Шпоры / 2

1. Предел числовой последовательности.

если каждому натуральному n поставлено число х_n, то говорят что задана числовая последовательность х₁,x₂…x_n={x_n}

O:Числ. посл. называется занумерованная совокупность чисел рассматриваемая в порядке возрастания. Общий эл-т последовательности является функцией от n. x_n=f(n)

O: Последовательность {x_n} – ограниченная, если существует M>0, что для любого n верно: |х_n|<M, т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-M;M)

O: Последовательность {x_n} – ограниченная сверху, если для любого n сущ. M такое, что x_n≤M

O: Последовательность {x_n} – ограниченная снизу, если для любого n сущ. M такое, что x_n≥M

O: Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного ξ>0 сущ. такой номер N, что для всех n>N выполняется: |a-x_n|<ξ (запись limx_n=a), в таком случае говорят, что {x_n} сходится к а при n→∞

C: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом, если сходится она из них, то сходится и другая.

O: число а назыв. пределом послед. {x_n}, если в ξ окрестности содержится только конечное число членов числ. послед.

2.Основные теоремы о пределах

1) последовательность не может иметь более одного предела. док-во:

предположим что посл. имеет 2 предела a и b, a≠b. Тогда по опред. существ. ξ>0, что |a-x_n|<ξ/2, |b-x_n|<ξ. Запишем |a-b|=|(a-x_n)+(x_n-b)|≤|a-x_n|+|x_n-b|<ξ/2+ξ/2=ξ, т.к. ξ-любое число, то |a-b|=0, т.е. a=b

2) теорема о пределе модуля: если x_n→a, то |x_n|→|a|. Док-во:

из x_n→a след, что |x_n-a|<ξ. В то же время ||x_n|-|а||≤|x_n-a|, т.е. ||x_n|-|а||<ξ, т.е. |x_n|→|a|

3) Если x_n→а, то послед. {x_n} ограничена.

Монотонная последовательность:

O: 1. если x_n+1>x_n для всех n, то последовательностьвозрастающ. 2. если x_n+1≥ x_n, для всех n, то послед. не убывающая. 3. если x_n+1<n, то последовательность убывающая 4. если x_n+1≤ x_n, то послед. невосрастающая

Т: монотонная огранич. посл. имеет предел. док-во:

монотонная ограниченная посл. – посл. огранич. сверху x_n≤M, М – некоторое число.

т.к. любое ограниченное сверху множ-во имеет четкую верхнюю грань, то для любого ξ>0 сущ. такое x_n>a-ξ -> a-ξ<x_n<a+ξ

-ξ<x_n-a<ξ или |x_n-a|<ξ, т.е. limx_n=a

4) О разности. Для того чтобы число А было пределом числ. посл. {а_n} необходимо и достаточно чтобы разность между посл. |а_n-А|→0. Необходимость! сущ. {а_n}=A это означ, что для любого ξ>0 сущ. N_ξ, такое что n>N_ξ и выполняется: |а_n-А|<ξ <-> b_n=а_n-А <-> |b_n|<ξ <-> |b_n-0|<ξ

Достаточность! а_n-А→0, любое ξ>0 сущ. N_ξ n>N_ξ

3. БМВ. Теоремы о БМВ

Числ. посл. называется бесконечно малой, если ее предел = 0. БМ функция может быть только если указать у какому числу стремится аргумент х. При различных а функция может быть бесконечно малой или нет.

T: для того, чтобы f(x) при x→a имела предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки x=a выполнялось условие f(x)=A+α(x), где α(x) – БМВ при x→a(α(x)→0 при х→а)

Св-ва: 1) сумма БМВ явл БМВ 2) произвед. 2х БМВ есть БМВ 3) произведение ограниченной последовательности БМВ есть БМВ 4) если БМВ умножить на const то получ. БМВ 5) частное от деления БМВ, предел которого ≠ 0, есть БМВ

4. Свойства пределов выражаемые равенствами.

1. Предел постоянной числовой последовательности есть сама последовательность. lim_n→∞C=C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела limCx_n=C limx_n

3. Предел суммы 2х числ. последовательностей равен сумме пределов

lim(x_n+y_n)=limx_n+limy_n

4. предел произведения 2х числ. послед. равен произведению пределов

lim(x_ny_n) =limx_nlimy_n

Док-во: x=lim_n→∞x_n y=lim_n→∞y_n, y_n=y+β_n x_n=x+α_n, α_n,β_n – БМВ

limx_nlimy_n=lim((x+α_n)(y+β_n))=lim(xy+xβ_n+ yα_n+α_nβ_n)=limxy+limxβ_n+limyα_n+limα_nβ_n=xy= limx_nlimy_n

5. lim(x_n/y_n) =limx_n/limy_n, limy_n≠0

5. Свойства пределов выражаемые неравенствами

1) Tеорема о предельном переходе в неравенство: Пусть для всех х_n, х_n не превосходит y_n, тогда предел х_n не превосходит y_n.

