Шпоры / 3

1. Производная, ее механический и геометрический смысл.

S_t=gt²/2

S_t+Δt=g(t+Δt)²/2

ΔS= S_t+Δt- S_t=g/2 * (2tΔt+(Δt)²)

V_cp=ΔS/Δt= g/2 * (2t+Δt)

V_мгн=lim_Δt→0V_ср=gt

V_t=gt

lim_Δt→0(ΔS/Δt) – рассч. этот предел получим мгновенную скорость. Физ. смысл -> показывает скорость изменения данного процесса. Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения lim_x→Δx((f(x)-f(x₀))/x- x₀)=lim_x→ΔxΔf/Δx

Δf=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Δx=x- x₀

Если в данной точке имеется конечная производная, то говорят, что функция в этой точке дифференцируема. Функция называется дифференцируемой, если она дифф. в каждой точке области определения.

T: Если f(x) дифф. в точке x₀, то она непрерывна в этой точке. Док-во:

f(x) f(x₀)

lim_x→0Δf/Δx = f ^|(x₀)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀) – БМВ(Δx→0)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀)=α(x)

f(x₀+Δx)-f(x₀)=f ^|(x₀)Δx+α(x)Δx ф-ция непрерывна в x₀

Односторонней производной функции f(x) в точке x₀ называется производная справа(lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|₊(x₀); Δx>0) или слева(lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|_-(x₀); Δx<0).

T: Для того чтобы функция была дифф в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы сущ. и были равны односторонние производные.

Геометр. смысл: (показать tg угла наклона)

секущей называется любая

прямая проходящая через M₀

Линия предельных положений –

касательная к графику в точке M₀

y-y₀=k(x- x₀)=(Δy/Δx)(x- x₀)

y-y₀=y^|(x₀)(x- x₀)

y^|(x₀)=tgα

2. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Если ф-ция f(x) дифф. в точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|(x₀)

Δf=f(x)- f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀) – БМВ(Δx→0)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀)=α(x)

f(x₀+Δx)-f(x₀)=f ^|(x₀)Δx+α(x)Δx

Δf ^|| - БМВ

Ф-ция f непрерывна в точке x₀

3. Правила дифференцирования.

1) f(x)=const, то f ^|(x)=0

2) [C(f(x))]^|=C*f ^|(x)

C(f(x))=g(x)

lim_x→0(Δg/Δx)=lim_x→0(Cf(x)-Cf(x₀))/(x-x₀)= Clim_x→0(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=Cf ^|(x₀)

3) [f(x)±g(x)]^|=f ^|(x)±g ^|(x)

f(x)±g(x)=h(x)

h ^|(x)= lim_x→0(Δh/Δx)= lim_x→0(h(x+Δx)-h(x)/Δx)= lim_x→0(f(x+Δx) ±g(x+Δx)-(f(x)±g(x))/(Δx)= lim_x→0(f(x+Δx)-f(x)) ±(g(x+Δx)-g(x))/(Δx)= lim_x→0(f(x+Δx)-f(x)/ (Δx)) ± lim_x→0 (g(x+Δx)-g(x))/(Δx)=

f ^|(x)±g ^|(x)

4. [f(x)*g(x)]^|=f ^|(x)g(x)+f(x)g ^|(x)

h(x)=f(x)*g(x)

h ^|(x)=lim_x→0(Δh/Δx)=

lim_x→0(h(x+Δx)-h(x)/Δx)= lim_x→0(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)/Δx)= lim_x→0(f(x+Δx)g(x+Δx)- f(x+Δx)g(x)+ f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x))/(Δx)=

lim_x→0(f(x+Δx)g(x+Δx)- f(x+Δx)g(x))/(Δx)+lim_x→0(f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x))/(Δx)=

lim_x→0(f(x+Δx)[g(x+Δx)-g(x)])/(Δx)+lim_x→0(f(x+Δx)-f(x)/(Δx))*g(x)= f ^|(x)g(x)+f(x)g ^|(x)

5. [f(x)/g(x)]^|=(f ^|(x)g(x)-f(x)g ^|(x))/(g²(x))

4. Производная сложной функции.

Для того чтобы функция была дифф в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Δf было представлено в виде:

Δf=AΔx+БМВ, А – const

неопределенность:

f(x) x₀ f ^|(x₀)

lim_Δx→0(Δf/Δx)=f ^|(x₀)

(Δf/Δx)- f ^|(x₀)=БМВ

Δf= f ^|(x₀)Δx+БМВΔx

Достаточность:

Δf=AΔx+БМВ | :Δx

Δf/Δx=А+БМВ/Δx

БМВ/Δx→0

БМВ должна быть более высокого порядка чем Δx.

