2.2 Основные функции полезности риска в ситуациях различного типа
В теории потребительского выбора устанавливается, что любой потребитель имеет последовательный ряд предпочтений, которые зависят от количественной ценности, называемой «полезностью альтернатив». При отсутствии фактора риска потребитель выбирает ту альтернативу, которая принесет наибольшую полезность. В условиях риска он выбирает ту альтернативу, у которой наивысшая ожидаемая полезность (по сравнению с полезностью ожидаемого дохода).
Сама полезность риска, т.е. отношение идущего на риск к ожидаемому выигрышу или проигрышу, весьма сложная проблема, относящаяся к психологии риска. От характера функции полезности зависит принятие решения: идти или нет на риск. Готовясь рисковать, принимающий решение оценивает не просто ожидаемую величину выигрыша (она может быть отрицательной), а ее полезность. И решение идти на риск принимается тогда, когда полезность общего результата оказывается положительной.
В самом общем случае различают ровное (простейшее, нейтральное, безразличное), осторожное (не расположенное, с антипатией) и смелое (расположенное) отношение к риску.
При ровном отношении к риску, показанному на рисунке 1, полезность выигрыша пропорциональна его величине.
Допустим, что владелец имущества с нейтральным отношением к риску решает вопрос о страховании этого имущества. Пусть р - вероятность аварии, в – сумма страхового взноса, С - страховая премия в результате аварии, П - функция полезности.
Полезность
выигрыша
Функция полезности
Проигрыш Выигрыш
Вредность
проигрыша
Рисунок 1 - График функции полезности риска при ровном отношении
При ровном отношении к риску полезность выигрыша равна этой сумме П(C) = C, П(-в) = - в.
Ожидаемый выигрыш страховой компании может быть таким:
если авария произойдет, то страховая компания должна выплатить премию и удовлетвориться получением страхового взноса, ее выигрыш отрицателен и равен р (- С + в);
если аварии не будет, то выигрыш страховой компании за счет страхового взноса, который положителен, составит (1 - Р) в.
Страховая компания будет идти на риск, если общая сумма ее выигрыша положительна:
р (- С + в) + (1 – Р) в > 0 (5)
при в > рС (условие заключения договора страховой компанией).
Полезность риска при страховании имущества для его владельца может быть определена так. Если заключается договор о страховании, то полезность выигрыша П(-в) равна риску потери сравнительно небольшой суммы страхового взноса. Если договора нет, то полезность выигрыша составляет рП(-С), т.е. равна риску потерять значительно большую сумму. идти на риск страхования следует, если П(-в)-РП(-С) > 0, т.е. риск оправдан, если рискуя меньшим, избегаем больших потерь.
При ровном отношении к риску из неравенства П(-в) – рП(-С) > 0 следует, что -в + рС > 0 и в < рС, а это неравенство противоречит условиям страхования (в < рС), поэтому при ровном отношении к риску страхования не будет вовсе, риск не имеет смысла.
Полезность выигрыша Функция
полезности
Проигрыш Выигрыш
Вредность
Проигрыша
Рисунок 2 - График
функции полезности риска при осторожном
отношении
Но ровное отношение к риску не только не единственное, но и не самое распространенное. Люди оценивают полезность выигрыша и вредность проигрыша не пропорционально их величине. Для осторожного (не расположенного к риску) отношения характерно опасение больших проигрышей.
Вредность больших проигрышей преувеличивается, а соответствующая полезность выигрышей преуменьшается. Соответствующий риск называется осторожным. Функция полезности при осторожном отношении к риску, показанная на рисунке 2, имеет вид: П(в) = 1-е –в . П(в) – вероятность появления не менее одного выигрыша, если выигрыш – редкое событие. Формула получена на основе теории вероятностей.
При осторожном отношении полезность общего результата для владельца имуществом складывается из полезности выигрыша и проигрыша и равна
П(в) = П(-в) – р · П(-С) = 1-е b – р(1-ес) (6)
На риск следует идти, если общий результат окажется положительным, т.е. П(в) > 0:
1-еb-р(1-ес) > 0;
-p(1-ec) > eb - 1;
p(e-1) > eb - 1;
P > (eb-1) / (ec-1).
Это условие страхования для имущества при осторожном отношении к риску, а p < b / c – условие заключения договора страховой компанией.
Отсюда следует, что страхование состоится, если вероятность аварии равна
b / c > p > ( eb - 1) / (ec-1) (7)
При предполагаемой вероятности аварии осторожный владелец будет страховать имущество при определенном соотношении между размером страхового взноса и страховой премии.
Смелое (расположенное к риску) отношение характерно тем, что малые выигрыши считаются почти бесполезными, а полезность больших выигрышей не пропорционально увеличивается. Вероятность больших проигрышей сильно преуменьшается. Соответствующий риск называется смелым и представлен на рисунке 3.
Функция полезности риска при смелом отношении имеет вид
П(В) = еb-1 (8)
Она получена по формуле сложных процентов.
При смелом отношении к риску решение о страховании будет принято владельцем имущества, если общая полезность выигрыша и проигрыша будет положительна:
П(в) = П(-в) – р · П(-С) > 0;
e-b - 1 - p(e-c-1) > 0;
p < (e-b-1) / (e-c-1).
Условие страхования при смелом отношении к риску для владельца имущества таково:
p < (e-b-1) / (e-c-1) (9)
Полезность
выигрыша
