2. Оценка точности непосредственных измерений

За критерий оценки точности измерений принята стандартная погрешность , (3.5), приближенное значение которой при конечном числе измерений n

m= [  ² ] / n , (3.7)

называемое средней квадратической погрешностью (формула Гаусса ). Чем больше n взято для вывода (3.7) , тем точнее оценка. В пределе lim m =  при n   . При n = 20 погрешность оценки по формуле (3.7) 15  от m , что вполне приемлимо для оценки точности результатов измерений.

Предельная погрешность рассчитывается по формуле:

 _ПРЕД = 3m с вероятностью р = 0.997. (3.9)

Измерения, погрешности которых больше 3m , бракуются.

Точность измерения длин линий, площадей, объемов оценивается относительной погрешностью: отношением абсолютной погрешности к самой величине. Она представляется в виде правильной дроби, числитель которой единица:

 _ПРЕД / D = 1 / D :  _ПРЕД с вероятностью р = 0.997. (3.9)

D–измеренное значение длины линии. Если СНиП требуют производить линейные измерения с погрешностью не более 1: 2000 , то на 100 м предельная погрешность 0.05 м.

Если выполнено n измерений одной и той же величины в равных условиях (равноточные измерения) l ₁ , l ₂ , . . ., l _n , то за окончательный результат принимают среднее арифметическое l ₀ :

l ₀ = [ l ] / n , (3.10)

называемым вероятнейшим значением. Обозначив

v _i = l _i – l ₀ при i = 1 до n , (3.11)

которые называются вероятнейшими погрешностями, можно подсчитать среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя, полученную теоретическим путем:

m =  [ v ² ] / ( n – 1 ) . (3.12)

Среднее арифметическое из n измерений точнее отдельного измерения. Точность l ₀ оценивается формулой

M = m /  n . (3.13)

Так, если величина измеряется независимо 2 раза , то погрешность среднего в 1.4 раза меньше погрешности отдельного измерения.

Свойство (3.13) используется в геодезии для ослабления влияния случайных погрешностей. При этом нецелесообразно применять большое число измерений, так как для повышения точности в 2 раза потребуется 4 измерения, а для повышения в 4 раза уже 16 измерений.

2. Оценка точности функции измеренных величин

В геодезии конечным результатом являются функции измеренных величин. Если погрешности измерений известны, то как рассчитать погрешности функций измеренных величин?

Пусть в общем виде функция

Z = f ( x , y, . . . , u ) , (3.14)

где x , y , . . . , u независимо измеренные аргументы со средними квадратическими погрешностями m _x , m _y , . . . , m _u . Средняя квадратическая погрешность m _z функции Z подсчитывается по формуле:

m²_z = ( df / dx )² m²_x + ( df / dy )² m²_y + . . . + (df / du )² m²_u - (3.15)

где df / dx , df / dy , . . . , df / du - частные производные функции по измеренным аргументам.

Умение оценки точности функции измеренных величин связано с умением вычислять частные производные функции.

П о г р е ш н о с т ь с у м м ы и з м е р е н н ы х в е л и ч и н. В треугольнике каждый угол измерен с точностью m_ = 0.5^’ . Чему равна погрешность суммы углов?

 = ₁ + ₂ + ₃ . (3.16)

m²() = (1)² m²_1 + (1)²m²_2 + (1)² m²_3 ; но так как m_1 = m_2 = m_3 = m_{ ,} то m²() = 3 m²_ и m_ = 0.8^’ .

П о г р е ш н о с т ь р а з н о с т и и з м е р е н н ы х в е л и ч и н

Горизонтальный угол вычисляется как разность двух направлений, определяемых по градуированному кругу теодолита с одинаковой точностью m_н = 0.5’. Чему равна погрешность угла?

 = а – в , m_a = m_b = m_н ; (3.17)

m²_ = (1)² m²_a + (-1)² m²_b = 2 m²_н ; m_ = m_н 2 = 0.7 ‘ .

П о г р е ш н о с т ь а р и ф м е т и ч е с о й с р е д и н ы. Величина измерена n раз: l₁ , l₂ , . . . , l_n . Измерения равноточные: m_{l1 =} m_l2 = . . . = m_ln = m . Вероятнейшее значение измеренной величины l₀ = [ l ] / n. Чему равна средняя квадратическая погрешность вероятнейшего значения? Запишем функцию l₀ в виде: l₀ = l₁ / n + l₂ / n + . . . + l_n / n; после после дифференцирования получим

m²_{l 0} = M² = (1/n)² m²_{l 1} + (1/n)² m²_{l 2} + . . . + (1/n)² m²_{l n} = m² / n ; M = m /  n . Ф-ла (3.13)

Если угол измерить два раза на различных частях горизонтального круга теодолита с одинаковой точностью 0.7’ , то погрешность среднего значения составит 0.5’.

П о г р е ш н о с т ь п л о щ а д и. Площадь прямоугольника S = a b . Длины линий измерены с одинаковой относительной погрешностью m _a / a = m _b / b = 1 / 2000 . Чему равна погрешность площади? Находим частные производные функции: ds/da=b; ds/db=a. Подставим в формулу (3.18): m²_S = b² m²_a + a² m²_b . Разделив обе части на S, перейдем к относительным погрешностям : (m _S / S )²= (m _a / a )² + (m _b / b)²; m _S / S = ( 1/2000) 2 , m _S = 1/1500. Погрешность площади в  2 больше погрешности линейных измерений.