engineering of curves and surfaces

o prqts<uwvxuwy{z vx|} ~ | ts<| z u sO y r wu vxu z |

u u y | pOy | p 8v | y y < | | <

w < vxvxy w K 4 < sOuwy |{ r p | uw {z |

u z uw

uw ! z y Iukq z ¡ Np <

vxy¥u z u¦ | ~ %§¨ uw {y z u O© | 4 W§

z u {vxuw y w ­ z < y z

ts< 4 < u N I ®p ¯ I pD| y z ~) Np y y ~ z uw

| | vxu uwy | O© Dy uw£u sOuw < y }pO |

pO|{sD u u q z |¬z | ² z z y { z ~'

y z | u w z y |{ pD s<¥ry K ~¸z } Iz y uwy

¹Oº5 » ¼K½ ¾ ¿ À » ¼}Á ¦à À ½ ¾8» À Á Ä Å

¹<º¨¹<º5 C@0.0CDÆ @0.2--ÈB@0.01 7I92É0CÈ0Ê2@¶È

M

M2Ç

M

Ë Np y ~#ÌÍz uw w | vx| < pD| w vx|{°± uw z <

Î Ï Ð Î ÑwÐ Ò Ò Ò Ð Î Ó¯Ò

Ô uw u z z | z tsD NpD 4 ! | 4

{

p Q z < vxu z | uw w | o | |uwv §¨ ª u w I | w

< < vxu z < }Ù ¤

Ù

Ù

Ù

ϸÚÑÛÚlÒ ÒwÒ ÚÓÛÒ

Ô ®pD Np < K w u6pDu z Ü 8 z uwy | ez u |

Щ еж зйи2клЩ®мклЩ®мрптс

Ð í Ð6î

Ò

p s< y uw { uwv¡ uÕ < I¥KpOuwy | pO IzK u z

y < z } Iª u z u z×ó áNô<õOö ÷Kø ó õ<õ<ùxú} sO| y v¡è

è2ê ÙðüNìxýBþrü

Ì

ê Nì

Ð ÿ

Ð Ò Ò Ò Ð

ÒÒ

®pDu þ}ü r Np y y ~ u | tsD Õy vx¥u z} ~¸z r | y <y<

Ó

Ù µÙ

ê ì

è2ê Ù®ì ýþ}ü

Ò

ÒÒ

ü

Ùðü µÙ

ü

Ï

uw u y u u pO 4 u²¥u w < y | | Ü sO| y vx~ vx¥pDuwy | u

¥uwv

s< 4 < z sO| y ~ uÛ | ~ u Q QÌ Np y y ~ z uw 4 uw wpDy wpO {ª | u uw u

| s< y z ny 4vxuw£| |Öz uw B|Ö |

q z | v z Q v GpD y w | z z D {z K < < vxu z ¬Ô ®p |{ vxuwy{ y 4vxuw

vxu y u v uw u6pDy z Q¥pDuwy | ´ uw u }y |{

vxu y u v' vF ¬ | 8|8 w I z pD |¥u y |

o z ly< | vxu | vx|pDu Q z ~ vx| I pD| y< z vx|Np y ~z | {sO 4

ê#ì ê

ì ê

ì ê

NìÛ§¨ |© o | |

ý Ù ý Ù

ý

Ð=Ð Ð Ð

Ð Ð {Ð

q z | v¡z Q vµ wy< uwy |Ï Ð Ñ 4Ð

ÐÙ

¸ý< s { | v | 4 O| w <o vxuwy }vxu z vx|8 w 4sO y¥uwy y 4 e

Ù ¸ýÙ ¯ýN© < s< 4 | v | 4 O| <¥

vxu z < ܧýÙ ýÙ

Ï

{ÐÑ

Ð Ð

Ù_

Qì

4ê Ù ì )(QìêëÙ4ê Ù ì 4êNìÙ

4ê Ù ì (

ê Ù

Qì Nì4ê 4êëÙ

_

ì

ê

è2êëÙ®ì6

Qì

4ê# ]ì ìê Iê6Qì ìIê 4êRì

Qì

4êNì Iê

Qì

ý

"!

