mat_mod_bilety_posled_var_1

12 вопрос. Имитационное моделирование систем (имитация функционирования системы).

Предположим, исследуется вычислительная система (ВС), состоящая из процессора 1 с основной памятью, устройство вода перфокарт 4, АЦПУ 2 и дисплея 3 (рис. 4.1.).Рис. 4.1. Упрощённая схема моделируемой системы.

Через устройство 4 поступает поток заданий Х1. Процессор обрабатывает задания и результаты выдаёт на АЦПУ 2. Одновременно с этим ВС используется, например, как информационно-справочная система. Оператор-пользователь, работающий за дисплеем, посылает в систему запросы Х2, которые обрабатываются процессором и ответы выводятся на экран дисплея. Процессор работает в 2-х программном режиме: в одном разделе обрабатываются задания Х1, в другом, с более высоким относительным приоритетом запросы Х2. Представим данную ВС в упрощённом варианте в виде стохастической сети из 4-х СМО. Потоки заданий и запросы будем называть потоками заявок. Считаем потоки Х1 и Х2 независимыми. Известны ф.р. периодов следования заявок 1 и 2 и длительность обслуживания Т1К , T2К заявок в к-ом устройстве. Требуется определить времена загрузки каждого устройства и времена реакции по каждому из потоков.

Вначале определяется момент поступления в систему 1-ой заявки потока Х1 по результатам случайного испытания в соответствии с ф.р. периода следования заявок.На рис. 2 это момент времени t1=0+ 11 (здесь и далее верхний индекс обозначает порядковый номер заявки данного потока). То же самое делается для потока Х2. На рис.2 момент поступления 1-ой заявки потока Х2t2=0+ 21. Затем находится минимальное время, т.е. наиболее раннее событие. В примере это время t1. Для 1-ой заявки потока Х1определяется время обслуживания устройством ввода перфокарт Т114 методом случайного испытания и отмечается момент окончания обслуживания t4=t1+ Т114. На рис. показан переход устройства 4 в состояние "занято". Одновременно определяется момент поступления следующей заявки потока Х1: t12=t1+ 12. Следующее минимальное время это момент поступления заявки потока Х2 - t2. Для этой заявки находится время обслуживания на дисплее Т123 и отслеживается время окончания обслуживания t3=t2+ Т123 . Определяется момент поступления второй заявки потока Х2: t7=t2+ 22 . Снова выбирается минимальное время — это t3. В этот момент заявка потока Х2 начинает обрабатываться процессором. По результату случайного испытания определяется время её обслуживания T121 и отмечается момент t5=t3+ T121 окончания обслуживания. Следующее минимальное время t4 - момент завершения обслуживания заявки потока Х1 устройством 4. С этого момента заявка может начать обрабатываться процессором, но он занят обслуживанием потока Х2. Тогда заявка потока Х1 переходит в состояние ожидания, становиться в очередь. В следующий момент времени t5 освобождается процессор. С этого момента процессор начинает обрабатывать заявку потока Х1, а заявка потока Х2 переходит на обслуживание дисплеем, т.е. ответ на запрос пользователя передаётся из основной памяти в буферный накопитель дисплея. Далее определяются соответствующие времена обслуживания: T111 и T123 и отмечаются моменты времени t9=t5+ T111 и t6=t5+ T123. В момент t6 полностью завершается обработка первой заявки потока Х2. По разности времени t6 и t2 вычисляется время реакции по этой заявке u12= t6- t2. Следующий минимальный момент t7 - это наступление 2-ой заявки потока Х2. Определяет время поступления очередной заявки этого потока t15= t7+ 23. Затем вычисляется время обслуживания 2-ой заявки на дисплее T223 и отмечается момент t8=t7+ T223, после чего заявка становится в очередь, т.к. процессор занят. Эта заявка поступит на обслуживание в процессор только после его освобождения в момент t9 . В этот момент заявка потока Х1 начинает обслуживаться в АЦПУ. Определяются времена обслуживания Т221 и Т112 по результатам случайных испытаний и отмечаются моменты окончания обслуживания t11= t9+Т223 и t10= t9+Т112. В момент времени t10 завершается полное обслуживание 1-ой заявки потока Х1. Разность между этим моментом и моментом времени t1 даёт 1-ое значение времени реакции по потоку Х1u11= t10- t1.

