1. 4. Прямая и обратная геодезическая задача

В геодезии конечными результатами измерений являются не сами непосредственные измерения, а величины, функционально связанные с ними. Часто решаются такие типовые задачи. 1). По заданным координатам начальной точки линии, измеренной длине и дирекционному углу линии вычислить координаты конечной точки линии – прямая геодезическая задача. 2). По заданным координатам начальной и конечной точек линии вычислить длину и дирекционный угол линии – обратная геодезическая задача. Задачи решаются на основе решения прямоугольного треугольника по формулам тригонометрии,

Для решения задачи составить расчетную схему в соответствии с заданными величинами (рис. 1.5).

Прямая задача. Даны координаты Х₁ и У₁ точки 1, дирекционный угол  и длина d линии 1-2. Вычислить координаты Х₂ и У₂ точки 2.

Рис. 1. 5. Прямая и обратная геодезическая задача

а – расчетная схема; б – знаки приращений координат в зависимости от названия румбов

Решение.

1. От дирекционного угла  перейти к румбу r по формулам связи рис. 1.3.

2. Вычислить катеты х и у прямоугольного треугольника (приращения координат) по формулам тригонометрии:

х = d cosr ; у = d sinr. (1.8)

3. По названию румба определить знаки приращений (рис. 1.5, б).

4. Вычислить координаты точки 2:

Х₂ = Х₁  х ; У₂ = У₁  у . (1.9)

Для решения данной задачи четырехзначные таблицы Брадиса не подходят. Недостаточное количество значащих цифр. Вычисления следует выполнять на микрокалькуляторе (МК). На МК задачу можно решить непосредственно по дирекционному углу 

Х₂ = Х₁ + d cos ; У₂ = У₁ + d sin . (1.10)

Знаки приращений определяются автоматически.

Обратная задача. Даны координаты Х₁ и У₁, Х₂ и У₂ точек 1 и 2. Вычислить длину d и дирекционный угол  линии 1-2. Решение.

1. Вычислить приращения координат:

х = Х₂ – Х₁ ; у = У₂ – У₁ . (1.11)

2. Вычислить румб r и длину d линии 1-2 по формулам, вытекающим из уравнения (1.8):

r = arc tg(у / х) ; d = х / cosr = у / sinr . (1.12)

3. По знакам приращений х и у определить название румба, пользуясь рис. 1.5, б.

-6 -

4. От румба перейти к дирекционному углу по формулам связи рис.1.3.

Задача решается на микрокалькуляторе. Но при этом непосредственно определить угол  по формуле  = arc tg(у/х), вытекающей из уравнений (1.10), невозможно из-за неоднозначного решения задачи. Так при х отрицательном, у положительном и х положительном, у отрицательном получим одинаковые значения.

В современных микрокалькуляторах для вычисления тригонометрических функций встроены три программы: DEG, RAD, GRAD. Программа DEG – вычисления через градусы (1⁰ = 1 / 360 часть окружности); программа RAD - вычисления через радианы (1 радиан – дуга окружности, равная радиусу); программа GRAD – вычисления через гоны (1 гон = 1 / 400 часть окружности с дальнейшей десятичной дробью – 0.01 - 0.0001 гона). Гоны применяются в угломерных приборах (теодолитах) производства Германии.

Для контроля вычисления следует выполнять по разным формулам. Так, решение прямой задачи можно выполнить по формулам (1.8)-(1.9) и (1.10), кроме первой четверти. В северо-восточной части r =  , контроля не будет. В этом случае, как и при решении обратной задачи, вычисления следует вести через градусы и через радианы. Связь между градусами и радианами

r ^рад = r ⁰ / 57.29578 ; r ⁰ = r ^рад  57.29578 . (1.13)

Задачи можно решить на ЭВМ дома на компьютере по программе rpiogz - «Решение прямой и обратной геодезической задачи». Обе задачи решаются непосредственно по  и d. Методические указания по решению задач приведены в «Программном обеспечении геодезических расчетов в строительстве».

1. 5. Изображение рельефа на картах

Рельефом называется совокупность неровностей земной поверхности. На топографических картах и планах рельеф изображается горизонталями в совокупности с подписью отметок характерных точек. (Отметка – численное значение высоты). Горизонталь – линия равных высот. Примером горизонтали на местности является береговая линия озера (урез воды). Все точки уреза воды озера имеют равные высоты. Горизонталь на карте можно представить как след сечения земной поверхности уровенной поверхностью, спроектированного на горизонтальную плоскость и перенесенного на бумагу в уменьшенном виде (горизонтальная проекция горизонтали).

На картах и планах горизонтали и отметки их вычерчивают коричневым цветом. Отметки подписывают в разрыве горизонтали, перпендикулярно ей и основания цифр должны быть обращены в сторону понижения местности (по направлению ската).

Направления скатов, кроме отметок горизонталей, указывают бергштрихи – короткие черточки длиной 0.5 мм. Отметки отдельных точек, обозначаемых на картах точкой а на планах кружком диаметром 0.7 мм, в отличие от отметок горизонталей, выписываются черным цветом.

