среднего в 1.4 раза меньше погрешности отдельного измерения. Принцип используется в геодезии для ослабления влияния случайных погрешностей. При этом нецелесообразно применять большое число измерений, так как для повышения точности в 2 раза потребуется 4 измерения, а для повышения в 4 раза уже 16 измерений.

2. Оценка точности функции измеренных величин

В геодезии конечным результатом являются функции измеренных величин. Если погрешности измерений известны, то как рассчитать погрешности функций измеренных величин?

Пусть в общем виде функция Z = f ( x , y, . . . , u ) , где x , y , . . . , u независимо измеренные аргументы со средними квадратическими погрешностями m _x , m _y , . . . , m _u . Средняя квадратическая погрешность m_z функции Z подсчитывается по формуле: m²_z=(df / dx )² m²_x+ ( df / dy )² m²_y + . . . + (df / du )² m²_u , где df / dx , df / dy , . . . , df / du - частные производные функции по измеренным

-11 -

аргументам. Умение оценки точности функции измеренных величин связано с умением вычислять частные производные функции.

Погрешность суммы измеренных величин. В треугольнике каждый угол измерен с точностью m_ = 0.5^’ . Чему равна погрешность суммы углов?  = ₁ + ₂ + ₃ . Так как m_1 = m_2 = m_3 = m_{ ,} то m²_ = 3 m²_ и m_ = m_ 3=0.8^’.

Погрешность разности измеренных величин. Горизонтальный угол вычисляется как разность двух направлений, определяемых по градуированному кругу теодолита с одинаковой точностью m_н = 0.5’. Чему равна погрешность угла?  = а – в , m_a = m_b = m_н ; m_ = m_н2 = 0.7 ‘ .

Погрешность арифметической средины. Величина измерена n раз: l₁ , l₂ , . . . , l_n. Измерения равноточные: m_l1=m_l2=. . .=m_ln=m. Вероятнейшее значение измеренной величины l₀=[l]n. Чему равна средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения? Запишем функцию l₀ в виде: l₀= l₁ / n+l₂ / n+ . . + l_n / n; после дифференцирования получим M²=m²/ n ; M=m / n. Если угол измерить два раза на различных частях горизонтального круга теодолита с одинаковой точностью 0.7’, то погрешность среднего значения составит 0.5’.

Погрешность площади. . Площадь прямоугольника S = a b . Длины линий измерены с одинаковой относительной погрешностью m _a / a = m _b / b = 1 / 2000 . Чему равна погрешность площади? Находим частные производные функции: ds/da=b; ds/db=a. Подставим в формулу m²_S = b² m²_a + a² m²_b . Разделив обе части на S, перейдем к относительным погрешностям: (m _S / S )²= (m _a / a )² + (m _b / b)²; m _S / S =(1/2000) 2 , m _S = 1/1500. Погрешность площади в  2 больше погрешности линейных измерений.