Указанные процедуры выполняются до истечения времени моделирования. В результате получается некоторое количество (выборка) случайных значений времени реакции (u1) и (u2) по 1-ому и 2-ому потокам. По этим значениям могут быть определены эмпирические функции распределения и вычислены количественные вероятностные характеристики времени реакции. В процессе моделирования можно суммировать продолжительности занятости каждого устройства обслуживанием всех потоков. Например, на рис. 2 занятость процессора 1 выделена заштрихованными ступеньками. Если результаты суммирования разделить на время моделирования, то получатся коэффициенты загрузки устройств.

Можно определить время ожидания заявок в очереди, обслуженных системой, среднюю и максимальную длину очереди заявок к каждому устройству, требуемая ёмкость памяти и др.

Имитация даёт возможность учесть надёжностные характеристики ВС. В частности, если известны времена наработки на отказ и восстановления всех входящих в систему устройств, то определяются моменты возникновения отказов устройств в период моделирования и моменты восстановления. Если устройство отказало, то возможны решения:

снятие заявки без возврата;

помещение заявки в очередь и дообслуживание после восстановления;

поступление на повторное обслуживание из очереди;

13 вопрос. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования (алгоритм моделирования по принципу особых состояний).

Оно использовалось в приведённом выше примере. В качестве событий выделены:

поступление заявки в систему;

освобождение элемента после обслуживания заявки;

завершения моделирования;

обработка значений выходных характеристик. Обобщённая схема алгоритма моделирования по принципу особых состояний приведена на рисунке 5.1.

14 вопрос. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования (алгоритм моделирования по принципу t).

1) Устанавливаются начальные значения (состояния) t=0

2) Задаетсяприращениемодельноговремени

3) На основе вектора текущих состояний элементов модели и нового времени мы рассчитываем новые значения этих состояний

4) Если не превышено время моделирования, то три предыдущих этапа повторяются.

Моделирующий алгоритм, основанный на применении dt применим для более широкого круга систем, чем алгоритм, построенный по принципу особых состояний. Однако при его реализации возникают проблемы определения величины dt. Для моделирования ВС на системном уровне в основном используются принцип особых состояний.

15 вопрос. Марковские процессы. Марковские цепи. (в конспекте)

Марковским называется случайный процесс, состояние которого в очередной момент времени зависит только от текущего состояния и не зависитот предыстории процесса. В классе марковских процессов выделяют процессы с дискретными состояниями, называемые марковскими цепями. Когдамножество состояний процесса S = {s1…sk} конечно, марковская цепь называется конечной. Конечная марковская цепь может быть определена в непрерывном или дискретном времени. В первом случае переходы процесса из одного состояния в другое связываются с произвольными моментами времениt0, t1, t2… и цепь называют непрерывной; во втором переходы идут только вфиксированные моменты времени, обозначаемые порядковыми номерами t =0, 1, 2, .., и цепь называется дискретной.Дискретнаямарковская цепь определяется :1) множеством состояний S = {s1,…,sk};2) матрицей вероятностей переходов (или переходных вероятностей), характеризующей вероятности перехода процесса с текущим состоянием siвследующее состояние sj;3) вектором начальных вероятностей P = {p1,..pk}, определяющим вероятность рiтого, что в начальный момент времени t = 0 процесс находится всостоянии si.Марковские цепи классифицируются в зависимости от возможностиперехода из одних состояний в другие. Основными являются два класса: поглощающие и эргодические цепи.Поглощающая марковская цепь содержит поглощающее состояние,достигнув которого процесс уже никогда его не покидает, по сути дела этомоделирует прекращение процесса. Из какого бы состояния ни начался процесс, при n→ с вероятностью 1 он окажется поглощающем состоянии s0.Основная характеристика процесса, порождаемого поглощающеймарковской цепью, - число пребывания процесса в состояниях s1,…,skдомомента поглощения. Поглощающие марковские цепи используются вкачестве моделей программ. При моделировании программы состояния цепиотождествляются с блоками программы, а матрица переходных вероятностейопределяет порядок переходов между блоками, зависящий от структурыпрограммы и распределения исходных данных, значения которых влияют на развитие вычислительного процесса. В результате удается вычислить числообращений к блокам программы и время