На рис. 1.6 приведены элементы ската.

Рис. 1. 6. Элементы ската

1 и 2 - секущие горизонтальные плоскости. Расстояние между ними по высоте называется высотой сечения рельефа h. Проекция ската на горизонтальную плоскость называется заложением ската а. Крутизна ската определяется углом наклона  в градусной мере или уклоном i в относи-

-7 -

тельной мере. Функциональная связь между этими величинами:

i = tg = h / a ;  = arc tg(h/a)  h  / a , (1.14)

где  = 180 /  - число градусов в одном радиане. Уклон i может быть выражен десятичной дробью (i = 0.025), либо в процентах (i = 2.5 ), либо в промилях (i = 25 /_{o о} ). Одна промиля (обозначение  /_{o о}) = 0.001. В строительстве уклоны в основном нормируются в промилях.

Из формулы (1.14) следует: чем круче скат, тем меньше заложение, при скатах равной крутизны заложения равны. Чем меньше высота сечения рельефа, тем подробнее изображается рельеф. Стандартный ряд высот сечения рельефа: h = 0.5 м, 1 м, 2 м, 2.5 м. Сечение 0.5 м применяется на топографических планах масштабов 1:500 – 1:1000, 1 м – на планах 1:2000 – 1:5000, 2 м при изображении равнинных участков и 2.5 м всхолмленных участков на картах масштаба 1:10000. Высота сечения рельефа подписывается под южной рамкой карты (плана).

Отметки горизонталей кратны сечению рельефа. Так при h = 0.5 м отметки горизонталей : 50, 50.5, 51, 51.5, 52 и т.д. метров. При h = 2.5 м отметки горизонталей 100, 102.5, 105, 107.5, 110 и т.д. метров.

Все разнообразие рельефа описывается 6-ю основными формами. Гора (холм, сопка). Обратная форма горе - котловина (впадина). Хребет. Обратная форма хребту – лощина. Седловина (перевал в горах). Обрыв. См. рис. 1.7.

Высокая точка горы – вершина, низкая точка котловины – дно, низкая точка седловины – место встречи двух хребтов и начало двух лощин. Эти точки называются характерными точками рельефа.

Хребет и лощина состоят из двух скатов. Скаты хребта пересекаются в высоких точках, образуя водораздельную линию. Скаты лощины пересекаются в низких точках, образуя водосливную линию. Эти линии называются характерными линиями рельефа.

Если заложения скатов меньше 0.2 мм на карте, то такие скаты изображаются условным знаком обрыва. Если при заданном сечении какие-то части рельефа изображаются недостаточно полно, то проводят дополнительно полугоризонтали кратно h/2 – половине сечения рельефа - пунктирными линиями, иногда в виде отдельных частей.

По высоте сечения, отметкам горизонталей, бергштрихам, отметкам отдельных точек, характерным точкам и линиям читается рельеф. Сложность чтения рельефа заключается в том, что по ортогональной проекции на плоскости представлять рельеф в пространстве.

Основой решения всех задач на рельеф (определение уклона линии, построение профиля по заданному направлению, проектирование вертикальной планировки и т. п.) является определение отметок точек по горизонталям. Основные правила:

1. Точка лежит на горизонтали. Отметка точки равна отметки горизонтали. Например, на рис. 1.7 точка 1. От подписанной горизонтали 140 вверх при h = 2.5 м должна быть горизонталь 142.5 м. Следовательно, отметка точки 1 Н₁ =142.5 м. Второй путь решения. Отметка точки на водоразделе 144.0 м. При h = 2.5 м должна лежать между горизонталями 142.5 и 145 м. Следовательно, горизонталь ниже точки по водоразделу будет 142.5 м. Получили тот же результат – контроль.

2. Точка 2 лежит на полугоризонтали. От горизонтали 140 вверх 142.5, 145 м и еще h/2. Следовательно, Н₂ = 146.2 м (отметки следует округлять до 0.1 м). Можно идти от отметки г. Белая. Ниже вершины горизонталь 145 м, понижение к седловине, от нее повышение к одноименной горизонтали 145 м другой горы и еще плюс h/2. Тот же результат

3. Точка лежит между разноименными горизонталями или между горизонталью и точкой с подписанной отметкой. Отметка точки определяется графической интерполяцией на глаз.

Точка 3 лежит на склоне горы между горизонталями 145 и 142.5 м на расстоянии 1/3 от верхней горизонтали. Следовательно, ее отметка Н₃ = 145 – 2.5 / 3 =144.2 м.

Точка 4 лежит на середине между вершиной г. Белая с отметкой 146.8 м и горизонталью 145 м. Следовательно, Н₄ = 145 + (146.8 – –145)/2=145.9 м.

Точка 5 лежит на водоразделе между горизонталью 142.5 м и полугоризонталью 141.25 м, на середине меду ними. Ее отметка Н₅ = 141.25 + 1.25 / 2 = 141.9 м.

-8 -

точек

 - точка с подписанной на карте отметкой; о – определяемая точка