
- •Саратовский государственный технический университет
- •Тема 1. Общие сведения о фигуре Земли, координатах и об ориентировании линий
- •1.1. Фигура Земли
- •1.2. Системы координат
- •Ориентирование линий
- •Решение основных плановых задач
- •Тема 2. Топографические планы и карты
- •2.1. Метод проекций в геодезии. Влияние кривизны Земли на горизонтальные расстояния и высоты
- •2.2. Топографические планы и карты
- •2.3. Рельеф местности и его изображение на картах и планах
- •2.4. Решение задач по планам и картам
- •Тема 3. Элементы теории математической обработки геодезических измерений
- •3.1. Измерения и их погрешности
- •Оценка точности непосредственных измерений
- •Оценка точности функции измеренных величин
- •3.4. Совместная обработка результатов измерений многих величин
- •Литература
- •Содержание
- •Тема 1. Общие сведения о фигуре Земли, координатах и об ориентировании линий 4
- •Тема 2. Топографические планы и карты 11
- •Тема 3. Элементы теории математической обработки геодезических измерений 17
Оценка точности непосредственных измерений
За критерий оценки точности измерений принята стандартная погрешность , (3.5), приближенное значение которой при конечном числе измерений n
m=
[
2
] / n ,
(3.7)
называемое средней квадратической погрешностью (формула Гаусса ). Чем больше n взято для вывода (3.7) , тем точнее оценка. В пределе lim m = при n . При n = 20 погрешность оценки по формуле (3.7) 15 от m , что вполне приемлимо для оценки точности результатов измерений.
Предельная погрешность рассчитывается по формуле:
ПРЕД = 3m с вероятностью р = 0.997. (3.9)
Измерения, погрешности которых больше 3m , бракуются.
Точность измерения длин линий, площадей, объемов оценивается относительной погрешностью: отношением абсолютной погрешности к самой величине. Она представляется в виде правильной дроби, числитель которой единица:
ПРЕД / D = 1 / D : ПРЕД с вероятностью р = 0.997. (3.9)
D–измеренное значение длины линии. Если СНиП требуют производить линейные измерения с погрешностью не более 1: 2000 , то на 100 м предельная погрешность 0.05 м.
Если выполнено n измерений одной и той же величины в равных условиях (равноточные измерения) l 1 , l 2 , . . ., l n , то за окончательный результат принимают среднее арифметическое l 0 :
l 0 = [ l ] / n , (3.10)
называемым вероятнейшим значением. Обозначив
v i = l i – l 0 при i = 1 до n , (3.11)
которые называются вероятнейшими погрешностями, можно подсчитать среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя, полученную теоретическим путем:
m
=
[ v 2
] / ( n – 1 ) .
(3.12)
Среднее арифметическое из n измерений точнее отдельного измерения. Точность l 0 оценивается формулой
M
= m /
n . (3.13)
Так, если величина измеряется независимо 2 раза , то погрешность среднего в 1.4 раза меньше погрешности отдельного измерения.
Свойство (3.13) используется в геодезии для ослабления влияния случайных погрешностей. При этом нецелесообразно применять большое число измерений, так как для повышения точности в 2 раза потребуется 4 измерения, а для повышения в 4 раза уже 16 измерений.
Оценка точности функции измеренных величин
В геодезии конечным результатом являются функции измеренных величин. Если погрешности измерений известны, то как рассчитать погрешности функций измеренных величин?
Пусть в общем виде функция
Z = f ( x , y, . . . , u ) , (3.14)
где x , y , . . . , u независимо измеренные аргументы со средними квадратическими погрешностями m x , m y , . . . , m u . Средняя квадратическая погрешность m z функции Z подсчитывается по формуле:
m2z = ( df / dx )2 m2x + ( df / dy )2 m2y + . . . + (df / du )2 m2u - (3.15)
где df / dx , df / dy , . . . , df / du - частные производные функции по измеренным аргументам.
Умение оценки точности функции измеренных величин связано с умением вычислять частные производные функции.
П о г р е ш н о с т ь с у м м ы и з м е р е н н ы х в е л и ч и н. В треугольнике каждый угол измерен с точностью m = 0.5’ . Чему равна погрешность суммы углов?
= 1 + 2 + 3 . (3.16)
m2() = (1)2 m21 + (1)2m22 + (1)2 m23 ; но так как m1 = m2 = m3 = m , то m2() = 3 m2 и m = 0.8’ .
П о г р е ш н о с т ь р а з н о с т и и з м е р е н н ы х в е л и ч и н
Горизонтальный угол вычисляется как разность двух направлений, определяемых по градуированному кругу теодолита с одинаковой точностью mн = 0.5’. Чему равна погрешность угла?
= а – в , ma = mb = mн ; (3.17)
m2
= (1)2
m2a
+ (-1)2
m2b
= 2 m2н
; m
= mн
2
= 0.7 ‘ .
П о г р е ш н о с т ь а р и ф м е т и ч е с о й с р е д и н ы. Величина измерена n раз: l1 , l2 , . . . , ln . Измерения равноточные: ml1 = ml2 = . . . = mln = m . Вероятнейшее значение измеренной величины l0 = [ l ] / n. Чему равна средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения? Запишем функцию l0 в виде: l0 = l1 / n + l2 / n + . . . + ln / n; после после дифференцирования получим
m2l 0 = M2 = (1/n)2 m2l 1 + (1/n)2 m2l 2 + . . . + (1/n)2 m2l n = m2 / n ; M = m / n . Ф-ла (3.13)
Если угол измерить два раза на различных частях горизонтального круга теодолита с одинаковой точностью 0.7’ , то погрешность среднего значения составит 0.5’.
П о г р е ш н о с т ь п л о щ а д и. Площадь прямоугольника S = a b . Длины линий измерены с одинаковой относительной погрешностью m a / a = m b / b = 1 / 2000 . Чему равна погрешность площади? Находим частные производные функции: ds/da=b; ds/db=a. Подставим в формулу (3.18): m2S = b2 m2a + a2 m2b . Разделив обе части на S, перейдем к относительным погрешностям : (m S / S )2= (m a / a )2 + (m b / b)2; m S / S = ( 1/2000) 2 , m S = 1/1500. Погрешность площади в 2 больше погрешности линейных измерений.