3.4. Совместная обработка результатов измерений многих величин

П р и н ц и п м е т о д а н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в

В геодезии число измерений всегда больше числа необходимых для определения искомых величин. Так, в треугольнике измеряют все три угла, хотя для его решения достаточно двух. Дополнительные измерения приводят к невязкам. Так, в треугольнике вследствие погрешностей измерений сумма трех углов не будет равна теоретической 180⁰ . Отклонение результатов измерений от теоретических значений называется невязкой f :

f_ = (  ₁ +  ₂ +  ₃ ) – 180⁰ , (3.18)

невязка в углах (или угловая невязка) треугольника .

Невязки нормируются инструкциями. Если фактические невязки превышают нормированные (допустимые), то измерения повторяют.

Невязки приводят к неоднозначным вычислениям функций. Для однозначности решений результаты измерений уравнивают. Суть уравнивания: в измеренные значения вводят поправки v так, чтобы уравненные величины удовлетворяли теоретическим условиям:

l _i (урав.) = l _i (измер.) + v _i , [ v _i ] = - f _i . (3.19)

Так, в треугольнике сумма уравненных углов должна равняться 180⁰

Число невязок всегда меньше числа измерений. Поэтому решений по формуле (3.19) множество. Условие, введенное Гауссом,

[ v ² ] = min (3.20)

приводит к единственному решению и определяет сущность способа наименьших квадратов.

Ф о р м а п р е д с т а в л е н и я р е з у л ь т а т о в и з м е р е н и й

Результаты измерений представляются либо в форме точечной оценки (результат измерения l ₀ и его средняя квадратическая погрешность М), либо интервальной оценкой (результат измерения l ₀ , его предельная погрешность  _ПРЕД при расчетной доверительной вероятности р. Например,  = 13 ⁰ 12.2’ , M=0.5’ (точечная оценка):  = 13 ⁰ 12.2’ ,  _ПРЕД = 1.5^’ , p = 0.997 (интервальная оценка) - трактуется как 13 ⁰ 10.7 ‘    13 ⁰ 13.7 ‘ c вероятностью р = 0.997; истинное значение угла лежит в указанных пределах.

При массовых измерениях результаты записываются в журналы установленной формы, в которых на титульном листе указывается тип прибора и методика измерений, что и определяет точность измерений. Например, журнал угловых измерений: теодолит 2Т30. Измерения углов двумя приемами. Следовательно, предельная погрешность измерения всех углов 1.0 ‘ с вероятностью р =0.997.

Результаты вычислений округляют в соответствии с точностью измерений. Правило: при вычислениях оставляют один лишний знак (разряд) по сравнению с точностью измерений. Например, вычислено =25 ⁰ 00.025’, округлено  = 25 ⁰ 00.0’, при предельных погрешностях   _ПРЕД = 1.0’. При чтении предпоследний знак достоверный, а последний не достоверный (плавающий). О точности измерений судят по предпоследнему знаку.

Пример на линейные измерения. Пусть при нормативной погрешности не превышающей 1:2000 (предельная погрешность 5 см на 100 м длины) вычислено горизонтальное проложение d = 122.2546 м, окончательный результат запишем в виде d = 122.25 м . Десятые доли метра - достоверный знак. Или : d = 100.00465 м запишем как d = 100.00 м.

Погрешность округления не превышает 0.5 единицы последнего знака. Так , в примере с углами предельная погрешность округления 0.05’, в длинах линий 0.005 м (5 мм).