выполнения программы.Аналогично можно представить и работу с аппаратурной частью, когдасостояния отображают

использование отдельных устройств компьютера.Эргодическая (возвратная) марковская цепь представляет собоймножество состояний, связанных матрицей переходных вероятностей такимобразом, что из какого бы состояния процесс ни исходил, после некоторогочисла шагов он может оказаться в любом состоянии, в том числе и исходном.Процесс, порожденный эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последовательно переходит из одногосостояния в другое, попадая в различные

состояния с разной частотой,зависящей от переходных вероятностей. Поэтому основная характеристикаэргодической цепи – вероятности пребывания процесса в состояниях s1,…,sk.Эргодические цепи используются в качестве моделей надежности систем.При этом состояния системы, различающиеся составом исправного иотказавшего оборудования, трактуются как состояния эргодической цепи, переходы между которыми связаны с отказами и восстановлениямиустройств и реконфигурацией связей между неми,

проводимой длясохранения работоспособности системы в целом. Оценки характеристикэргодической цепи дают представление о надежности поведения системы.Кроме того, эргодические цепи используются в качестве базовых моделейвзаимодействия устройств с задачами, поступающими на обработку.Марковский процесс, в котором переходы между состояниями разрешаются в любой момент времени, называется непрерывной марковской цепью. Однородная непрерывная марковская цепь, поведение которой в любоймомент времени подчиняется одному и тому же закону, задается матрицейинтенсивности переходов Q = [qij]; i,j= 1….K.Интенсивность переходов определяется следующим образом:

в любое новое состояние равна –qi,j t.Основная характеристика непрерывной марковской цепи – стационарное (финальное) распределение вероятностей состоянийА= {a1,….ak}, где ai– вероятность пребывания процесса в состоянии si.

16 вопрос.Компоненты и классификация моделей массового обслуживания.

В теории массового обслуживания изучаются системы, на вход которых поступает случайный поток заявок (требований), приходящихся в общемслучае на случайные моменты времени. Поступившая заявка обслуживаетсяв системе путем предоставления ей некоторых ресурсов на какое-то время и,будучи в той или иной мере обслуженной, покидает систему. Наиболее характерный момент функционирования систем массового обслуживания – этоналичие очередей, в которых заявки ждут момента освобождения ресурсов,занятых обслуживанием других заявок.В простейшем случае система массового обслуживания (СМО) определяется потоком заявок, длиной очереди и дисциплиной обслуживания (порядком выбора заявок из очереди), числом каналов (приборов)

обслуживания, распределением длительности обслуживания. В более сложных случаяхрассматривается надежность приборов обслуживания. Структура многоканальной однофазной СМО приведена на рис. 5.1.Число мест в очереди – это число заявок, которые могут ожидать обслуживания, находясь в СМО. По ограничению очереди СМО разделяются насистемы с нулевой длиной очереди, на системы с конечной (определенной)длиной очереди и системы с неограниченной длиной очереди. В системах снулевой и конечной длиной очереди имеют место отказы. Заявка,попавшая на отказ, считается потерянной.Рис. 5.1.Дисциплина очереди может быть без приоритетов или с приоритетами.Таким образом, СМО характеризуется следующим наборомпараметров:1)