Теорема о производной сложной функции

y(x) x₀ y ^|(x₀)=y^|₀

z(x) y₀ z ^|(y₀)= z^|₀

y₀=y(x₀)

z(y(x))= (x₀)

(x₀)=z ^|_y(y₀) y ^|_x(x₀)= z ^|₀ y ^|₀

Δ=(x₀+Δx)-(x₀)=z(y(x₀+Δx))-z(y(x₀))= z(y₀+Δy)-z(y₀)=Δz=z^|(y₀)Δy+α= z^|(y₀)[y^|₀(x₀)Δx+β]+α= z^|(y₀)y^|₀(x₀)Δx+z^|(y₀)β+α; z^|(y₀)β+α – БМВ

(x₀)= z ^|(y₀) y ^|(x₀)= z ^|₀ y ^|₀

5. Производная обратной функции.

y=y(x) дифф. в точке x₀ y₀=y(x₀) y^|(x₀)≠0

x=x(y) -> обратная ф-ция y, тогда в точке у₀ функция х дифференцируема и ее производная х^|(y₀)=1/y^|(x₀)

х^|(y₀)=lim_Δy→0(Δx/Δy)=lim_Δy→0(1/(Δy/Δx))= lim_Δx→0(1/(Δy/Δx))= 1/y^|(x₀)

6. Производная элементарных функций.

1) Производная степенной функции:

у=xⁿ

y^|=lim_Δx→0(Δy/Δx)= lim_Δx→0(y(x+Δx)-y(x)/Δx)= lim_Δx→0((x+Δx)ⁿ-xⁿ/Δx)= xⁿlim_Δx→0((1+Δx/x)ⁿ-1/Δx)= lim_Δx→0(n(Δx/x)/Δx)=nx^n-1

2) Производная показательной функции:

(a^x)^|=a^x lna

(a^x)^|= lim_Δx→0(Δy/Δx)= lim_Δx→0(a^x+Δx-a^x/Δx)=

a^xlim_Δx→0(a^Δx-1/Δx)=a^xlim_Δx→0(a^Δxln2-1/Δx)=

a^x lna

3) Производная логарифмической функции:

(log_ax)^|=1/lna * 1/x

(log_ax)^|= lim_Δx→0(Δy/Δx)= lim_Δx→0(log_a(Δx+x)-log_ax/Δx)= lim_Δx→0(log_a((Δx+x)/(x))/Δx)= lim_Δx→0(log_a((Δx/x)+1)/Δx)=

lim_Δx→0(1/lna * (ln(Δx/x)+1))/(Δx)=

1/lna * 1/x

4) Производная sinx:

(sinx)^|=cosx

(sinx)^|=lim_Δx→0(Δy/Δx)=

lim_Δx→0(sin(Δx+x)-sinx/Δx)=

lim_Δx→0(2sin(Δx/2)cos((2x+Δx)/2)/Δx)=

lim_Δx→0cos(x+Δx/2)=cosx

5) (cosx)^|=-sinx

(cosx)^|=lim_Δx→0(Δy/Δx)=

lim_Δx→0(cos(Δx+x)-cosx/Δx)=

lim_Δx→0(-2sin(x+Δx+x/2)sin((x+Δx-x)/2)/Δx)=

lim_Δx→0(-2Δx/2)sin((2x+Δx)/2)/Δx)=-sinx

(tgx)^|=(sinx/cosx)^|= (cosx(sinx)^|- sinx(cosx)^|)/cos²x=1/cos²x

6)Произведение обратной тригонометрической функции:

(arcsinx)^|=1/√(1-x²)

y=sinx

x=arcsiny

x ^|_y=(arcsiny)^|=1/ y ^|_x=1/cosx=1/√(1-sin²x)= 1/√(1-y²) cosx>0

(arctgx)^|=1/1+x²

y=tgx x=arctgy

x ^|_y=(arctgy)^|=1/ y ^|_x=1/1/cos²x=1/1+tg²x=

1/1+y²

7. Дифференциал функции. Свойства и геометрический смысл.

Δf=AΔx+БМВ; AΔx=дифф. функции в данной точке.

Дифф. функции у – это приращение ординаты касательной, проведенной к графике в точке x₀.

Cв-ва:

1) y=x, согл. опр.

dy=x^|Δx=Δx

dx=Δx дифф. независ. аргумента – приращение этого аргумента.

df=f^|dx

8. Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.

z=z(y) y=y(x)

dz=z^|_ydy

dz=z^|_xdx=z^|_yy^|_xdy=z^|_ydy

Св-ва:

dC=0

dCf=Сва

d(f±g)=df±dg

d(fg)=gdf+fdg

d(f/g)= gdf-fdg/g²; d(fg)=(fg)^|dx=(f^|g+fg^|)dx=

f^|dxg/df+ fg^|dx/dg=df+dg

9. Производные функции, заданных параметрически и неявно.

