Тема 2. Топографические планы и карты

2.1. Метод проекций в геодезии. Влияние кривизны Земли на горизонтальные расстояния и высоты

Для обработки результатов геодезических измерений точки земной поверхности проектируют на поверхность относимости (поверхность земного сфероида, шара, горизонтальная плоскость) отвесными линиями. Такие проекции называются ортогональными. Если участок земной поверхности не превышает 20х20 км, то за поверхность относимости берут горизонтальную плоскость, рис. 2.1

.

Рис. 2.1. Горизонтальная проекция участка местности

Точки А, В, С местности проектируются на горизонтальную плоскость Р отвесными линиями Аа, Вв, Сс . Так как участок небольшой, то отвесные линии практически параллельны и перпендикулярны плоскости Р. Проекция авс называется горизонтальной проекцией участка местности, угол  - горизонтальным углом, длины линий d на плоскости - горизонтальными проложениями, расстояния по высоте Аа, Вв, Сс – высотами точек, если плоскость Р принята за начало отсчета высот.

Математическая обработка результатов геодезических измерений на плоскости ведется по формулам плоской геометрии и тригонометрии.

Расчет предельных размеров участка земной поверхности, который можно принять за плоскость, ведется по формулам, вытекающим из рис. 2.2.

Еслиs = АВ на сфере (например, измерение вдоль береговой линии озера), а d = ав - горизонтальная проекция, то d = s + s , где s – поправка за кривизну Земли в горизонтальное расстояние, определяемое из соотношений s = R ^рад и d = R tg  = R (  + ³ / 3 + ….) ^рад вследствие малости угла 

s = s³ / 3 R² . (2.1)

Рис. 2.2. Влияние кривизны Земли на горизонтальные и вертикальные расстояния

1 – поверхность шара радиуса R; 2 – горизонтальная плоскость касательная к поверхности шара в точке А

Величина s / s называется относительной погрешностью. Если подставить в (2.1) s = 10 км и R  6000 км , то s  1 см и s / s =1 / 1 000000, что является максимальной точностью линейных измерений в геодезии. Таким образом, если участок земной поверхности не превышает 20х20 км (вправо и влево от точки а по 10 км), то практически d = s; погрешность  1 / 10 ⁶ .

к = Вв ( влияние кривизны Земли на высотные измерения) можно определить из соотношения к = d  ^рад /2 , приняв к за дугу радиуса d , а угол между касательной и хордой равен  / 2 – половине центрального угла. Подставив  ^рад = s / R, получим

к= d² / 2R (или s² / 2R ). (2.2)

При R  6000 км и d = 100 м к = 0.8 мм, при d = 300 м к = 8 мм. В строительстве погрешности высотных измерений не должны превышать 1-2 мм. Следовательно, должны считаться с кривизной Земли. В практике влияние кривизны Земли на высотные измерения исключаются соответствующей методикой работ.