Пример выполнения задания

Найти экстремаль функционала, зависящего от двух функций, при заданных граничных условиях, и построить график экстремали в виде двух функций y(x), z(x)и в виде пространственной кривой.

(2.0)

Ответ.Система уравнений Эйлера после сокращения на –2 имеет вид

(2.0)

После подстановки произвольных постоянных уравнения экстремали

(2.0)

На рис.2.1 показаны двумерные графики линий y(x) (сплошная красная линия) иz(x)(пунктирная синяя), а на рис.2.2 – трёхмерный график пространственной кривой.

Задание

Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить её график.

Варианты заданий

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

3. Экстремаль функционала, зависящего от производных высших порядков

Краткие теоретические сведения

Исследуем на экстремум функционал, зависящий от функции одной переменной и её производных 1-го и 2-го порядка

(3.0)

с заданными граничными условиями

(3.0)

Как и для других задач, необходимым условием экстремума функционала (3.1) является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремали y₀(x):J(y₀)=0. В силу граничных условий на концах интервалаy(x₁)y(x₂)y(x₁)y(x₂)0. ВычислимJкак линейную часть приращения. Разложим первое слагаемое в ряд Тейлора в окрестности экстремали, и удержим только линейные члены. Слагаемое, содержащее 1-ю производную, проинтегрируем по частям один раз, а слагаемое, содержащее 2-ю производную – 2 раза.

(3.0)

В силу произвольности вариации функции y(x) по основной лемме вариационного исчисления первый сомножитель под интегралом должен равняться нулю. Таким образом, экстремаль должна удовлетворять уравнению

, (3.0)

которое называется уравнением Эйлера-Пуассона. Оно является в общем случае уравнением 4-го порядка и дополняется граничными условиями (3.2).

Если функционал зависит от производных более высоких порядков, то уравнение Эйлера-Пуассона выводится аналогично. Оно будет иметь вид

(3.0)

и дополняться 2nграничными условиями: значения искомой функции и её производных доn1–го порядка включительно на концах интервалаx₁иx₂должны равняться заданным величинам.

Пример выполнения задания

Найти экстремаль функционала при заданных граничных условиях:

(3.0)

Ответ.Уравнение Эйлера-Пуассона после сокращения на 2 имеет вид

. (3.0)

Его частное решение, удовлетворяющее граничным условиям (3.2), будет

(3.0)

График решения показан на рис.3.1.

Задание

Для своего варианта функционала найти экстремаль и построить её график.

Варианты заданий

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

4. Экстремаль функционала, зависящего от функции нескольких переменных

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим задачу исследования на экстремум функционала, зависящего от функции двух переменных и её частных производных 1-го порядка:

(4.0)

с заданными условиями на контуре C– границе областиD:

. (4.0)

Будем далее обозначать p=z/x,q=z/y. Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, вычисленной на экстремалиz₀(x,y):J(z₀)=0. Найдём эту вариацию как линейную часть приращения функционала. Эта вариация вызывается вариациями функцийz,pиq, причём на контуреCz=0. После разложения функцииF(x,y,z,p,q) в ряд Тейлора в окрестности экстремали и удержания линейных членов вариация функционала имеет вид

. (4.0)

В главах 1 и 3 мы преобразовывали все слагаемые, кроме первого, с помощью интегрирования по частям. Здесь этот приём применить не удаётся, так как у нас двойной интеграл. Однако мы можем применить формулу Грина, дающую тот же результат. Заметим прежде всего, что

(4.0)

Здесь F_p/xиF_q/y– так называемые “полные частные производные”, то есть частные производные, вычисляемые при условии, что в дифференцируемой функцииz=z(x,y),p=p(x,y),q=q(x,y). Подставив (4.4) в (4.3), получим

. (4.0)

Вычислим интеграл от первых двух слагаемых по формуле Грина, положив Q(x,y)=F_pz,P(x,y)=F_qz.

(4.0)

так как на контуре C– границе областиD:z=0. Таким образом, в интеграле (4.5) остаются только три последних слагаемых. В силу произвольности вариации функцииz(x,y) по основной лемме вариационного исчисления должен быть равен нулю множитель приzв подынтегральной функции:

. (4.0)

Уравнение (4.7) называется уравнением Эйлера-Остроградского. Это дифференциальное уравнение в частных производных, оно дополняется граничным условием (4.2).

Если функционал зависит от функции nпеременныхz(x₁,x₂,…,x_n), то уравнение Эйлера-Остроградского будет иметь вид

, (4.0)

где p_k=z/x_k.