Функция полезности

Проигрыш Выигрыш

Вредность

проигрыша

Рисунок 3 - График функции полезности риска при смелом отношении

Вероятность аварии (р) изменяется от 0 до 1. Сумма страховой премии принята за единицу (с =1), а величина страхового взноса (в) изменяется от 0 до 1 усл.ед.

Кривая совмещенных графиков, соответствующая смелому отношению к риску, проходит слева от линии, соответствующей требованию страховой конторы, т.е. в области, где страхование для конторы нецелесообразно. Интересы владельца имущества и страховой конторы нигде не совпадают, следовательно, при смелом отношении к риску страхование не состоится вообще.

Еще одной моделью с использованием функций полезности может служить «задача о вознаграждении при действии на удачу», например, покупка дополнительного оборудования, относительно которого нет твердой уверенности в том, что оно обязательно понадобится. Но если произойдет какое-то событие (пожар, необходимость эвакуации, срочная погрузка с использованием подъемно-транспортного средства и т.п.), то сравнительно недорогое оборудование даст значительный выигрыш или предотвратит. Стремление получить значительный выигрыш сравнительно малыми средствами характерно для этой ситуации, которую относят к ситуации риска по типу лотереи.

Пусть Л – стоимость лотерейного билета (стоимость оборудования, которое будет куплено при принятии решения о целесообразности риска, р - вероятность выигрыша; Д – сумма выигрыша (она возвращает стоимость билета, купленного оборудования, которое представляет собой материальную ценность).

Выигрыш организатора лотереи (в) складывается так:

• если билет выигрывает, то его выигрыш отрицателен: р(-Д);

• если билет не выигрывает, то за счет продажи билетов выигрыш составит (1-р) Л.

Организатор станет рисковать, если общий результат окажется положительным:

В=р(-Д)+(1-р)Л, В>0, Л>p(Д+Л) (10)

Тогда -рД+Л-рЛ>0: p<Л/(Д+Л) – это условие организатора лотореи.

Если р=0,001 (1 билет из 1000 выигрывает), то 0,001>Л/(Д+Л), 0,001=1/(999+1). Д=299, Л=1, т.е. стоимость билета должна быть не менее, чем 1/999 от размера выигрыша.

Выигрыш обладателя билета будет таким:

• если билет выигрывает, то размер выигрыша рД;

• если билет не выигрывает, то проигрыш равен (1-р) (-Л).

Общий выигрыш составит

В_в.б=рД+(1-р) (-Л)=рД-Л+рЛ=Л+р(Д+Л) (11)

Отсюда р>Л/(Д+Л).

А так как организатор устраивает лотерею, при р>Л/(Д+Л), то владелец билета всегда будет получать средний выигрыш отрицательный, т.е. в среднем он будет в проигрыше.

Тогда встает вопрос о бесполезности риска. Но все зависит от отношения владельца билета к ожидаемому выигрышу. Для принятия решения о риске по типу лотереи денежный выигрыш равен 1 усл. ед. (Д=1), вероятность выигрыша изменяется от 8 до 1, а стоимость билета – от 0 до 1 усл. ед.

При ровном отношении к риску полезность выигрыша для владельца билета составит П(В)=В_в.б=-Л+р(Д+Л).

Предельное отношение функции полезности при ровном отношении к риску будет при р=Л/(Д+Л). Но владелец билета будет рисковать, если его выигрыш положителен:

В_в.б=-Л+р(Д+Л), В_в.б>0

Отсюда р(Д+Л) >Л.

А это противоречит условию устройства лотереи организатором, который требует, чтобы Л >р(Д+Л). Следовательно, при ровном отношении риск не оправдан. Не оправдан он и при осторожном отношении к риску. Полезность общего результата владельца билета будет в этом случае:

П(В_в.б)=П(рД+(1-р) (-Л))=П(рД)+П((1-р)(-Л))=р(1-е^-Д)+(1-р) (1-е^Л)

Она должна быть положительной:

р(1-е^-Д)+(1-р) (1-е^Л) >0 (12)

Отсюда р > (е^Л-1) / (е^Л-е^-Д). Так как эта линия находится слева от линии ровного отношения, а область благоприятного риска находится справа от нее, то при осторожном отношении риск покупки билета не оправдан.

При смелом отношении к риску полезность выигрыша владельца билета составит:

П(В_в.б)=П(рД)+П((1-р) (-Л));

П(В_в.б)= р(1-е^-Д)+(1-р) (1-е^Л).

Полезность общего результат должна быть положительной:

р(е^Д-1)+(1-р) (е^-Л -1) >0;

р > (1-е^-Л) / (е^Д - е^-Л).

Смелому отношению к риску соответствует линия, которая показывает граничное значение р = (1- е^-Л) / (е^-Д -е^Л). Эта линия находится справа от линии ровного отношения.

Поэтому при смелом отношении к риску покупать билеты целесообразно, если

1-е^-Л

< р < Л / Д + Л (13)

е^Д-е^-Л

Например, если р=0,2, то стоит рискнуть в том случае, если стоимость билета составляет от 0,25 до 0,6 усл. ед. Если выигрыш составляет 100000 усл. ед, то покупка целесообразна при стоимости билета от 2500 до 60500 усл. ед.

Таким образом, рассмотрев два типовых случая, можно систематизировать основные выводы о принятии решений.

Таблица 1 - Варианты принятия решений

Отношение к выигрышу и проигрышу (вид функции полезности риска)	Решение о риске в ситуации
	По типу страхования	По типу лотереи
Ровное	Не рисковать	Не рисковать
Осторожное	Рисковать (при определенных условиях)	Не рисковать
Смелое	Не рисковать	Рисковать (при определенных условиях)