Парамеричемки:

y^|_x=dy/dx=y^|_tdt/x^|_tdt=y^|_t/x^|_t

y^|_x=y^|_t/x^|_t

пример:

y^|_x-? y^||_x-?

y^|_x=(t²)^|/(cost)^|=-2t/sint

y^||_x^2=(y^|_x)^|

y^||_x^2=(-2t/sint)^|/(cost)^|==(2sint-2tcost)/(sin³t)

Неявно:

F(x,y)=0

y=y(x)

пример: xcosy+y=0 y^|_x-?

y=y(x)

cosy+x(-siny)y^|+y^|=0

y^|=-cosy/1-xsiny

10. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная n-ого порядка – производная от производной (n-1)-ого порядка.

f ^||(x) – II порядок

f ^|||(x) – II порядок

f ^|V(x) – II порядок

f^V(x) – II порядок

f⁽ⁿ⁾(x)

f⁽ⁿ⁾(x)= (f^(n-1)(x))^|

пример:

y=arctgx

y^|=1/1+x²

y^||=(1/1+x²)^|=-2x/(1+x²)²

Дифференциал n-ого порядка – дифференциал от (n-1)-ого порядка.

dⁿf(x) – обозначение

dⁿf(x)=d(d^(n-1)f(x))

Пусть имеется f(x), x – независимый аргумент.

dⁿf=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ

11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа.

Т Ферма: (необходимый признак экстремума)

экстремум – максимум и минимум функции.

T: Если функция в точке х₀ имеет экстремум и дифф. в этой точке, то ее производная равна нулю.

y=f(x) х₀ – экстремум max

берем производную в точке х₀

f ^|(x)=lim_Δx→0(Δf/Δx)

если Δx>0 тогда Δf/Δx≤0

если Δx<0 тогда Δf/Δx≥0

=> f ^|(х₀)=0

Т Ролля:

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его и принимает на его концах равные значения, то сущ. точка с внутри отрезка такая, что в этой точке f ^|(x)=0

f ^|(c)=0

f(x) m M

По Т. Вейерштрасса (могут приниматься I либо на концах II либо внутри промежутка)

I f(a)=f(b)

m=M=>f(x)=const сущ. точка с, что произв. равна 0

II M=f(х₀), х₀€(a,b)

По Т.Ферма в этой точке производная равно 0.

Т. Коши:

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и производная g^|(x) не 0. Тогда справедлива формула:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c) c€(a,b) – некоторая точка опр. внутри отрезка

Док-во:

h(x)=f(x)+λg(x) λ-какое-то число

λ – мы выберем такое, чтобы h принимало равные значения на концах отрезка.

h(a)=h(b)

f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b)

λ= (f(a)-g(b))/(g(b)-g(a))

h(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(b)

По Т. Ролля сущ. точка с, где h^|(c)=0

h^|(x)= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b) 0= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b) => (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c)

Т. Лагранжа:

если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифф. внутри него, то внутри отрезка найдется такая точка с, обладающая cв-вом f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a) – формула Лагранжа(т. о конечном приращении)

Док-во:

f(с)/g(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

y => (f(b)-f(a))/(b-a)=f ^|(a) =>

f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a)

12. Признаки возрастания и убывания функции.

Монотонные функции – возрастающие и убывающие функции.

f(x) на промежутке <a,b> называется возрастающей если большему значению ф-ции следует меньшее значение аргумента.

x^|<x^|| => f(x^|)≤f(x^||)

T: если ф-ция непрерывна и дифф. на промежутке, то для возрастания ф-ции необходимо и достаточно неотрицательность первой производной.

Необходимость: если f(x) возрастает

x Δx>0

f(x+ Δx)-f(x)=Δf ≥0

Δf/Δx≥0

lim_x→Δx(Δf/Δx)≥0

если функция возрастает, то ее производная не отрицательна.

Покажем что f(x) будет возрастать:

f ^|(x)≥0 -> f(x) – возр.

x^|<x^||

f(x^||)-f(x^|)=f ^|(c)(x^||-x^|)≥0; (x^||-x^|)>0 большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции.

x^|<c<x^||

Если функция дифф на промежутке, то для убывания ф-ции необходимо и достаточно чтобы ее производная была неположительна.

13. Экстремум функции. Достаточные условия.

экстремум – максимум и минимум функции.

1ая производная

f(x) x₀

^{дифф в точке}

тогда в x₀ будет экстремум, если при прохождении x₀ 1ая производная меняет знак: если «-» → «+» - минимум;

если «+» → «-» - максимум.