$#

"!$

%!

"!

$

"! %!

,#

$

%!

$#'&

"!*#

$

"! "!# *#

+&

$

"!

"! $#

+&ý

Ñ

.0

Ù

Ù

Ù

ý

.- ,#.# (/ .#

V V1

Ò

uw wvx z Q %y< µz z +s< v y< ¸ w u pD| y{ ª | | y{z uw

s<£| y y w sO| y v 8| vxu u z8z Ô Q Ø| y z u s<|) u uw |£| µ

y u pD sOu z |{z u s< y w uw z y 4 {z

¯ 4 u

sOuwy | } w£|4s s<£| | y zuwz ÕpDuwvx y z |s<| 4 ª uw w

v | vxuw u O 4 z ~ 8y< w~ Q u z | vxu v4y u ¤O {y4( £ y z uw s<| è ý

.0Ñ

Ù

uw wvxu y z u¦çwï |8 < y vxuw y u z Iu

Ð

| <¥u y ~ ¤= w < | k 4y4y wuܧ£| |

¥r| y ûsO| y |{ O©|× w < | |k| y{z

¬ |

5

y y ~ 8 sO| y vx K |Ü | tsD ¦ I sO rÌýܧ 4y z | O© |ÜÌý8§ëz y ¬sO| y |{ O©

Ï

6

Ñ

7-

¬| w u¥ y | u < < | z y ~ Ø£|{s s£| ´ |Ø

sO| y vx|< s< y 4 w 4sD y{°±| y z uw s<ÝOÞtß <ô4à´ | 0 {sO£| ¤F Q¥p

u pDy | vx|¢§¨ ry vxuw < v© I sD vx|û I | vx| u z û w | v

¹<º5 Cº@0.0CDÆ @0.2--È%? É-A2.=3t@2.È0Ê2@¶È01 7I92É0C

M

M2Ç

M

M

pOuw Q {z ~ vx|K I pD| y< z vx|K 4sO w I z |8 · v

o z Np y ~ | vx|

< y uwu D w v z | Q uwv |{ 8

£| w~#þ

Ï Ð ÒwÒ ÒwÐÓ

z ~ey u uw u w I¥ z ¦|{ sO¥u y | u v z uw |< N

z ´y< < s< ) Q¥pD ¢£| |+ w {sO y< û z u zF û I y£)Ù

ouw u Q wp× ª uwvF ts { Uy u ~¸ ~ Q u zr z { pDy u y |

{sD y z r Q 4pD Q

EQ IpD ­ <

uwvxu z£| Ø {sD y< ´ø ÷KÞtßDÞó ÷ßOô{ówö âIÞNóÞ

pDu s< Ûz Ü| tsO | Ü| y{z uw s<£| |

²s< ×ó áNô<õOö ÷Kø ó õ<õOÞ©¸ w {sD y< K z w }Þ §¨ v °±£ | | u Q 4pO Q

(

ÿ

èOüIê Ù®ìxý

üQêëÙ®ìðþ}üþrü

Ñ

Ï Ò

ËpDuw|

¬ sO| y vx~# z r I IpD Q { pD sO tsO |{ v

Ï

ê*Qìxý

ê Qì ý

Ñ

Ï

Ñ

ê Nì

ê Nìxý ê#Nì ý

ÒÒ

Ï

7

Ò

Ñ

x tsO|8 | w z rq z |Ü sO| y vx~# } |4pDu

ê Ù®ì ý

Ù

ý

(

Ð={Ð

z p<s u pOu sOu y | 4 qw |© v z | y u 4 < y u y£| u y z r s< 4 | v

5

!