распределением длительности интервалов между заявками входящего потока р(а);2) числом мест в очереди;3) дисциплиной обслуживания заявок D;4) числом обслуживающих приборов (каналов) K;5) распределение длительности обслуживания заявок приборами p(b);6) надежностью обслуживающих приборов.Указанный набор параметров полностью определяет порядок функционирования системы. Процесс функционирования количественно оценивается следующим набором основных характеристик:1) загрузкой – средним по времени числом приборов, занятых обслуживанием;2) длиной очереди – средним числом заявок, ожидающих обслуживания;3) числом заявок, находящихся в системе (в очереди и на приборах);4) временем ожидания – средним временем пребывания заявок в очереди;5) временем пребывания заявки в системе;6) временем исправной работы приборов;7) количеством обслуженных и потерянных заявок.В многофазных СМО очереди могут быть на каждой фазе обслуживания. В тех случаях, когда возможно возвращение заявки после обслуживанияна последующей фазе к обслуживанию на одной из предшествующих, говорят о более сложных образованиях - сетях массового обслуживания. Сетьмассового обслуживания можно представить как совокупность узлов – отдельных СМО. Сеть массового обслуживания задается следующим наборомпараметров:1) параметрами источника заявок;2) структурой, определяющей конфигурацию связей и вероятности передачизаявок между узлами сети;3) параметрами СМО, образующих сеть.Функционирование сети массового обслуживания определяется совокупностью узловых и сетевых характеристик. Узловые характеристики оценивают работу каждой СМО и включают в себя весь набор их характеристик.Сетевые характеристики оценивают функционирование сети в целом и включают в себя:1) загрузку – среднее по времени число заявок, обслуживаемых сетью исреднее число каналов, занятых обслуживанием;2) число заявок, ожидающих обслуживания в сети;3) число заявок, находящихся в сети в состоянии обслуживания или ожидания;4) суммарное время ожидания заявки в сети;5) суммарное время пребывания заявки в сети.

17 вопрос.Имитационное моделирование систем массового обслуживания (общие положения).

Одним из методов исследования сложных систем, в том числе, и систем массового обслуживания (СМО) является метод имитационного моделирования, когда модель (как следует из названия вида моделирования) имитирует работу реальной системы, т.е. модель воспроизводит процесс функционирования реальной системы во времени.

Любая система, как известно, представляет собой совокупность взаимосвязанных элементов и, следовательно, построение ее адекватной имитационной модели предполагает имитацию процесса функционирования каждого отдельного элемента системы с обязательным сохранением логики и правил взаимодействия и развития составляющих систему элементов, как во времени, так и в пространстве (в том числе последовательность и параллелизм их во времени).

Основное преимущество имитационного моделирования перед другими видами моделирования (например, аналитическим) состоит в универсальности в смысле возможности исследования любых достаточно сложных систем, с учетом таких факторов и условий, которые трудно или вообще невозможно учитывать при аналитическом моделировании. Поэтому во многих

Для нас наибольший интерес представляет модельное время. Для того, чтобы вести отсчет модельного времени и обеспечить правильную хронологическую последовательность наступления основных событий в имитационной модели используется так называемый таймер модельного времени, которая представляет собой переменную для хранения (фиксации) текущего значения модельного времени.В процессе моделирования системы, таймер модельного времени, безусловно, должен постоянно корректироваться в соответствии с теми основными событиями, которые возникают в реальной системе. При этом существуют два способа (два принципа) коррекции значения таймера модельного времени:

1)коррекция с постоянным шагом (принцип t);

2)коррекция с переменным шагом (принцип z).

В первом случае при каждой коррекции модельное время увеличивается на одно и то же значение t, выбираемое перед началом моделирования, а во втором случае значение приращения таймера каждый раз является случайной, а, значит, переменной величиной. Проиллюстрируем оба принципа коррекции таймера на примере. Пусть С1, С2, С3, ... – основные события, происходящие в системе, а t1, t2, t3,...- моменты появления этих событий. Отметим эти события и соответствующие моменты на оси времени реальной системы, причем полагаем, что события С4 и С5 происходят одновременно (рис.3.1, а) Рис. 3.1. Моменты возникновения и обработки событий.В модели, где время корректируется с постоянным шагом по принципу t (рис.3.1, б) модельное время tM будет последовательно принимать значения t1' = t,t2' = 2 t, t3' = 3 t и т.д. Эти

