Системный анализ и теория систем

Элементарное звено должно быть звеном направленного действия: звено

передает воздействие только в одном направлении с входа на выход, так что

изменение состояния звена не влияет на состояние предшествующего звена,

работающего на вход. Поэтому при разбиении системы на звенья направленного

действия математическое описание каждого звена может быть составлено без

учета связей его с другими звеньями. Соответственно математическое

описание всей системы в целом может быть получено как совокупность

независимых друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев,

образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями.

Дифференциальные уравнения элементов имеют порядок не выше второго,

поэтому типовые звенья описываются дифференциальными уравнениями

нулевого, первого и второго порядка. Таким образом, разновидностей

элементарных динамических звеньев немного, и все многообразие

конструктивных элементов схем с точки зрения общности их динамических

характеристик можно свести к небольшому числу эквивалентных им звеньев.

Для линейных систем можно выделить ограниченную совокупность

элементарных динамических звеньев, которых образуют своего рода «таблицу

Менделеева» динамики.

21

Системный анализ и теория систем

Все звенья различают по виду уравнений, определяющих

характеристики переходных процессов, возникающих в них

при одинаковых исходных условиях и одинаковом виде

возмущения.

Для оценивания поведения элементарного звена обычно на

его вход подают тестовые сигналы определенной формы.

Наиболее часто используются такие виды возмущающих

сигналов.

1. Ступенчатое воздействие :

a(t)= 0 при t<0 =а при t>=0

Частым случаем ступенчатого воздействия является

единичное воздействие, которое описывается так

называемой единичной функцией:

x(t)=0 при t<0 =1 при t>=0

22

Системный анализ и теория

систем

2. Импульсное воздействие (единичный импульс или дельта функция) x(t) = σ(t) :

σ(t)=∞ при t=0 и σ(t)=0 при t=<>0

Следует заметить, что σ (t) и единичная ступенчатая функция связаны соотношением:

σ(x)= d1(t)/dt

3. Периодический сигнал: либо в виде синусоиды, либо в виде прямоугольной волны.

3.2.5. Виды типовых звеньев и их переходные функции

Воздействие на вход системы вызывает изменение её выхода y(t) –

переходный процесс, именуемый переходной функцией.

Переходная (временная) функция — это реакция выходной переменной

звена на изменение входа.

В дальнейшем мы будем рассматривать типовые звенья и характер

изменения их выходов при единичном ступенчатом возмущении. В

частности, будем анализировать такие динамические характеристики

каждого звена: дифференциальное уравнение, его описывающее, его частное

решение и переходную функцию звена при единичном воздействии —

кривую разгона h(t). Таким образом, h(t) = y(t) при x(t) = 1(t).

23

Системный анализ и теория

систем

В случае импульсного возмущения переходная характеристика

называется весовой или импульсной переходной функцией и

обозначается g(t), т. е. g(t) = y(t) при x(t) = σ(t); при этом:

g(t)=h’(t)=dh/dt

Обычно при исследовании динамики значения выхода и входа

рассматривают не в абсолютных значениях, а в отклонениях от

некоторых установившихся значений, т. е. в начальном

установившемся режиме x(0) = 0 и у(0) = 0.

Безынерционное звено (усилительное, безъёмкостное,

масштабирующее или пропорциональное) описывается

уравнением:

y(t) = kx(t),

где k — коэффициент пропорциональности или усиления (здесь

и во всех последующих уравнениях).

24

Системный анализ и теория

систем

Инерционное звено (апериодическое, ёмкостное,

релаксационное) описывается дифференциальным

уравнением:

Ty’(t) + y(t) = kx(t)

При возмущении звена единичным ступенчатым

воздействием его переходный процесс описывается

уравнением

y(t) = kx(t)(1-e-t/T)

где Т — постоянная времени, определяемая ёмкостью

звена и его пропускной способностью.

Постоянная времени — это условное время изменения

выходной величины от начального значения до нового

установившегося значения, если бы изменение

происходило с постоянной скоростью.

26

Системный анализ и теория

систем

Переходная функция звена представлена на рис. 5.5.5.

Скорость изменения функции характеризуется её производной.

Поскольку графически производная в заданной точке

определяется как тангенс угла наклона касательной в этой

точке, то Т можно определить, проведя касательную к точке

наибольшей крутизны кривой разгона от оси времени до

асимптоты — установившегося значения выходной переменной

у (линии, к которой у стремится). Постоянную времени можно

определить и как время, за которое выходная переменная

достигнет 63 % своей установившейся величины: при t — Т

получаем: y(t) = k(1 – e-l) = k(1 – 0,37) =0,63k

Пример

При увеличении затрат на рекламу какого-либо товара новый

устойчивый спрос на этот товар устанавливается также с

динамическим запаздыванием.

27