Ï

Ñ

ý

Ò

Ï

Ñ

u | rq z K 4 < y uwy | u Oy< 4pDu v"! ! "!

Ï

Ñ

Ï

Ò

Ï

Ñ

ý

ý

Õz

!

(

"!$#

ý

%!

èOü ê êÙ®ì ý# 6µÙ®ìðþ}ü+Ù

Ì

Ð Ï

ê ì

&

Ð

ÒÒ

Ï ÿ

ÐwÒ Ò ÒwÐ

Ëvxuw y | u§ © × 4 < y uwy | u z u Q { F w u6pDþ}üwì| êþrü = <|y

{sD y } z r Q 4pD Q

}sO v y ('

{sD y8z u z uw ¬ Q 4pO Q

uwvxu z Õ÷ßOó ÷£|Ió{sD y ÞF I IpD Q ÷ßDó <Ý<ã ßQãßOô {ówö âIÞ ó ² ó ÷ Q <

*)

+

,

pDu s< Ûz | tsO | | y z u s<Õ z { z uw u y K w pO~£| |

vxu p<s< Ø uw uw u y |

.-

Dã áNâIÞ ö ÷ ô {sD y< ק¨y ßOó õ<õ<ô

/

I sO 8 wu z |O©

Ë |uwv £| ]q z r {sD y< } } |4pOu

èOüQêëÙ®ìý

10

Ù®ìðþ}üê Ù®ìðþ}üê Ù®ì

43

<ü

(

20

(

20&

®pDu

ê

Qì

Ï

Ñ

Ï

Ð

53<üÛý%è6

o s<| y vx~%z u z u wNpD­ sOuQ4pDz Q I z­ uw |4pDy ~

Ïê

0ìxý0

Ñê

Qì ý

Nê

Qì ý

*0

Ï ÐÑ Ð

Ï

0

0

Ò

*

Ñ

3

ê

Qì

ê ìxý ê#Nì ý Nê#Nì ý

Ï

7

3

*

ìxý

Ñ

Qì ý

ÒÒ

ê

ê

Qì ý ê

Ë | w K| wsO|I06yvx~ vx~#u06 } |4pDu06

Ð={Ð

êëÙ®ì ý

Ù

Ñ

ê

ý

Qì

Ù

(

(

| 4 | z ~ O 0 z }z

®p

ê Ù®ì ý

Ù ê ý Qì

6

0

(

Ð

{Ð

Ð Ð

u

s< 4 | v'| 5 © vtsO z || ¢§y u 4 < y u y | £uÕp<s<| uwy z ¤

!

ý

Ï Ñ

Ï

Ñ

Ò

Ï

Ñ

u 8q z r 4 < y uwy | u Oy< 4pOuwv

Ï Ñ

Ï

ý

ý

Ï

Ñ

#

Ò

Ï

Ñ

Õz

Ñ

(

Ñ

(

èOüQê Ù®ì ýUêìðþ}ü6¢ÙþrüµÙ ¡Ù ê6Oü)Ù®ì

ê

ì

5

(

(

3

Ò

ÒÒ

Ï

² | u uwy £ |{ I© ¢§ s< 4 | v

è êëÙ®ì ýþ}ü Ùþ}ü #ê

Ù®ì

<ü

ü

#

6

Ï

Ò

tsO uw| u ~ y z |Ü &

| w 43vxuwwpDyp uv z ¤w {sO y<

ÿ

è

ê

Nìxýþ}ü(

þrü

ýOü

ê*Qì

ü

Ï

Ï

<üÛý%è

|{s<|

6

Ï

#

23 3

6

#

<üÛý

#

Ì

3

<ü (

3

ê þ}üµþ}ü ìý

Ï

Ï

ÿ

4Ð Ò Ò Ò Ð

²s< ¬ u pDu sOuwyNì< | < vxu z vx~Bê s< 4 |{s<|ÜÌ{yÕu yz |

3

3