2ая производная:

Пусть функция определена в x₀ и 2жды дифф в этой точке (x₀ – стационарная точка функции f ^|(x)≠0), тогда если в точке 2ая производная больше нуля, то в точке x₀ имеется экстремум(минимум); f ^||(x)<0 – то максимум.

14. Выпуклость функции, точки перегиба. Достаточные условия.

Функция f(x) называется выпуклой вниз, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит выше, чем стягиваемый участок.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит ниже, чем стягиваемый участок.

Точка перегиба – точка, в которой меняется направление выпуклости

Т: если 2ая производная функции f(x) на отрезке <a,b> больше нуля, то функция выпукла вниз.

если 2ая производная функции f(x) на отрезке <a,b> меньше нуля, то функция выпукла вверх.

если при прохождении точки 2ая производная меняет знак, эта точка – точка перегиба.

15. Асимптоты, их нахождение.

Асимптота – прямая линия, если расстояние между точками графика и этой прямой стремится к 0, при удалении точек графика к ∞

Асимптота:

1) наклонная; вид – x=число

2) вертикальная; вид – y=kx+и

могут находится в точках бесконечного разрыва

Наклонные:

если сущ. 1)lim_x→+∞(f(x))/x=k

2) lim_x→+∞(f(x)-f(x))=b, то прямая линия kx+b будет асимптотой. НЕ БОЛЬШЕ 2х АСИМПТОТ!

16. Теоремы Лопиталя.

1) Пусть даны f(x) и g(x) в окрест. точки x₀, кот обладает след. cв-вами:

1. lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

2. f(x) и g(x) дифф функции в этой окрестности, причем g^|(x)≠0

Тогда если сущ. lim_x→Δxf^|(x)/g^|(x)=k, то этот предел lim_x→x0f(x)/g(x)= lim_x→x0f^|(x)/g^|(x) (т.е. предел отношений) функции можно заменять пределом отношения их производных, при условии что производная сущ.

Док-во:

f(x)-f(х₀)/g(x)-g(х₀)=f ^|(c)/g^|(c)

если x→х₀, c→х₀, тогда если lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k, тогда lim_x→x0f(x)/g(x)=k

2) Пусть

1. f(x)→+∞, при x→х₀, п(x)→+∞, x→х₀

2. f(x) и g(x) -> дифф., g^|(x)≠0

тогда, если сущ.

lim_x→x0f(x)/g(x)=k, то lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k

17. Формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа и Пеано.

представление многочлена в форме Тейлора:

P_n(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=c₀+c₁(x-x ^–)+c₂(x-x ^–)² +…+c_n(x-x ^–)ⁿ

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)(x-x₀)/1!+ f ^||(x)(x-x₀)²/2! +…+ f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!

формула Тейлора с останочным членом в форме Лагранжа

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)/1!+…+

f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+O(x+x₀)ⁿ

формула Тейлора с останочным членом в форме Пеано

18. Разложение функций по формуле Тейлора(sinx, cosx, expx, ln(1+x), arctgx, (1+x)^a)

- y=sinx

x₀=0

y^|=cosx y^|(0)=1

y^||=-sinx y^||(0)=0

y^|||=-cosx y^|||(0)=-1

y^|V=sinx y^|V(0)=0

sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+

(-1)x^2n-1/(2n-1)!+O(x^2n-1)

- y=cosx

cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)^mx^2m/(2m)!+r_2m+1

- y=ln(1+x)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)^n-1xⁿ/n+r_n(x)

- y=arctgx

arctgx=x-x³/3+x⁵/5-…+

(-1)^m-1x^2m-1/(2m-1)+r_2m(x)

- y=e^x

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+O(xⁿ)

- y=(1+x)^a

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/1*2+…+

a(a-1)…(a-n+1)xⁿ/1*2*…*n+r_n(x)

Эквиваленты!

1-cosx ~ x²/2 (x→0)

a^x-1 ~ xlna (x→0)

sinx ~ x (x→0)

e^x-1 ~ x (x→0)

ln(1+x) ~ x (x→0)

(1+x)^α-1 ~ αx (x→0)

(1+x)^1/x ~ e (x→0)

arctgx ~ x (x→0)

arcsinx ~ x (x→0)

tgx ~ x (x→0)

Производные!

(a^x)=a^x lna

(e^x)=e^x

(log_ax)=1/lna*1/x

(lnx)=1/x

(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(tgx)=1/cos²x

(ctgx)=-1/sin²x

(arcsinx)=1/√1-x²

(arccosx)=-1/√1-x²

(chx)=shx

(shx)=chx

(arctgx)=1/1+x²

(arcctgx)=-1/1+x²

(|x|)=signx (x≠0)

lne=0