Док-во:

x=lim_n→∞х_n, y=lim_n→∞y_n

I x≤y II x>y – не выполн.

рассм II.

пусть x-y/2=ξ

ξ>0, сущ. N_ξ(N^||_ξ), такое что для всех n>N_ξ(n>N^||_ξ) и |х_n-x|<ξ(|y_n-y|<ξ). n_ξ=max N^|_ξ, N^||_ξ y<n

x-ξ< х_n<x+ξ

y-ξ< y_n <y+ξ x>y – не верно.

2) если f(x)>0 вблизи точки x=a и lim_x→af(x)=A, то А>0

3) если g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи х=а, то и limf(x)=limg(x)=limu(x)=A

4) если ф-ция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х=а.

Док-во:

пусть lim_x→af(x)=A; т.е. |f(x)-A|<ξ, тогда

|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<ξ+|A|, т.е. |f(x)|<M, где M=ξ+|A|

6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»

1. Множество, элементами которого явл. отрезки наз. системой отрезков.

2. Система замкнутых отрезков [a_n,b_n] назыв. стягивающей если а) V_n[a_n+1,b_n+1][a_n,b_n], т.е. каждый посл. отрезок расположен внутри предыдущего. б) b_n-a_n→0, n→∞, т.е. длины отрезков стремятся к 0. в) для любой системы замкнутых стягивающих отрезков сущ. единств. точка, принадлежащая всем отрезкам. Док-во:

1. рассм. множество {a_n} левых концов наших отрезков. Очевидно что: а) a_n↑ б) сущ. n, a_n<b₁ поэтому сущ. конечный lim_n→∞a_n

2. рассм. множество {b_n} правых концов наших отрезков => a) b_n ↓ б) сущ. n b_n>a₁, поэтому сущ. lim_n→∞b_n

3. Т.к. по усл. lim_n→∞(b_n-a_n)=0, то lim_n→∞b_n- lim_n→∞a_n=0 => lim_n→∞a_n= lim_n→∞b_n, обозначим этот общ. предел через с.

4. т.к. a_n↑ а b_n ↓, то очевидно что сущ а_n≤с≤b, т.е. точка С€[a_n,b_n] (она принадлежит всем отрезкам сразу)

Теорема о «2х милиционерах»

Пусть имеется 3 числ. последовательности {х_n},{y_n},{z_n} и между членами этих последовательностей выполняется неравенство: х_n≤z_n≤y_n

тогда, если lim_n→0х_n= lim_n→0y_n, то lim_n→0z_n существует.

P=lim_n→0х_n= lim_n→0y => lim_n→0z_n=P

Док-во:

Возьмем ξ>0, подберем n>N^|, чтобы |х_n-P|<ξ, n>N^||, |y_n-P|<ξ

теперь с учетом условия:

х_n≤z_n≤y_n

P-ξ<y_n<P+ξ

P-ξ<x_n<P+ξ

P-ξ< х_n≤z_n≤y_n<P+ξ, оно будет выполнятся для n>N = max {N_ξ^|, N_ξ^||}

|z_n-P|<ξ – выполняется.

7. Определение предела функции

1) x R

f:x→R

Пусть x₀ – предельная точка для множества X. Число А назыв. пределом функции f(x) в точке x₀,если для любого ξ>0 найдется Δ окрестность точки x₀(V_ξ(x₀)) такая, что для всех x≠x₀ и принадл. пересеч. Δ окрестности с множеством X (x€V_ξ(x₀)X), выполняется неравенство: |f(x)-A|<ξ(только для конечной точки), f(x)€V_ξ(A) f(x) принадлежит эпсилон окрестности точки А.

Определение предела по КОШИ:

2) x₀-…х, то А – предел. Если последовательность x_n→x₀(x_n≠x₀) множество значений y_n=f(x_n)→А

Предел функции:

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D. Число а называется пределом ф-ции y=f(x) в точке x₀ и пишут limf(x)= a_n, если для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такое что для любого x€D

0<|x-x₀|<Δξ след нер-во |f(x)-a|<ξ

Критерий Коши:

Для того чтоб ф. y=f(x) имела предел в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такая что |f^|(x)-f^||(x)|<ξ, как только |x^|- x₀|<Δ(ξ) и |x^||- x₀|<Δξ. Говорят что число а есть предел функции y=f(x) при x, стремящимся к бесконечности и пишут lim_x→∞f(x)=а, если для любого ξ>0 сущ. число A(ξ)>0, такое что |f(x)-a|<ξ, как только |x|>A(ξ)

