Примеры выполнения заданий Пример 11a

Решить методом начальных параметров пример 1a. Сравнить решение с аналитическим.Построить графики.

Мы сформировали систему дифференциальных уравнений

(11.0)

где в нашем случае x₁1; x₂1. Если бы было известно начальное условие y₂(x₁), то эту систему можно было бы решить с помощью стандартных численных методов. Обозначим y₂(x₁) как неизвестную величину: ty₂(x₁). Присвоив ей какое-либо пробное значение,можно решить систему дифференциальных уравнений и найти функцию fy₁(x₂)2. Очевидно, f можно рассматривать как функцию от t. То есть нужно решить уравнение f(t)0. В нашем случае, когда исходная система дифференциальных уравнений является линейной, уравнение относительно t также будет линейным. То есть функция f(t) имеет структуру f(t)atb. Чтобы построить эту функцию, нужно решить 2 начальные задачи для t0 иt1. Решаем эти задачи.

Система линейных уравнений (11.3) в данном случае состоит из одного уравнения. Для нахождения неизвестного ty₂(x₁) проводим линейную интерполяцию.

Решаем систему дифференциальных уравнений при найденных действительных начальных условиях. Строим график.

Рис. 11.19. Решение примера 11a

Ответ.График экстремали показан на рис.11.2 сплошной красной линией. Штриховая синяя линия – решение примера1a. Видно, что в точках, где печатается численное решение, оно сливается с аналитическим. Неизвестное начальное условие:y(x₁)0.48587364.

Пример 11b

Решить методом начальных параметров пример 2. Сравнить решение с аналитическим.Построить графики.

Программу для этого примера напишем на основе программы для примера 2с использованием программы для примера11a. Находим аналитическое решение примера2. Заполняем таблицу.

Сведём систему 2-х дифференциальных уравнений Эйлера 2-го порядка к системе 4-х нормальных дифференциальных уравнений 1-го порядка вида (11.1). Решим уравнения Эйлера относительно y,z. Подставим в оба уравненияy,z,y,z. Сформируем правые части для системы дифференциальных уравнений и запишем их в файл.

Применим метод начальных параметров для решения задачи. Неизвестные у нас обозначены

(11.0)

В начальной точке x₁неизвестныy₂(x₁)=t₁иy₄(x₁)=t₂. Найдём их из решения системы 2-х уравнений

(11.0)

Система дифференциальных уравнений Эйлера у нас является линейной, поэтому и система уравнений (11.7) также будет линейной.

(11.0)

Найдём коэффициенты этой системы и правые части.

Решаем систему линейных уравнений (11.8), находим недостающие начальные условия. Для этих начальных условий решаем систему дифференциальных уравнений вида (11.1) и строим график полученного решения.

Рис. 11.20. Решение примера 11b

Ответ.График экстремали показан на рис.11.3 сплошной красной линией. Он практически сливается с решением примера2, которое показано штриховой синей линией. Неизвестные начальные условия:y(x₁)0.42582;z(x₁)1.35320.

Пример 11c

Решить методом начальных параметров пример 3. Сравнить решение с аналитическим.Построить графики.

Уравнение Эйлера (3.6) является уравнением 4-го порядка с 2-мя граничными условиями на левом конце и 2-мя на правом. Сведём его к нормальной системе 4-х уравнений 1-го порядка заменой

(11.0)

Неизвестные начальные условия t₁=y₃(x₁) иt₂=y₄(x₁) найдём из решения системы уравнений

(11.0)

Так как уравнение (3.6)линейное, то и система (11.10) будет линейной. Решая её, найдём начальные условия, а затем и решение уравнения Эйлера.

Разрешаем уравнение Эйлера относительно y^IV и подставляем в него обозначения (11.9). Формируем правые части для системы дифференциальных уравнений, к которой сводится уравнение Эйлера. Записываем их в файл.

Формируем коэффициенты и свободные члены системы линейных уравнений (11.3, 11.10). Для этого 3 раза решаем начальную задачу при значениях неизвестных начальных параметров: {t₁,t₂}={0,0}; {t₁,t₂}={1,0}; и {t₁,t₂}={0,1}. Решаем систему (11.10) – находим неизвестные начальные параметры. Решаем начальную задачу при этих значениях начальных параметров. Рисуем график.

Рис. 11.21. Решение примера 11c

Ответ.График экстремали показан на рис.11.4 сплошной красной линией. Он практически сливается с решением примера3, которое показано штриховой синей линией. Неизвестные начальные условия:y(x₁)1.10694;y(x₁)2.91636.