5.9. Автоматизация вертикальной планировки автодороги

Автоматизация проектирования оси автодороги по высоте основана на применении теории интерполяции сплайн - функцией 3-го порядка (кубическим сплайном).

Интерполяция – это определение значения функции между фиксированными точками. Пусть на рис. 5.6 в точках Х₀, Х₁, …, Х_n оси дороги определены отметки Н₀, Н₁, …, Н_n характерных точек рельефа. Требуется определить отметку Н_А в точке Х_А.

Рис. 5.6. Схема интерполяции

Наиболее простой способ аппроксимации (обобщения) точек с отметками Н₀, Н₁, …, Н_n (называемых линейными функционалами) – это соединение их прямыми линиями. И тогда искомая отметка Н_А в точке Х_А , лежащая между фиксированными точками Х₀ и Х₁ , будет равна:

Н_А = Х₀ + (Н₁ – Н₀)(Х_А – Х₀) / (Х₁ – Х₀) - (5.15)

формула линейной интерполяции.

Линейную интерполяцию применяли при построении топографического плана: проведение горизонталей между отметками точек интерполяцией на глаз или палеткой.

Фактически профильная линия земной поверхности не совпадает с прямыми линиями. Она ближе к параболической кривой. Например, аппроксимация полиномом Лагранжа (изучается в курсе «Высшая математика»). В последние десятилетия в мире стала широко применяться аппроксимация линейных функционалов сплайн – функцией n – го порядка.

Сплайн в переводе с английского – «гибкая линейка». Если гибкую линейку приложить к трем фиксированным точкам, то она опишет параболу. В геодезии применяется для аппроксимации результатов измерений сплайн – функция 3-го порядка (кубический сплайн).

В любом случае аппроксимирующая функцияH=(X) не будет совпадать с истинной функцией. Для этого потребуется бесчисленное количество фиксированных точек, что практически невозможно. Кубический сплайн строится при условиях. 1. В фиксированных точках i (узлах сетки) (X_i)=H_i - обеспечение условия интерполяции. 2. На промежутках между узлами сумма квадратов вторых производных функции (X) должна быть минимальной

(”(X))²dx=min - (расширение способа наименьших квадратов Гаусса). (5.16)

Вторая производная функции, или момент функции m_i= ”(x), характеризует кривизну. Сплайн (5.16) имеет минимальную кривизну (наименьшее искривление из всех возможных вариантов).

Если все моменты m_i известны, то интерполяция выполняется по формуле

-67 -

H_A=_i(X_A)=m_i-1(X_i-X_A)³/6k_i+m_i(X_A-X_i-1)³/6k_i+(H_i-1-m_i-1k_i²/6)(X_i-X_A)/k_i++(H_i-m_ik_i²/6)(X_A-X_i-1)/k_i , (5.17)

где k_i=X_i-X_i-1 , X_i – координаты фиксированной точки, Х_А- координата интерполяционной точки на отрезке [X_i-1 , X_i], H_i –отметка в точке X_i , m_i –момент функции.

Моменты функции вычисляются из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

im₁ m₂ m₃ m₄ m₅ ….. m_n-2 m_n-1 L

1 b_i c_i 0 0 0 ….. 0 0 L₁

2 a_i b_i c_i 0 0 ….. 0 0 L₂

3 0 a_i b_i c_i 0 ….. 0 0 L₃

4 0 0 a_i b_i c_i ….. 0 0 L₄

……………………………………………………………..

n-1 0 0 0 0 0 …… a _i b_i L_n-1

Здесь коэффициенты СЛАУ: a_i=k_i/6, b_i=(k_i+k_i+1)/3, c_i=k_i+1/6.

Свободные члены: L_i=(H_i+1-H_i)/k_i+1-(H_i-H_i-1)/k_i . (5.18)

На концах сетки узлов, в точках Х₀ и Х_n , кривизна линии не определена. Можно принять моменты функции в этих точках за нулевые: m₀=0 и m_n=0. Решение СЛАУ облегчается.

В соответствии с алгоритмом (5.17)-(5.18) составлена программа “splin”, приведена в и в методических указаниях «Обеспечение геодезических расчетов в строительстве».. На входе два вектора исходной информации: 101data X_i , 102 data H_i от i=0 до i=n. Программа формирует коэффициенты и свободные члены СЛАУ. Решается СЛАУ относительно моментов m_i последовательным исключением неизвестных. Далее, вводится координата Х_А интерполяционной точки и по формуле (5.17) вычисляется отметка Н_А в этой точке.

Схема применения кубического сплайна для автоматизации вертикальной планировки автодороги следующая.

1. По расстояниям Х_i и отметкам H_i , от i=0 до i=n, строится продольный профиль.

2. На продольном профиле намечают проектную линию с соблюдением технических условий. По заданным уклонам вычисляют проектные отметки точек трассы.

3. Составляют векторы исходной информации: 101 data X_i , 102 data H_i от i=1 до i=n – векторы фиксированных точек, и 103 data X1_j , 104 data H1_j от j=0 до j= k - векторы точек проектной линии (можно только пикеты).