8. Односторонние пределы функции

Предел справа функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x>x₀

Аналогично пределом слева функции f(x) в точке x₀ называется limf(x) x→x₀, x<x₀

lim_x→x0+0f(x) предел справа

lim_x→x0-0f(x) предел слева

Теорема связывающая односторонние пределы и пределы функций:

для того чтобы сущ. предел функции f(x) в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы сущ пределы lim_x→x0f(x₀) <-> lim_x→x0-f(x)=lim_x→x0+f(x)

α(x) бмв x₀

lim_x→x0α(x)=0

lim_x→x0(f(x)/g(x)) [0/0]

lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

9. Замечательные пределы

1ый замечательный предел:

lim_x→0(sinx/x)=1

уголBOA=x

S_ΔOBA≤S_секOBA≤S_ΔOB1A

1/2OA*BE≤1/2OA*BA(дуга)≤1/2OA*B1A

BE≤BA≤B1A

OAsinx≤OAx≤OAtgx

sinx≤x≤tgx

1≤x/sinx≤1/cosx

cosx≤sinx/x≤1

cosx=1-2sin²x/2

1-2sin²x/2≤sinx/x≤1

(1-x²/2)/1≤sinx/x≤1

sinx/x→1

2ой замечательный предел

e^iπ=-1

Третий замечательный предел

lim_x→0(e^x-1)/x=1

4ый предел

lim_x→0ln(1+x)/x=1

5ый предел

lim_x→0(1+x²)-1/x)=α

10. Классификация БМВ. Эквиваленты.

α(х), β(х) бмв x₀

lim_x→0(α(х)/β(х))=(k или не существует предела)

1. k≠0, то велечины α и β одного порядка малости.

2. k=0, то БМ α более высокого порядка малости чем БМ β.

3. k=∞, то величина α имеет более низкий порядок малости, чем величина β.

4.если предела не существует –> то бмв α и β несравнимы.

Эквивалентные БМ

α(х), β(х) бмв x₀

- называются эквивалентными, если предел отношения lim_x→x0(α(х)/β(х))=1

Св-ва:

1. α~β, β~γ => α~γ

lim(α/γ)=lim((α/β)*(β/γ))=lim(α/β)*lim(β/γ)=1 α и γ – эквивалентные БМ

2. α~β => β~α

3. α~α

4. α~β => α-β Если α и β эквивалентные БМВ, то разность между α и β есть БМВ более высокого порядка малости.

5. если α~α^|, a β~β^|, то предел отношения α на β равен пределу отношения α^| на β^|

lim(α/β)=lim(α/α^|)lim(α^|/β^|)lim(β/β^|)=lim(α^|/β^|)

док-во 4ого св-ва:

lim((α-β)/α)=lim((α/α)-(β/α))=1-1=0

α-β – есть величина более высокого порядка чем α.

11. Непрерывность функции. Теорема о приращении непрерывной функции.

1.Функция f(x), определенная в окрестностях некоторой точки x_n, называется непрерывной в точке x₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны lim_x→x0f(x)=f(x₀)

2. Если функция f(x) определена в окрестностях точки x₀, но не явл. непрерывной в точке x₀, то ф-ция называется разрывной, а точка – точкой разрыва.

3. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке x₀, если для любого числа ξ>0, существует такое число Δ>0, что при усл. |x-x₀|<Δ выполняется нер-во: |f_x-f_x0|<ξ

4. Функция f(x) назыв. непрерывной в точке х=x₀, если приращение в точке х₀ явл. БМВ f(x)=f(x₀)+α(x), α(x) - БМВ при х→x₀

5. Ф-ция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке ООФ. Приращение в точке x₀, назыв. разница f(x)-f(x₀)

Δf=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Δx – приращ. аргумента, Δf – приращение функции

переменная отличается от предела на БМВ f(x)→f(x₀)

f(x)= f(x₀)+Δf -> для того, чтобы ф. f(x) была непрерывна в точке х₀, необходимо и достаточно чтобы к БМ приращ. аргумента Δx соотв. БМ приращ. функции Δf

12.Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке x₀ функций – есть функция непрерывная в точке x₀.

Замечание: Справедливо как для функций непрерывных в данной точке, так и для функций непрерывных в целом.

f(x) и g(x) (непрерывна в точке x₀)

h(x)=f(x)g(x)

lim_x→x0h(x)= lim_x→x0f(x)g(x)= lim_x→x0f(x) lim_x→x0g(x)=f(x₀)g(x₀)=h(x)

Непрерывность – свойство нетеряемое в процессе арифметических операций.

