Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / KONSPEKT11doc.doc
Скачиваний:
161
Добавлен:
27.01.2014
Размер:
246.78 Кб
Скачать
    1. Оценка точности непосредственных измерений

За критерий оценки точности измерений принята стандартная погрешность , (3.5), приближенное значение которой при конечном числе измерений n

m= [ 2 ] / n , (3.7)

называемое средней квадратической погрешностью (формула Гаусса ). Чем больше n взято для вывода (3.7) , тем точнее оценка. В пределе lim m = при n . При n = 20 погрешность оценки по формуле (3.7) 15  от m , что вполне приемлимо для оценки точности результатов измерений.

Предельная погрешность рассчитывается по формуле:

ПРЕД = 3m с вероятностью р = 0.997. (3.9)

Измерения, погрешности которых больше 3m , бракуются.

Точность измерения длин линий, площадей, объемов оценивается относительной погрешностью: отношением абсолютной погрешности к самой величине. Она представляется в виде правильной дроби, числитель которой единица:

ПРЕД / D = 1 / D : ПРЕД с вероятностью р = 0.997. (3.9)

D–измеренное значение длины линии. Если СНиП требуют производить линейные измерения с погрешностью не более 1: 2000 , то на 100 м предельная погрешность 0.05 м.

Если выполнено n измерений одной и той же величины в равных условиях (равноточные измерения) l 1 , l 2 , . . ., l n , то за окончательный результат принимают среднее арифметическое l 0 :

l 0 = [ l ] / n , (3.10)

называемым вероятнейшим значением. Обозначив

v i = l i – l 0 при i = 1 до n , (3.11)

которые называются вероятнейшими погрешностями, можно подсчитать среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя, полученную теоретическим путем:

m = [ v 2 ] / ( n – 1 ) . (3.12)

Среднее арифметическое из n измерений точнее отдельного измерения. Точность l 0 оценивается формулой

M = m / n . (3.13)

Так, если величина измеряется независимо 2 раза , то погрешность среднего в 1.4 раза меньше погрешности отдельного измерения.

Свойство (3.13) используется в геодезии для ослабления влияния случайных погрешностей. При этом нецелесообразно применять большое число измерений, так как для повышения точности в 2 раза потребуется 4 измерения, а для повышения в 4 раза уже 16 измерений.

    1. Оценка точности функции измеренных величин

В геодезии конечным результатом являются функции измеренных величин. Если погрешности измерений известны, то как рассчитать погрешности функций измеренных величин?

Пусть в общем виде функция

Z = f ( x , y, . . . , u ) , (3.14)

где x , y , . . . , u независимо измеренные аргументы со средними квадратическими погрешностями m x , m y , . . . , m u . Средняя квадратическая погрешность m z функции Z подсчитывается по формуле:

m2z = ( df / dx )2 m2x + ( df / dy )2 m2y + . . . + (df / du )2 m2u - (3.15)

где df / dx , df / dy , . . . , df / du - частные производные функции по измеренным аргументам.

Умение оценки точности функции измеренных величин связано с умением вычислять частные производные функции.

П о г р е ш н о с т ь с у м м ы и з м е р е н н ы х в е л и ч и н. В треугольнике каждый угол измерен с точностью m = 0.5 . Чему равна погрешность суммы углов?

 = 1 + 2 + 3 . (3.16)

m2() = (1)2 m21 + (1)2m22 + (1)2 m23 ; но так как m1 = m2 = m3 = m , то m2() = 3 m2 и m = 0.8 .

П о г р е ш н о с т ь р а з н о с т и и з м е р е н н ы х в е л и ч и н

Горизонтальный угол вычисляется как разность двух направлений, определяемых по градуированному кругу теодолита с одинаковой точностью mн = 0.5’. Чему равна погрешность угла?

= а – в , ma = mb = mн ; (3.17)

m2 = (1)2 m2a + (-1)2 m2b = 2 m2н ; m = mн 2 = 0.7 ‘ .

П о г р е ш н о с т ь а р и ф м е т и ч е с о й с р е д и н ы. Величина измерена n раз: l1 , l2 , . . . , ln . Измерения равноточные: ml1 = ml2 = . . . = mln = m . Вероятнейшее значение измеренной величины l0 = [ l ] / n. Чему равна средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения? Запишем функцию l0 в виде: l0 = l1 / n + l2 / n + . . . + ln / n; после после дифференцирования получим

m2l 0 = M2 = (1/n)2 m2l 1 + (1/n)2 m2l 2 + . . . + (1/n)2 m2l n = m2 / n ; M = m / n . Ф-ла (3.13)

Если угол измерить два раза на различных частях горизонтального круга теодолита с одинаковой точностью 0.7’ , то погрешность среднего значения составит 0.5’.

П о г р е ш н о с т ь п л о щ а д и. Площадь прямоугольника S = a b . Длины линий измерены с одинаковой относительной погрешностью m a / a = m b / b = 1 / 2000 . Чему равна погрешность площади? Находим частные производные функции: ds/da=b; ds/db=a. Подставим в формулу (3.18): m2S = b2 m2a + a2 m2b . Разделив обе части на S, перейдем к относительным погрешностям : (m S / S )2= (m a / a )2 + (m b / b)2; m S / S = ( 1/2000) 2 , m S = 1/1500. Погрешность площади в  2 больше погрешности линейных измерений.

Соседние файлы в папке лекции