4. По введенным векторам исходной информации программа формирует два сплайна: один – сплайн топографической поверхности по оси дороги, другой – сплайн проектной линии.

5. Интерполяцией по сплайнам вычисляются и выводятся на дисплей проектные и рабочие отметки в фиксированных точках трассы, расстояния до точек нулевых работ.

6. При необходимости можно вычислить интерполяцией отметки земли, проектные и рабочие отметки в любых точках трассы. Например, при беспикетном способе трассирования для определения отметок пикетов, при разбивке вертикальных кривых. По существу проектный сплайн – это сопряжение вертикальных кривых.

7. Для вычисления объемов земляных работ вводятся параметры поперечного сечения дороги: ширина дороги b по верху и коэффициент заложения откоса K=a/h (a - заложение, h – высота откоса). Площадь S поперечного сечения дороги в заданной точке трассы вычисляется по формуле, вытекающей из рис. 5.7,

-68 -

S=(b + K*h)*h , (5.19)

8. Вводится шаг вычисления объемов земляных работ. Например, 1 м. На дисплей выводятся объемы земляных работ на участках между фиксированными точками трассы и суммарные объемы по трассе.

Рис. 5.7. Схема вычисления площади поперечного сечения дороги

Если объемы земляных масс не удовлетворяют поставленным условиям, то изменяют положение переломных точек. Вводят изменения в проектные векторы и новый расчет. Программа удобна для вариантного решения задачи.

Пример по данным рис. 5.4

Пуск, переход в конец программы и составление исходных векторов:

101 data 0, 55, 100, 200, 250, 300

102 data 30.29, 30.43, 28.63, 28.05, 26.25, 26.45

103 data 0, 100, 200, 250, 300

104 data 30.29, 29.29, 28.29, 27.60, 26.90 F5

Ввести число точек трассы и число переломных точек проектной линии, включая ПК 0

? 6, 5 enter

Результаты записываются в таблицу.

Точка	Х, м	Отметки			Расст. до т. н. р.
		земли	проектные	рабочие	между точками	d1	d2
0	0	30.29	30.29	0	0-1	0	0
1	55	30.43	29.72	-0.71	1-2	23.22	27.43
2	100	28.63	29.29	+0.86	2-3	0	0
3	200	28.05	28.29	+0.25	3-4	0	0
4	250	26.25	27.60	+1.35	4-5	0	0
5	300	26.45	26.89	+0.44	5-6	0	0

Записали, наберите 1 ? 1 enter

Если необходимо вычислить отметки в дополнительной точке трассы, наберите 1 (например, для разбивки вертикальной кривой, для разбивки городской дороги через 20 м и т. п.), если нет – то 0

? 1 enter

Ввести Х метров определяемой точки ? 190 enter

xa= 190 Нземля= 28.25 Нпроект= 28.41 Нрабочая= .15

Если необходимо вычислить отметки в дополнительной точке трассы, наберите 1, если нет – то 0 ? 1 enter

Ввести Х метров определяемой точки

? 210 enter

xa= 210 Нземля= 27.72 Нпроект= 28.16 Нрабочая= .43 и т. д.

Если необходимо вычислить отметки в дополнительной точке трассы, наберите 1, если нет – то 0

? 0 enter

Если необходимо вычислить объемы земляных работ, наберите 1, если нет – 0

? 1 enter

Введите параметры поперечного сечения дороги: ширину дороги по верху, коэффициент заложения откоса

? 10, 0.75 enter

Введите шаг вычислений, например 1 м

? 1 enter

Объемы земляных работ, куб. м.
в интервале, м	насыпь	Выемка	баланс
0-55	0	-251	-251
55-100	127	-56	72
100-200	677	0	677
200-250	414	0	414
250-300	520	0	520
300-338	50	-35	15
338-375	0	-374	-374
375-400	0	-323	-323
400-500	283	-95	108
Суммарные объемы по трассе: насыпь=+1994, выемка=-1031 баланс=+963

Объемы земляных работ, куб.м

В интервале насыпь выемка баланс

0 - 55 0 -290 -290

55 - 100 77 -90 -12

100 - 200 536 0 536

200 - 250 441 0 441

250 - 300 574 0 574

уммарные объемы по трассе: насыпь= 1629 выемка=-380 баланс= 1250

Объемы выемки кюветов легко подсчитать вручную: площадь поперечного сечения кювета умноженная на его длину и учесть в суммарном балансе земляных работ. Если проект не удовлетворяет, то ввести новые значения в проектные векторы и Shift+F5 (новый расчет). Так как проектный сплайн получается в виде сплошного сопряжения вертикальных кривых, то переломные точки можно намечать чаще, например, через 100 м (на каждом пикете). Проектная линия пройдет через заданные точки.

Данную программу могут использовать как студенты специальности ПГС при выполнении расчетно-графической работы и на учебной практике, так и студенты 4-го курса специальности «Архитектура» по дисциплине «Основы геодезии, инженерного благоустройства и транспо