2. Частное двух непрерывных функций f(x)/g(x) есть непрерывная функция при условии, что g(x)→не ровно 0, в точке x₀

3. Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

4. Если y=f(x) непрерывная в x₀, тогда f(x₀)=y₀, тогда x=g(y) будет непрерывна в точке y₀

5. Все элементы функции непрерывны в своей области. Непрерывность некоторых элементарных функций:

1. f(x)=C C=const, непрерывная функция на всей ООФ

2. рациональная функция:

f(x)=(a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n)/(b₀xⁿ+b₁x^n-1+…+b_n) – непрерывна для всех х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль.

таким обр. функция этого вида непрерывна на все оболасти определиния.

3. Тригонометрическая ф-ция непрерывна на своей ООФ

4. f(x)=x – непрерывна lim_x→x0f(x)=f(x₀), lim_x→x0x=x₀

5. xⁿ=x*x…xⁿ (n-раз) xⁿ-непрерывна.

Св-ва:

1) Любой многочлен явл. непрерывной функцией P_n=a_nxⁿ+a_n+1x^n-1+…+a_n

2) Любая дробно-рациональная функция явл. рациональной в области задания. P_n(x)/Q_n(x)

Теорема: Любая функция, полученная из элементарных путем конечного применения арифметических операций, или операций суперпозиции функции (обратной) является непрерывной в обл. задания.

13. Непрерывность суперпозиции функции.

Т: Пусть функция φ(y) определима в промежутке y, а ф-ция f(x) – в промежутке x, причем значение последовательности функции не выходит за пределы Y, когда x изменяется в Х.

Если f(x) непрерывна в точке x₀ и x, а φ(y) непрерывна в соотв. точках y₀=f(x) и y, то и сложная функция φ(f(x)) будет непрерывна в точке x₀.

Док-во:

ξ>0, так как φ(y) непрерывна при y=y₀, то по ξ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ следует |φ(y)-φ(y₀)|<ξ

С другой стороны ввиду непрерывности f(x) при x=x₀ по Δ найдется такое Δ>0, что из |x-x₀|<Δ след. |f(x)-f(x₀)|=|f(x)-y₀|<Δ => |φ(f(x))-φ(y₀)|=|φ(f(x))-φ(f(x₀))|≤Δ след. φ(f(x)) непрерывная в точке x₀.

14. Теоремы Больцмана-Коши.

1. Теорема о нулях непрерывной функции:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и в точках а и b принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка с, для которой f(c)=0

Док-во:

I₀=[a,b]

I₁=[a,b₁]

I₂=[a₁,b₁]

I₀ I₁ I₂

f(a_n)≤0, a_n→с

f(b_n)≥0, b_n→с

lim_n→∞f(a_n)≤0

lim_n→∞f(b_n)≥0 => f(c)=0

2. Теорема о промежуточном значении

Если непрерывная функция f(x) в точке а и b принимает значение f(a)=A, и f(b)=B, то функция принимает все промежуточные значения от a до b.

Док-во:

С€(A,B)

g(x)=f(x)-C

g(a)=f(a)-C=A-C<0

g(b)=f(b)-C=B-C>0

g(c)=0 => f(c)=C

15. Теорема Вейерштрасса

– об ограниченности непрерывной ф-ции.

O: Если функция f(x) определена на [a, b] и непрерывна, то она ограничена. m≤f(x)≤M

Док-во:

f(x) – не ограничена сверху, x_n€[a, b]

f(x_n)>n lim_n→∞f(x_n)=∞

f(x_n)>f(x_n-1)

x_n1 I₀ I₀I₁I₂

x_n2 I₁

x_n3 I₂ {x_nk}

I₃

– о наименьшем и наибольшем значении функции.

f(x) x₀ f(x)≤ f(x₀) y₀=f(x₀) – наиб.

x₀ f(x)≥ f(x₀) y₀=f(x₀) – наим.

O: Если непрерывн. функция f(x) задана на отрезке [a, b], то она имеет и наибольшее и наименьшее значение.

f(x)<M =sup(точная верхняя граница)

f(x)=

g(x)=1/(M-f(x)) 1)g(x)>0 2) g(x)-непр.

Следств: непрерывн. функция заданная на отрезке принимает все значения от наименьшего до наибольшего.

16. Классификация разрывов.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в x₀ или не является непрерывной в этой точке.

O: точка x₀ называется точкой разрыва 1ого рода, если в этой точке f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. lim_x→x0+0f(x)+ lim_x→x0-0f(x)

Для выполнения этого опр. не требуется чтоб функция была определена в x= x₀, достаточно того, что она опр. слева и справа от нее. Вывод: В точке разрыва 1ого рода функция может иметь только скачок. Точка 1ого рода – устранимая точка разрыва.

O: Точка x₀ называется точкой разрыва 2ого рода, если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из бесконечен.