37. Обработка неравнорассеянных рядов наблюдений

В практике исследовательских работ часто встречаются ситуации, когда не-обходимо найти наиболее достоверное значение величины и оценить его возможные отклонения от истинного значения на основании измерений, проводимых разными наблюдателями с применением разнообразных средств измерений и методов измерений в различных лабораториях или условиях внешней среды.

Ряды получающихся при этом результатов наблюдений называются неравнорассеяными (неравноточными), если оценки и их дисперсии значимо отличаются друг от друга, а средние арифметические являются оценками одного и того же значения измеряемой величины.

Если средние неравнорассеянных рядов наблюдения мало отличаются друг от друга, то говорят о высокой воспроизводимости измерений, которая количественно характеризуется рассеиванием результатов.

Рассмотрим некоторые случаи, приводящие к необходимости обработки результатов неравнорассеянных измерений:

1 Если при точных измерениях необходимо убедиться в отсутствии неисключенных систематических погрешностей, то измерения проводятся несколькими исследователями или группами исследователей. Если средние арифметические полученных рядов наблюдений незначимо отличаются друг от друга и ничто не указывает на наличие систематических погрешностей, то можно объединить все полученные результаты и на основе их математической обработки получить более достоверные сведения об измеряемой величине.

2 Аналогичные измерения были выполнены в разных лабораториях различными методами, и получены отличающиеся друг от друга результаты наблюдений. Естественно и в этом случае, используя все имеющиеся данные, попытаться получить более достоверные значения измеряемых величин.

3 Измерения, относящиеся к образцовым мерам и измерительным приборам, часто повторяются через некоторое время. В конце концов накапливаются ряды наблюдений и возникает необходимость объединить их. Точность рядов наблюдений различна, с одной стороны, из-за того, что для впервые проводимых измерений характерно большее рассеивание результатов, а с другой стороны, из-за того, что с течением времени средства измерения стареют или заменяются новыми.

Во всех описанных ситуациях приходится прибегать к методам обработки результатов неравнорассеянных рядов наблюдений, задача которых в общем случае заключается в нахождении наиболее достоверного значения измеряемой величины.

Основой для расчетов служат следующие данные:

1) – средние арифметические m рядов неравнорассеянных результатов наблюдений постоянной физической величины Q;

2) – оценки с.к.о. результатов наблюдений в отдельных рядах;

3) n₁,…,n_m – количество наблюдений в каждом ряду;

4) m – число рядов.

Наиболее достоверное значение , которое мы можем приписать измеряемой величине на основании имеющихся данных, должно представлять собой некоторую функцию исходных средних арифметических: , причем ; ; j=1,…, m ,где и – случайные погрешности значения и .

Для отыскивания вида этой функции возьмем производную от нее по истинному значению Q измеряемой величины: .

Поскольку и ; j =1,…,m, то предыдущее равенство можно записать в следующем виде: .

Ни одна из стоящих в этом равенстве производных не может зависеть от значений средних арифметических исходных рядов наблюдений. Однако эти средние арифметические, будучи получены в различных условиях и, может быть, не одним исследователем с помощью различных средств измерений, являются независимыми величинами, которые объединяет лишь общность их математического ожидания. Поэтому производные могут быть только постоянными величинами и искомая функция должна иметь вид .

Возьмем математическое ожидание обеих частей этого равенства:

.

Для того чтобы оценка истинного значения была несмещенной, необходимо выполнение условия .

Поэтому

Полученное соотношение выполняется только в том случае, когда

С=0 ;

Таким образом, окончательно получаем ; .

Величина называется средним взвешенным, а коэффициенты a_j называются весовыми коэффициентами исходных средних арифметических. Именно они и характеризуют степень доверия соответствующему ряду наблюдений.

Желательно так выбрать весовые коэффициенты, чтобы они обращали в минимум дисперсию среднего взвешенного. Последняя составляет ,

где – дисперсия j-го среднего арифметического, которая в n_j раз меньше дисперсии j-го ряда наблюдения.

выразим m– й весовой коэффициент через все остальные: .

Найдем производную от дисперсии по k–му весовому коэффициенту, где k=1,…, m–1, и приравняем ее к нулю:

.

Теперь можно записать систему из m уравнений с m неизвестными коэффициентами

Подставляя значения m–1 первых весовых коэффициентов из первых уравнений в последнее уравнение, получим выражение для последнего коэффициента

.

Аналогично из m–1 первых уравнений системы находят и остальные весовые коэффициенты . Величина называется весом j–го среднего арифметического, причем коэффициент k может быть любым числом, как размерным, так и безразмерным. В выражениях для весовых коэффициентов этот коэффициент пропадает, поэтому он не сказывается на вычислениях среднего взвешенного и его дисперсии.

Веса средних арифметических вычислить значительно проще, чем весовые коэффициенты, поэтому имеет смысл записать выражение для среднего взвешенного через отдельные веса: .

Подставив далее значения весовых коэффициентов, получим значение дисперсии и соответственно с.к.о. среднего взвешенного: , из которого, в частности, следует, что дисперсия среднего взвешенного меньше дисперсии всех средних арифметических, если веса выбраны прямо пропорциональными числам измерений в отдельных рядах и обратно пропорциональными их дисперсиям, или, что то же самое, обратно пропорциональными квадратам с.к.о. средних арифметических исходных рядов наблюдений.

Если теоретические дисперсии неизвестны, то пользуются их оценками , с помощью которых определяют веса или весовые коэффициенты.

Доверительные границы случайной погрешности для результата измерения , полученного при обработке неравнорассеянных рядов наблюдений, находятся по формуле .

Если n30, значение t_p прямо выбирается из таблиц. Если же n<30, предварительно определяется уточненное значение числа степеней свободы .

В заключение отметим, что полученные результаты справедливы не только тогда, когда данными для расчета являются ряды прямых неравнорассеянных наблюдений, но и в том случае, если исходные величины являются, в свою очередь, результатами неравнорассеянных косвенных, совокупных или совместных измерений. Операции определения средних взвешанных во всех этих случаях не меняются, а точность результата повышается.