моменты модельного времени никак не связаны с моментами t1, t2, t3... появления событий в реальной системе. При этом подходе после очередного приращения таймера на величину t проверяется, не произошли ли на этом интервале в системе какие-нибудь события. Если есть такие события, то они обрабатываются, считая, что они якобы произошли в текущий момент модельного времени (правая граница интервала приращения), хотя реально события появились в другие моменты времени из интервала t. Очевидно, что при этом обработка событий может производиться группами. Выбор значения t оказывает существенное влияние на результаты моделирования с точки зрения адекватности отражения реальных событий в модели и затрат ресурсов компьютера на моделирование.В модели, где время корректируется с переменным шагом или по принципу z, значения, принимаемые модельным временем, совпадают, а значит, непосредственно связаны с моментами возникновения событий в реальной системе: t1" =t1, t2" =t2, t3" =t3. Достигается это тем, что при очередном приращении (после отработки события в текущий момент времени) модельное время сдвигается вперед до момента наступления следующего (ближайшего по времени) события. Отсюда, каждый раз модельное время получает переменное приращение, равное интервалу между двумя последовательными основными событиями. Очевидно, что при таком подходе, события отрабатываются в той последовательности, в те моменты времени, в которые они возникают в реальной системе. При этом одновременная обработка событий в модели имеет место только тогда, когда эти события появляются одновременно и в реальной системе (события С5 и С6 на рис.3.1).Для реализации способа завершения моделирования по выполнению

условия tM Т с тем, чтобы при каждой коррекции таймера не проверять выполнение этого условия, в модель можно ввести основное псевдо-событие "окончание моделирования". Такое событие укладывается в концепцию основных событий как событий, которых можно планировать заранее, т.к. момент наступления события "окончание моделирования" задается заранее в начале моделирования.На рис. 3.1. введенное псевдо-событие обозначено через С0с моментом наступления Т. Если после очередной коррекции модельного времени выяснится, что наступило событие "окончания моделирования", то принимается соответствующее решение.

20 вопрос. Имитационное моделирование систем массового обслуживания (логическая схема имитационной модели).

Используя изложенные выше положения, разработаем обобщенную логическую схему имитационной модели простейшей СМО типа G/G/1, которую затем, зная стандартные процедурные языки программирования, можно реализовать на компьютере. Разработку схемы будем вести при следующих условиях.

1.Заданы функции распределения A(t) и B(t) для интервалов поступления и длительностей обслуживания заявок, т.е. СМО полностью формализована.

2.В системе соблюдается условие существования стационарного режима, т.е. условие, что загрузка =b/a< 0, где а и b – средние значения соответственно интервалов поступления и длительностей обслуживания.

3.В начале моделирования система свободна.

4.Задано время моделированияТ и в общем случае, когда моделирование завершается, система может быть не

свободна.

5.Дисциплиной обслуживания является дисциплина FIFO.

6.В результате моделирования определяются следующие характеристики функционирования СМО:

а) загрузка системы ; б) среднее время ожидания ;

в) средняя длина очереди l;

г) среднее время пребывания u;

д) среднее число заявок в системе m; е) максимальная длина очереди Nqmax.

4.1. Планирование основных событийДля рассматриваемой системы G/G/1, как отмечалось ранее, основными событиями являются события "прибытие заявки" и "окончание обслуживания", которые "связаны" соответственно с интервалом

где μ - интенсивность обслуживания Потоки заявок и обслуживании простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 4.1), у которого имеются два состояния:

S0 - канал свободен (ожидание);

S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 4.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: P0(t) - вероятность состояния «канал свободен»; P1(t) - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 4.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т. е.

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

23 вопрос.Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием.

Моделирование СМО pdf 4.2.2 стр 8

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок наобслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потокаобслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность

обслуживания - случайная величина, подчиненнаяпоказательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшимпуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят,становится в очередь и ожидает обслуживания.Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на входобслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не можетвместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание,вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки

наобслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 4.2.Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 - «канал свободен»;

S1 - «канал занят» (очереди нет);

S2 - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди); Sn- «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);

SN - «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

где .

Решение приведенной выше системы уравнений (4.10) для нашей модели СМО имеет вид

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для даннойСМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявокконтролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не

может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. неотношением Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченнойдлиной очереди, равной (N - 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки; относительная пропускная способность системы; абсолютная пропускная способность соответственно

среднее число находящихся в системе заявок; среднее время пребывания заявки в системе; средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди; среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди); соответственно

24 вопрос.Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания.

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока λ , при этом

обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону

Рис. 4.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию: S0 - все каналы свободны;

S1 - занят один канал, остальные свободны;

…………………………………………………….

Sk - заняты ровно k каналов, остальные свободны;