Пример выполнения задания
Найти экстремаль функционала
(9.0)
Сравнить решение с решением примера 1a.Построить графики.
Рис. 9.16. Решение примера 9
Ответ.Экстремаль функционала (9.9) имеет вид
(9.0)
Она показана на рис.9.3 сплошной красной линией. Штриховая синяя линия – решение примера 1a. Показана также линия сопряжения y(x) пунктирной линией зелёного цвета.
Задание
Решить пример 1aпри условии, что экстремаль не может заходить в запрещённую областьD. Уравнение границы области задано. Сравнить результат с решением примера1a.
Варианты заданий
Вариант
1.
Вариант
2.
Вариант
3.
Вариант
4.
Вариант
5.
Вариант
6.
Вариант
7.
Вариант
8.
Вариант
9.
Вариант
10.
Вариант
11.
Вариант
12.
Вариант
13.
Вариант
14.
Вариант
15.
Вариант
16.
Вариант
17.
Вариант
18.
Вариант
19.
Вариант
20.
Вариант
21.
Вариант
22.
Вариант
23.
Вариант
24.
Вариант
25.
Вариант
26.
Вариант
27.
Вариант
28.
Вариант
29.
Вариант
30.
Изопериметрическая задача
Краткие теоретические сведения
Изопериметрической задачей в узком смысле слова называется задача нахождения экстремума функционала (1.1) при граничных условиях (1.2) и при дополнительном ограничении-равенстве на длину дуги M1M2:
. (10.0)
Изопериметрическими являются две классические задачи вариационного исчисления: задача Дидоны и задача о цепной линии.
Задача Дидоны.По преданию, Дидона была дочерью одного из древних царей и его наследницей. Однако братья решили лишить её престола. Чтобы посмеяться над ней, они вывезли Дидону на пустынный берег моря, дали её шкуру быка и сказали: «Построй себе город на этой шкуре, и царствуй в нём». Не растерялась Дидона. Порезала она шкуру на тонкие полоски, связала их в длинную верёвку, и охватила этой верёвкой большой кусок прибрежной полосы. Удивились братья мудрости и находчивости Дидоны, и не стали препятствовать строительству нового города. Так, по преданию, был основан Карфаген. А задача, которую решила Дидона, стала классической задачей вариационного исчисления: линией заданной длины ограничить максимально возможную площадь. Если концы линии закреплены на береговой линии (осиOx), то решением задачи будет сегмент круга. Если же один из концов может скользить по береговой линии, то решение задачи Дидоны – полукруг.
Задача о цепной линии.Найти форму провисания цепи, состоящей из большого числа мелких звеньев. Или, что то же самое, найти форму провисания тонкой абсолютно гибкой нерастяжимой нити. Математически эта задача сводится к минимизации потенциальной энергии нити (вертикальной координаты центра тяжести) при ограничении-равенстве на длину линии. Решением этой задачи является цепная линия – гиперболический косинус.
Изопериметрическая задача в широком смысле слова – это задача исследования на экстремум функционала вида (1.1), (2.1) или (3.1) с соответствующими граничными условиями и с ограничениями-равенствами в виде интегралов такого же вида. Эти ограничения называются условиями изопериметричности. В частности, для простейшей задачи вариационного исчисления (1.1, 1.2) условия изопериметричности имеют вид
(10.0)
Рассмотрим применение метода неопределённых множителей Лагранжа для решения задачи (1.1, 1.2, 10.2). Эта задача решается так же, как и для функции нескольких переменных при ограничениях-равенствах.
Составляется вспомагательный функционал (функционал Лагранжа)
, (10.0)
и для этого функционала решается вариационная задача. Неизвестные произвольные постоянные уравнения Эйлера C1,C2и неопределённые множители Лагранжаkнаходятся из граничных условий (1.2) и условий изопериметричности (10.2).