2.4. Решение задач по планам и картам

Р е ш е н и е п л а н о в ы х з а д а ч. 1) Определение координат точек либо непосредственным измерением при помощи циркуля-измерителя и линейки, либо по заданным на плоскости длинам линий и дирекционным углам (румбам) по формулам прямой геодезической задачи. 2) Определение длины и дирекционного угла (румба) либо непосредственным измерением циркулем-измерителем и транспортиром, либо вычислением по формулам обратной геодезической задачи по измеренным координатам точек.

Р е ш е н и е з а д а ч п о в ы с о т е. 1) Определение отметок точек по горизонталям. 2) Определение уклонов линий. 3) Построение профилей по заданным направлениям.

Решение этих задач является основой горизонтальной и вертикальной планировки строительных участков, проектирования линейных сооружений, подготовки данных для переноса проекта на местность.

О п р е д е л е н и е п л о щ а д е й. Площади по планам и картам могут быть определены графически с разбивкой на простые геометрические фигуры, измерением элементов фигур и вычислением по формулам геометрии. Точность такого способа 1/50. Могут быть определены механически при помощи планиметра. Точность 1 / 100 - 1 / 200.

Если участок оконтурен прямыми линиями, то площадь можно вычислить по координатам вершин:

П = ( x_i ( y_i+1 – y_i-1 ) ) / 2 при i = 1 до n , (2.5)

где i -текущая точка, при i = 1 y_i-1 = у_n , n – число вершин участка.По формуле (2.5) составлена программа для ЭВМ, решение по которой занимает несколько минут.

Если координаты х_i , y_i определены по результатам линейных и угловых измерений на местности, то точность определения площади 1/1000 – 1/1500 (в зависимости от точности линейных и угловых измерений). В строительстве подсчет площадей участков ведут этим способом.

Тема 3. Элементы теории математической обработки геодезических измерений

3.1. Измерения и их погрешности

Измерение – процесс сравнения физической величины с эталоном (единицей измерений в системе СИ). Абсолютно точно сравнение (измерение) невозможно. Все измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Погрешности делятся на грубые, систематические и случайные.

Г р у б ы е п о г р е ш н о с т и. Погрешности превышающие заданный предел _ПРЕД , называемый предельной погрешностью (или доп. - допустимая погрешность). Предельные погрешности измерений нормируются инструкциями. В строительстве «Строительными нормами и правилами» (СНиП).

Источником грубых погрешностей являются промахи в работе. Для обнаружения и исключения грубых ошибок измерения, как правило, выполняют дважды и независимо друг от друга. Например, длины линий измеряют в прямом и обратном направлениях.

С и с т е м а т и ч е с к и е п о г р е ш н о с т и . Погрешности входящие в результаты измерений по функциональному закону . Например, погрешности за кривизну Земли в горизонтальные расстояния и высоты, погрешности за изменение температуры при измерении длин линий стальными рулетками и т.п.

Систематические погрешности исключаются из результатов измерений либо вводом поправок (поправка в длину линии за изменение температуры, поправка в горизонтальное проложение за наклон и т.д.), либо соответствующей методикой работ ( исключение влияния кривизны Земли при высотных измерениях, исключение деформации бумаги при определении координат точек по карте).

С л у ч а й н ы е п о г р е ш н о с т и. Погрешности, остающиеся в результатах измерений после исключения грубых и систематических погрешностей, называются случайными  . Если l – результат измерения , а Х – истинное значение измеряемой величины, то

 = l – X , (3.1)

Случайная погрешность измерения нам неизвестна. Но если n раз измерить одну и ту же величину в равных условиях (такие измерения называются равноточными), то ряд случайных погрешностей _i = l_i – X при i=1 до n обладает статистической закономерностью.

1. По абсолютной величине случайные погрешности не превосходят определенного предела (свойство ограниченности):

 _i   _ПРЕД . (3.2)

 _i  _ПРЕД является грубой, измерение должно быть повторено.

2. Погрешности, равные по абсолютной величине и противоположные по знакам, равновероятны (свойство симметричности):

Р ( +  _i ) = Р( -  _i ) (3.3)

3. Свойство компенсации (на основании свойства симметричности):

Lim [ ] / n = 0 при n  (3.4)

где […] – Гауссов символ суммы.

4. Свойство рассеивания:

Lim [  ² ] / n =  ² при n   , (3.5)

где  - стандарт рассеивания (стандартная погрешность), характеризующая условия измерений. Чем меньше , тем выше точность измерений.

5. Чем меньше случайная погрешность по абсолютной величине, тем чаще она встречается (условие плотности). Экспериментально установлено, что Р(   _i    ) = 0.67 , P (   _i    ) =0.33 , P (   _i )  2 ) = 0.05 и Р (   _i   3 ) = 0.003 , что маловероятно ( 3 погрешности из 1000 больше 3). На этом основании приняты предельные погрешности, больше которых погрешности являются грубыми. В строительстве принимают

 _ПРЕД = 3 с вероятностью р=0.997 , правило 3. (3.6)